函数的周期性极其解题研究.doc

作者介绍：王扬，男，1959.11生。陕西西安市人，深圳育才中学数学高级教师，中国数学奥林匹克高级教练.函数的周期性极其解题研究陕西省西安中学 王 扬摘要：本文就有关函数周期性问题，从它给出的形式上做了五个方面的归纳总结，并以实例介绍了处理各种类型问题的一些常用方法。近年来，有关函数周期性的问题在数学竞赛试题及一些刊物的问题征解中屡次出现，因其问题的表现形式具有较高的抽象性、综合性，故使一般学生不易入手，在此，我们拟从问题的给出形式上作以归纳总结，同时介绍处理这类问题的一些常用方法，不妥之处请同行不吝赐教。1 以几何性质给出问题有些代数问题往往以函数的几何性质来刻画题目的结构，然后让学生判断该函数的周期性或再据此来解决相关问题。例1 若函数在R上有定义，且对一切实数x，满足 ，设 的一个根是x=0,记在区间中根的个数为N，求N的最小值。（第2届美国数学邀请赛试题之一）解： ； （1） ； （2） 函数 是以10为周期的周期函数。又 即 在（0，10）上至少有两个根，从而，在上至少有401个根。本题蕴涵了如下一个一般化形式的结论：若函数（xR）的图象关于二直线 皆对称，则函数是以为周期的周期函数。证明略。例2设是定义在R上周期为2的周期函数，且为偶函数，已知当 时，则当时，的解析式是（ ）。（A）；（B）；（C）；（D）。（1990年全国高中数学联赛一（2）解：建立平面直角坐标系，作函数（）的图象，再利用函数的周期性、对称性作出在（）上的图象，于是的表达式应为（），故选C。例1讨论的是其函数图象关于平行于y轴的两条直线对称的函数的周期性，那么，其图象关于有相同纵坐标的两点为对称的函数将呈现什么样的周期性？例3 若函数的图象关于两点（na）皆对称，是以为周期的周期函数。证明：据条件对 有 （1） （2） 函数是以为周期的周期函数。如果函数的图象关于一个点和一条垂直于OX轴的直线对称，那么，该函数是否也具有周期性？例4 设是定义在R上的函数，且满足下列关系 （1） （2）则是 （ ）。（A）偶函数，又是周期函数。（B）偶函数，但不是周期函数。（C）奇函数，又是周期函数。（D）奇函数，但不是周期函数。解：由题设知的图象关于直线x=10和关于点（20，0）皆为对称，由（1）得 ，即 （3） 仿此有 （4）由（2）、（3）得 （5）由（2）有 再由（4）、（5）即得 ，即是以40为周期的周期函数。再由（4）、（5）即得 ，这表明又是奇函数。所以，选（C）。本例蕴涵了如下一个一般性结论：若函数（xR）的图象关于点和直线x=b（ba）皆对称，则函数具有周期.2 以数列递推式（或函数迭代）关系给出问题有些竞赛题以数列相邻几项或等距离几项为递推式，或是以函数迭代形式表现出来，处理此类问题需具备数列、复合函数方面的基本知识和一些独特的技巧，如代换、求通项、解方程等。例5实数 ，是定义在全体实数集R上的实值函数，对每一个实数x，有 ， （1）证明：是周期函数。（10IMO5）证法一：（代换法）将（1）移项后两边平方，得 即 （2）在（2）中用 替换 后得 （3）得 （4）但据（1）知 ，对任意，于是，由（4）得到 ，此式表明是以2a为周期的周期函数。证法二：（解方程法）由 （1）得 （2）将（1）整理成关于的方程得 ，注意到，故 上式取+号，即 （3）比较（2）与（3）知 ，这表明是周期函数。证法三：（复合函数法）由题设知 这是因为 （已知条件等式），所以，是以2a为周期的周期函数。例6已知是定义在R上的函数，且，（1）试证是周期函数；（2）若，试求。（1989北京高一竞赛题）（1）证：由条件知 ，所以， （1）用代换上式中的x，得 ，即是以8为周期的周期函数。（2）解：据（1）知，是以8为周期的周期函数，所以。注：类似于本例（1），可讨论其更一般的结论：若函数在R上有定义，且， ，则是以为周期的周期函数。例7：设对任意，有 ，试证，函数为周期函数。证：用替换上式中的后得， （1）进而有 （2）（1）+（2）得 ，即所以， ； （3） （4）据（3）和（4）得 ，即 是以6为周期的周期函数。本例可推广为：若满足，则是以为周期的周期函数。（证略）3 以数字结构关系给出问题数学竞赛试卷中常有这样一类问题，将自然数的各位数字赋以某种变换，使自然数巧妙地与函数（或递推数列）联系起来，这样题目更具灵活性，要处理此类问题需要借助于自然数的一些性质，如自然数的某种周期性等。例8对任意一自然数k,表示k的各位数字之和的平方，对，令 ，求。（第6届美国数学邀请赛第2题）解：由题目条件易知 由此可见，当时，是周期为2的周期数列，所以，。例9设是的个位数字，求证：为有理数。证明：考虑的各项个位数构成的数列；1，4，9，6，5，6，9，4，1，0，1，4，9，6，5，6，9，4，1，0，。由上看见，它是以10为周期的数列，因此，该数列的任意连续10项和总等于，即数列的连续10项和的个位数字为5，故对任意的自然数n，必有 ，即，亦即实数是一个循环节位20的无限循环小数。4以函数方程形式给出问题 在初等数学和高等数学中，用函数方程来刻画函数的性质是常有的事情，处理竞赛中满足函数方程的函数周期性问题需借助于巧妙的代换。例10已知是定义在R上的函数，且对任意的,有 （1） 成立，又知 ，但不恒为0，且，证明：为周期函数。证：在（1）中令 ，得 ， ， （2）注意，并用和分别替换（1）中的x和y得 所以， （3），再据（3）有， 是以为周期的周期函数。5与周期性相关的图形问题有些数学问题表面看与函数性质无关，实际上它涉及到一些函数图象性质，特别是周期性，而要搞清图象性质并及时抓住问题的本质就需借助函数周期性来助一臂之力。例11设 ，记，试求方程在0，1上有几个根？ 解： 函数 的图象关于直线 对称，（x0,1） 的图象首先是关于对称，又当 时，其图象又关于为对称，于是，据例1的推广知，在0，1上以 为周期，如上图，易知方程有个根。 同样的，的图象首先关于（x(0,1)）对称，又关于（）为对称，其三，还关于为对称，于是知在0，1上以为周期，依上面讨论知 的图象如右图， 故方程的根的个数为个。一般的，函数分别在区间上以；，为对称轴，且图象与OX轴交点也恰好为这些对称轴与