§1-1 函数极限暂时的定义.doc

71-1 函数极限暂时的定义第1章 函数的极限和连续函数近代微积分是建立在近代极限理论的基础上，可是近代极限理论对于刚步入大学的一年级大学生来说，是很难接受的。为了减少初学者学习微积分的难点，我们有意避开了近代极限理论，而用“无限接近”的说法，暂时定义了函数的极限。关于极限概念的这种“无限接近”说法，最早出现在法国数学家达朗贝尔(Alembert，J.L. ，1717-1783)的著作中。它的优点是直观明白，而缺点是简单粗糙，甚至连有关函数极限的简单结论，也无法用它来证明。幸好，这一章中那些应当用近代极限理论证明的结论也都是如此明白，读者凭借直觉也会相信它们都是正确的。关于极限概念的精确化，以及极限基本性质和连续函数主要性质的证明，那是微积分产生和发展了一百多年以后才逐步完成的。我们将在本书第二篇中讲述它。1-1 函数极限暂时的定义1.函数在某点的极限 一个变量能够无限制地接近某一个常量(数)，就说“是变量的极限”。那么，“变量能够无限制地接近”是什么意思呢？它的的意思是说，“预先给出任何正数，不管它多么小，变量在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值小于或不超过那个正数，即”。对于作为变量的函数来说，设函数在点的近旁有定义。当自变量无限制地接近且又不等于时，若函数值能够无限制地接近一个常数，简记成 或 xOy图1-1xx则称“常数为函数在点c的极限”(图1-1)。xOy图1-2ABxx类似地，设函数在点的左旁有定义。当自变量从点左边无限制地接近且又不等于时，若函数值能够无限制地接近常数(图1-2)，简记成则称“常数为函数在点c的左极限”。同理，设函数在点的右旁有定义。当自变量从点右边无限制地接近且又不等于时，若函数值能够无限制地接近常数(图1-2)，简记成则称“常数为函数在点c的右极限”。函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。从图1-1和图1-2上看出，若函数在点的两边近旁都有定义，则图1-3DBCE1AxyO的充分必要条件是例1 证明：证 如图1-3中的单位圆，当时，则有(见下注)由此得从而有可见，当时，函数值无限制地接近，即得右极限；而左极限为(是奇函数) (用替换)因此有 （因为左右极限相等）。【注】和是因为点到直线的距离垂线最短；是因为右端是左端弧长的过剩近似值。因此，即。【问与答】问：圆弧长度是怎么定义的？答：首先说一下实数基本性质之一，即“实数连续性质”。在0-2中，我们曾形象地把它说成“实数能够一个挨一个地填满整个数轴，而不会留下一个空隙”，而在近代数学中是把它说成“有上界的（非空）实数集合必有最小上界”，或者“有下界的（非空）实数集合必有最大下界”（出现在5-3中）。因为圆弧所有可能外切折线长度组成的集合有下界,所以它有最大下界。我们就把这个最大下界定义为圆弧的长度。xyOcy图1-5xOy图1-4cxx2.函数的连续点和间断点 特别，若函数在含点的某个区间内有定义，且满足条件，则称点为函数的连续点(图1-4)；并称函数在点c是连续的。令(称为自变量的增量)，其中是大写希腊字母delta（读作“得儿塔”），而把（图1-5）称为函数在点(相应于)的增量。因此，这就是说，函数在点连续，说明自变量变化很小时，函数值的变化也很小。它表示自然界中变量连续变化的特征(不是跳跃式变化)。“连续”一词当初就来源于此。请读者特别注意，与的明显区别是：前者不考虑函数在点是否定义有函数值；后者中函数不仅在点定义有函数值，而且必须满足条件。在函数极限的定义中，规定是想让极限概念的“外延”（逻辑学中的术语）更加宽广，而有仅是一种特殊情形。若函数在点不能满足条件，则称点为它的一个间断点。函数的间断点可能是下面的情形之一：y图1-6O1x可除间断点 称点为函数的可除间断点，若有极限，且或者函数在点没有定义函数值但在点近旁定义有函数值，例如函数有可除间断点(图1-6)；或者函数在点定义有函数值，但，例如函数有可除间断点(图1-7)，因为。1图1-7O 2 xyxx4图1-8-11y O x第一类间断点 称点为函数的第一类间断点， 若在点同时有左极限和右极限,但是，例如符号函数(图1-8)，因为所以点是符号函数的第一类间断点。【注】有的教科书中把可除间断点也称为第一类间断点。 第二类间断点 函数的其他间断点(即既不是可除间断点，又不是第一类间断点)，都称为第二类间断点。例如，图1-9和图1-10中点都是第二类间断点(前者为无穷间断点，后者为摆动间断点)。函数在第二类间断点处，左极限和右极限 图1-9O x图1-10-11O中，至少有一个不存在。研究函数的间断点及其分类，目的是研究当函数有间断点时，它对函数的某些性质(譬如函数的可积性等)会造成多大的影响。3.函数在无穷远的极限 设函数对于绝对值足够大的有定义。当自变量按绝对值无限制地变大时，若函数值能够无限制地接近一个常数(图1-11)，简记成 或 则称常数为函数在无穷远处的极限或当时的极限。图1-11CyOxxx例如，极限(见图1-6)。请你把它与极限区别开来。类似地，设函数对于足够大的有定义。当自变量无限制地变大时，若函数值能够无限制地接近一个常数(图1-12)，简记成则称常数为函数当时的极限。同理(图1-13)，我们可以定义记号O图1-13Byxxy图1-12xAxO并称常数为函数当时的极限。极限和也称为单侧极限，并且也有结论：有极限 请读者注意，其中的“”、“”、“”都是记号，依次读作“趋向无穷大”、“趋向正无穷大”、“趋向负无穷大”。再请读者注意，它们只有同函数的变化联系在一起时才有意义，而单独谈论它们是没有意义的！例2 函数或属于幂指函数(图1-14)。当或时，函数的极限都是，即Ox图1-141-11y2(其中是无理数，近似等于)。证明它属于高等微积分，你暂且记住它就可以了。把数列极限看作函数极限的特殊情形时, 则也有。实际上，在近代极限论中，先是证明数列极限，而后又证明了函数极限【证明在本书第二篇（5-