【数学】自招中导数的运用.pdf

名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 1 第二讲第二讲 导数及其应用导数及其应用 一一 问题的引入问题的引入 实例实例 1 瞬时速度瞬时速度 考察质点的自由落体运动 真空中 质点在时刻 0 到时刻 t 这一时间段内下落的路程 s 由公式 s 2 1 gt2来确定 现在来求 t 1 秒这一时刻质点的速度 当 t 很小时 从 1 秒到 1 t 秒这段时间内 质点运动的速度变化不大 可用这段时间 内的平均速度作为质点在 t 1 时速度的近似 t s s m t s m s 0 1 1 029 10 29 0 01 0 09849 9 849 0 001 0 0098049 9 8049 0 0001 0 000980049 9 80049 0 00001 0 00009800049 9 800049 上表看出 平均速度 t s 随着 t 变化而变化 当 t 越小时 t s 越接近于一个定值 9 8m s 考察下列各式 s 2 1 g 1 t 2 2 1 g 12 2 1 g 2 t t 2 t s 2 1 g t tt 2 2 2 1 g 2 t 当 t 越来越接近于 0 时 t s 越来越接近于 1 秒时的 速度 现在取 t 0 的极限 得 t s 0 lim tg 2 2 1 lim 0 g 9 8 m s 为质点在t 1 秒时速度为瞬时速度瞬时速度 一般地 设质点的位移规律是 s f t 在时刻 t 时时间有改变量 t s 相应的改变量为 s f t t f t 在时间段 t 到 t t 内的平均速度为 v t tfttf t s 对平均速度取 t 0 的极限 得 v t 00 limlim tt f ttf ts tt 称 v t 为时刻 t 的瞬时速度瞬时速度 实例实例 2 曲线的切线曲线的切线 设方程为 y f x 曲线为 L 其上一点 A 的坐标为 x0 f x0 在曲线上点 A 附近另取一点 B 它的坐标是 x0 x f x0 x 直线 AB 是曲线的割线 它的倾斜角记作 由图中的 Rt ACB 可知割线 AB 的斜率 tan x xfxxf x y AC CB 00 在数量上 它表示当自变量从 x 变到 x x 时函数 f x f x0 x x y O A B x0 x0 x f x0 T C 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 2 关于变量 x 的平均变化率 增长率或减小率 现在让点 B 沿着曲线 L 趋向于点 A 此时 x 0 过点 A 的割线 AB 如果也能趋向于一个极限位置 直线 AT 我们就称 L 在点 A 处存在切线切线 AT 记 AT 的倾斜角为 则 为 的极限 若 90 得切线 AT 的斜率为 tan 0 lim x tan x xfxxf x y xx limlim 00 00 在数量上 它表示函数 f x 在 x 处的变化率 上述两个实例 虽然表达问题的函数形式 y f x 和自变量 x 具体内容不同 但本质都是 要求函数 y 关于自变量 x 在某一点 x 处的变化率 1 自变量 x 作微小变化 x 求出函数在自变量这个段内的平均变化率y x y 作为点 x 处变化率的近似 2 对y求 x 0 的极限 x y x 0 lim 若它存在 这个极限即为点 x 处变化率的的精确值 二 导数的定义二 导数的定义 1 函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念 定义定义 设函数 y f x 在 x0的某个邻域内有定义 对应于自变量 x 在 x0处有改变量 x 函数 y f x 相应的改变量为 y f x0 x f x0 若这两个改变量的比 x xfxxf x y 00 当 x 0 时存在极限 我们就称函数 y f x 在点 x0处可导可导 并把这一极限称为函数 y f x 在 点 x0处的导数导数 或变化率或变化率 记作 0 xx y 或 f x0 或 0 xx dx dy 或 0 xx dx xdf 即 0 xx y f x0 x xfxxf x y xx limlim 00 00 2 1 比值 x y 表示函数 y f x 在 x0到 x0 x 之间的平均变化率 导数 0 xx y 则表示了函数在 点 x0处的变化率 它反映了函数 y f x 在点 x0处的变化的快慢 如果当 x 0 时 x y 的极限不存在 我们就称函数 y f x 在点 x0处不可导或不可导或导数不存在 导数不存在 在定义中 若设 x x0 x 则 2 1 可写成 f x0 0 0 0 lim xx xfxf xx 2 2 根据导数的定义 求函数 y f x 在点 x0处的导数的步骤如下 第一步 求函数的改变量 y f x0 x f x0 第二步 求比值 x xfxxf x y 00 第三步 求极限 f x0 x y x 0 lim 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 3 例例 1 求 y f x x2在点 x 2 处的导数 注 当 x xfxxf x 00 0 lim 存在时 称其极限值为函数 y f x 在点 x0处的左导数左导数 记作 0 xf 当 x xfxxf x 00 0 lim 存在时 称其极限值为函数 y f x 在点 x0处的右导右导 数数 记作 0 xf 据极限与左 右极限之间的关系 f x0 存在 0 xf 0 xf 存在且相等 此时 0 xf 0 xf f x0 注 设 f xx 则 0 1 0 1 0 0 ffff 故 0 f不存在 2 导函数的概念导函数的概念 如果函数如果函数 y f x 在开区间在开区间 a b 内 内 a可以为可以为 b可以为可以为 每一点处都可导 就 每一点处都可导 就 称函数称函数 y f x 在开区间在开区间 a b 内可导内可导 这时 对开区间 a b 内每一个确定的值 x0都有对应着 一个确定的导数 f x0 这样就在开区间 a b 内 构成一个新的函数 我们把这一新的函数 称为 f x 的导函数导函数 记作等 f x 或 y 等 根据导数定义 就可得出导函数 f x y x xfxxf x y xx 00 limlim 2 3 导函数也简称为导数 注意 f x 是 x 的函数 而 f x0 是一个数值 f x 在点处的导数 f x0 就是导函数 f x 在点 x0处的函数值 例例 2 求 y sinx x R R 的导数 注 用类似的方法可以求得 y cosx x R R 的导数为 cosx sinx 三 导数的几何意义三 导数的几何意义 方程为方程为 y f x 的曲线 的曲线 在点在点 A x0 f x0 处存在非垂直切线处存在非垂直切线 AT 的充分必要条件是的充分必要条件是 f x 在在 x0存在导数存在导数 f x0 且 且 AT 的斜率的斜率 k f x0 导数的几何意义 函数 y f x 在 x0处的导数 f x0 是函数图象在点 x0 f x0 处切线的 斜率 另一方面也可立即得到切线的方程为 000 yf xfxxx 2 4 过切点 A x0 f x0 且垂直于切线的直线 称为曲线 y f x 在点 A x0 f x0 处的法线法线 则当 切线非水平 即 0 0fx 时的法线方程为 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 4 00 0 1 yf xxx fx 2 5 例例 3 求曲线sinyx 在点 6 2 1 处的切线和法线方程 例例 4 求曲线 2 yx 平行于直线 y 2x 的切线方程 四 可导和连续的关系四 可导和连续的关系 定理定理 如果函数如果函数 f x 在点在点 x0处可导 则函数处可导 则函数 f x 在在 x0处连续 处连续 但 y f x 在点 x0处连续 在 x0处不一定是可导的 证明略 例如 y x 在 x 0 处都连续但却不可导 例例 5 设函数 f x 0 1 0 2 xx xx 讨论函数 f x 在 x 0 处的连续性和可导性 解 因为 0 lim x f x 0 lim x x 1 1 f 0 事实上 f x 在 x 0 处极限不存在 所以 f x 在 x 0 处不连续 由以上定理 f x 在 x 0 处不可导 五 基本导数公式和求导四则运算法则五 基本导数公式和求导四则运算法则 导数的基本公式导数的基本公式 1 C 0 2 x x 1 3 sinx cosx 4 cosx sinx 5 tanx sec2x 6 cotx csc2x 7 secx secxtanx 8 cscx cscxcotx 9 ax ax lna 10 ex ex 11 logax ax ln 1 12 lnx x 1 13 arcsinx 2 1 1 x 14 arccosx 2 1 1 x 15 arctanx 2 1 1 x 16 arccotx 2 1 1 x 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 设 u v 都是 x 的可导函数 则有 1 和差法则 u v u v 2 乘法法则 u v u v u v 特别地 c u c u c 是常数 3 除法法则 v u 2 v vuvu 注意注意 法则 1 2 都可以推广到有限多个函数的情形 即若 u1 u2 un均为可导函数 则 u1 u2 un n uuu 21 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 5 u1 u2 un nnn uuuuuuuuu 212121 举例 举例 1 1 ln 1 ln 1 ln ln x xxxxxxx x 22 1 ln 1 1 ln 1 ln ln ln ln x x xxxxx x xxx 4 链式法则 复合函数 yg h x 的导数 设 uh x 则 yg u 于是 dydy du dxdu dx 最后统一用x表达 如 2322 1 3 1 2xxx 令 2 1ux 11 xx ee 令1ux 例例 6 6 已知 f x在xa 处可导 且 fab 求下列极限 1 h hafhaf h 2 3 lim 0 2 h afhaf h lim 2 0 分析分析 在导数定义中 增量 x 的形式是多种多样 但不论 x 选择哪种形式 y 也必须 选择相对应的形式 利用函数 f x 在xa 处可导的条件 可以将已给定的极限式恒等变形 转化为导数定义的结构形式 解解 1 h hafafafhaf h hafhaf hh 2 3 lim 2 3 lim 00 bafaf h afhaf h afhaf h hafaf h afhaf hh hh 2 2 1 2 3 lim 2 1 3 3 lim 2 3 2 lim 2 3 lim 00 00 2 h h afhaf h afhaf hh 2 2 0 2 0 lim lim 00 lim lim 0 2 2 0 afh h afhaf hh 例例 7 7 过点 1 1 的直线l与曲线 32 21yxxx 相切 且 1 1 是切点 则直线l 的斜率是 C 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 6 A 2 B 1 C 3 D 2 例例 8 8 00 00 交大交大 已知函数 f x 满足 f x y f x f y xy x y 又 0 1 f 错误错误 未找未找 到引用源 到引用源 求函数 f x 的解析式 00 2 000 2 0 3 3 0 0 0 limlim limlim lim 0 1 lim 1 1 1 0 0 3 1 0 3 yy yyy y xyf f xyf xf yxy xy fx yy f yf y x xyx yy f y ffxx y f xxxCf Cf xxx 解 令 因为 所以所以 所以常数 又 所以 所以 六六 导数与函数的单调性 极值导数与函数的单调性 极值 定理定理 1 当函数当函数 fx在区间在区间I上恒大于等于 小于等于 上恒大于等于 小于等于 0 时 且时 且 fx在区间在区间I上上 上等于上等于 0 的点只有有限个 含的点只有有限个 含 0 个 时 个 时 f x在在I上单调递增 递减 上单调递增 递减 如 如 3 f xx 的导数的导数 2 3fxx 在在 上恒大于等于上恒大于等于 0 且使得 且使得 0fx 的点的点 只有一个 只有一个 0 x 故 故 3 f xx 在在 上单调递增上单调递增 2 若 若 f x在区间在区间I上单调递增 递减 且上单调递增 递减 且 f x在在I内可导 则内可导 则 fx在区间在区间I 上上 恒大于等于 小于等于 恒大于等于 小于等于 0 注 注 2 中 等于 不能忽略 如 中 等于 不能忽略 如 3 f xx 在 可导 但可导 但 0 0f 极值点 极值点 若 f x在 0 x的附近所有点的函数值不大 小 于 0 f x 则称 0 x为 f x的一个 极大 小 值点 或 f x在 0 x处达到极大 小 值 极大值点与极小值 点 统称为极值 点 注 注 1 最大 小 值点必为极大 小 值点 但极大 小 值点未必是最大 小 值点 2 若 f x在极值点 0 x的附近可导 则 0 0fx 反之 若 f x在 0 x的附近可导 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 7 且 0 0fx 则 0 x未必是 f x的极值点 如 3 f xx 在 0 处导数为 0 但 0 不是 f x 的极值点 举例举例 2 1f xx 的导函数 2fxx 在 0 上恒小于 0 在 0 上恒大于 0 故 2 1f xx 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 因而在 0 处达到最小值 也 是极小值 且 0 0f 例例 9 9 09 09 中科大中科大 设 0 2 则 81 SinCos 的最小值是 5 5 22 2 0 1 2 8 1 1 0 21 x xx f xfx xx 解 设tan则原式可化为 求导令在讨论单调性即可或者直接求导也可以 例例 1010 07 07 武大武大 已知函数 x f xex 其中 e 为自然对数的底 1 若函数 2 1F xf xax 的导数在 0 上是增函数 求 a 的最大值 2 求证 1111 23414 2 n ffffnnN nn 222 2 12 0 0 2 11 22 1111111 2 2312231 1 1111111 2 233124 2 1 x x e F xeaa aa fffn nn n nnnkk k 解 在上恒非负 所以 在上恒成立 所以 的最大值是 因为 例例 1111 设曲线xey x 0 在点 M t e t 处的切线l与 x 轴 y 轴所围成的三角形面积为 S t 1 求切线l的方程 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 8 2 求 S t 的最大值 解 因为 xx eexf 所以切线l的斜率为 x e 故切线l的方程为 txeey tt 在l的方程中令 y 0 得 x t 1 又令 x 0 得 1 tey t 所以 S t 1 1 2 1 tet t t et 2 1 2 1 从而 1 1 2 1 ttetS t 当 t 0 1 时 t S 0 当 t 1 时 t S 0 x1 x2是方程 x2 ax 2 0 的两非零实根 x1 x2 a x1x2 2 从而 x1 x2 21 2 21 4 xxxx 8 2 a 1 a 1 x1 x2 8 2 a 3 要使不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 当且仅当 m2 tm 1 3 对任意 t 1 1 恒成立 即 m2 tm 2 0 对任意 t 1 1 恒成立 设 g t m2 tm 2 mt m2 2 因为 g t 是 t 的一次函数 故 g 1 m2 m 2 0 g 1 m2 m 2 0 m 2 或 m 2 所以 存在实数 m 使不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 其取值范围是 m m 2 或 m 2 例例 1414 设函数 f x定义在 0 上 1 0f 导函数 1 fx x g xf xfx 1 求 g x的单调区间和最小值 2 讨论 g x与 1 g x 的大小关系 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 11 3 是否存在 0 0 x 使得 0 1 g xg x x 对任意成立 若存在 求出 0 x的取值范围 若不存在 请说明理由 解 1 由题设易知 lnf xx 1 lng xx x 2 1 x g x x 令 0g x 得1x 当 0 1 x 时 0g x 故 0 1 是 g x的单调减区间 当 1 x 时 0g x 故 1 是 g x的单调增区间 因此 1x 是 g x的最小值点 所以最小值为 1 1g 2 1 lngxx x 设 11 2lnh xg xgxx xx 则 2 2 1 x h x x 当1x 时 1 0h 即 1 g xg x 当 0 1 1 x 时 0h x 1 0h 因此 h x在 0 内单调递减 当01x 时 1 0h xh 即 1 g xg x 当1x 时 1 0h xh 即 1 g xg x 3 满足条件的0 x不存在 证明如下 假设存在 0 0 x 使 0 1 g xg x x 对任意0 x 成立 即对任意0 x 有 0 2 Inxg xInx x 但对上述 0 x 取 0 1 g x xe 时 有 10 Inxg x 这与 左边不等式矛盾 因此 不存在 0 0 x 使 0 1 g xg x x 对任意0 x 成立 七七 课后练习课后练习 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 12 习题习题 1 1 对于 R 上可导的任意函数 f x 若满足 x 1 f x 0 则必有 C A f 0 f 2 2f 1 B f 0 f 2 2f 1 C f 0 f 2 2f 1 D f 0 f 2 2f 1 解 解 依题意 当 x 1 时 f x 0 函数 f x 在 1 上是增函数 当 x 1 时 f x 0 f x 在 1 上是减函数 故 f x 当 x 1 时取得最小值 即有 f 0 f 1 f 2 f 1 故选 C 习题习题 2 2 曲线 y 4x x3在点 1 3 处的切线方程是 A y 7x 4 B y 7x 2 C y x 4 D y x 2 解解 曲线 y 4x x3 导数 y 4 3x2 在点 1 3 处的切线的斜率为 k 1 所以切线方程是 y x 2 选 D 习题习题 3 3 函数 f x 的定义域为开区间 a b 导函数 f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数 f x 在开区 间 a b 内有极小值点 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析 解析 函数 f x 的定义域为开区间 a b 导函数 f x 在 a b 内的图象如图所示 函数 f x 在 开区间 a b 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点 其导数值为由负到正的点 只 有 1 个 选 A 注 函数 f x 在开区间 a b 内极大值点有 2 个 习题习题 4 4 f x x3 3x2 2 在区间 1 1 上的最大值是 A 2 B 0 C 2 D 4 解 解 f x 3x2 6x 3x x 2 令 f x 0 可得 x 0 或 2 2 舍去 当 1 x 0 时 f x 0 当 0 x 1 时 f x 0 所以当 x 0 时 f x 取得最大值为 2 选 C 习题习题 5 5 09 09 模拟模拟 已知函数 2 47 2 x f x x 01x 求 f x的单调区间和值域 设1a 函数 22 3201g xxa xax 若对于任意 1 01x 总存在 0 01x 使得 01 g xf x 成立 求a的取值范围 解 对函数 f x 求导 得 2 2 4167 2 xx fx x a b x y xfy O a b x y xfy O 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 13 2 21 27 2 xx x 令 f x 0 解得 1 1 2 x 或 2 7 2 x 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 1 0 2 1 2 1 1 2 1 fx 0 f x 7 2 4 3 所以 当 1 0 2 x 时 f x 是减函数 当 1 1 2 x 时 f x 是增函数 当 01x 时 f x 的值域为 43 对函数 g x 求导 得 22 3gxxa 因为1a 故当 01x 时 2 3 10gxa 因此当 01x 时 g x为减函数 从而当 01x 时有 10g xgg 又 2 11 23gaa 02ga 即当 1x 0 时有 2 1 232g xaaa 任给 1 1x 0 1 43f x 存在 0 01x 使得 01 g xf x 则 2 1 23243aaa 即 2 1 2341 232 aa a 解1 式得 1a 或 5 3 a 解2 式得 3 2 a 又1a 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 14 故 a的取值范围为 3 1 2 a 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 15 八八 课后训练课后训练 1 过点 1 0 作抛物线y x2 x 1的切线 则其中一条切线为 A 2x y 2 0 B 3x y 3 0 C x y 1 0 D x y 1 0 解解 D y 2x 1 设切点坐标为 x0 y0 则切线的斜率为 2x0 1 且 y0 x02 x0 1 于是切线方程为 y x02 x0 1 2x0 1 x x0 因为点 1 0 在切线上 可解得 x0 0 或 2 代入可验正 D 正确 另一条满足要求的切线为 3x y 3 0 2 设函数 2 4ln1f xxx 求函数 xf的单调递增区间 若关于x的方程 2 40f xxxa 在区间 1 e内恰有两个相异的实根 求实数a 的取值范围 答案 7 12 分 解 1 函数 f x的定义域为 0 1 分 2 42 2 2 2 1 2 1 xxxx fxx xxx 3 分 令 0fx 得02x 故函数 f x的单调递增区间为 0 2 4 分 2 方法 1 2 4ln1f xxx 2 404ln2101f xxxaxxa 即在 e 内恰有两个相异的实根 令 4ln21g xxxa 442 2 x g x xx 则 6 分 42 02 x g xx x 令得 列表如下 x 1 1 2 2 2 e e g x 0 g x 1 g 2 g极大值 g e 1 3ga 32g eea 24ln25ga 1 g eg 8 分 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 16 要使 2 401f xxxa 在 e 内恰有两个相异的实根 只需 0 2 g eg 即3 204ln2 5eaa 3 24ln2 5ea a 的取值范围是 32 4ln25e 12 分 方法 2 2 4ln1f xxx 2 404ln211f xxxaxxa 即在 e 内恰有两个相异的实根 令 4ln21h xxx 442 2 x x xx 则h 6 分 42 02 x h xx x 令得 列表如下 x 1 1 2 2 2 e e h x 0 h x 1 h 2 h极大值 h e 1 3h 32h ee 24ln25h 1 h eh 8 分 要使 2 41f xxxa 在 e 内恰有两个相异的实根 只需 2 h eah 即3 24ln2 5ea a 的取值范围是 32 4ln25e 12 3 已知函数1 1 1ln xkxxf I 求函数 xf的单调区间 若0 xf恒成立 试确定实数 k 的取值范围 证明 2 2 1ln 在xx上恒成立 n i nNn nn i i 2 1 4 1 1 ln 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 17 解 I 函数k x xfxf 1 1 1 的定义域为 当0 k时0 1 1 k x xf 则 1 在xf上是增函数 当0 k时 若 1 1 1 k x 时有0 1 1 k x xf 若 1 1 k x时 有0 1 1 k x xf则 1 1 1 k xf 在上 是 增 函 数 在 1 1 k 上是减函数 4 分 由 I 知0 k 时 1 在xf递增 而0 01 2 xfkf不成立 故 0 k 又由 I 知k k fyln 1 1 max 要使0 xf恒成立 则0ln 1 1 max k k fy即可 由10ln kk得 8 分 由 知 当1 k时有 1 0 在xf恒成立 且 2 在xf上是减函 数 0 2 f 0 2 xfx恒成立 即 2 2 1ln 在xx上恒成立 11 分 令 2 1nx 则1ln 22 nn 即 1 1 ln2 nnn 从而 2 1 1 ln n n n 4 1 2 1 2 3 2 2 2 1 1 ln 5 4ln 4 3ln 3 2ln nnn n n 成立 4 已知函数 1 1 ln 1 xx f x x 设 2 0 g xxfxx 试证明 g x在区间 0 内是增函数 若存在唯一实数 1 am m 使得 0g a 成立 求正整数m的值 若0 x时 f xn 恒成立 求正整数n的最大值 证明 1 1 1l n 1 0 xx f xx x 2 1l n 1 xx fx x 1 ln 1 0 g xxxx 则 0 1 x g x x g x在 0 内单调递增 解 2 2 1 ln30g 3 2 1 ln2 0g 由 1 可得 g x在 0 内单 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 18 调递增 即 0g x 存在唯一根 3 2 a 2m 解 3 由 f xn 得 nf x 且 0 x 恒成立 由 2 知存在唯一实数 3 2 a 使 0g a 且 当ax0 时 0g x 0fx 当ax 时 0g x 0fx 当ax 时 f x取得最小值 1 1 ln 1 aa f a a 0g a a 1aln 10 1aln 1a 于是 1 f aa 3 2 a 3 4 f a 3n 故正整数n的最大值为 3 5 已知函数 f x满足满足 12 1 1 0 2 x f xfefxx 1 求 f x的解析式及单调区间 2 若 2 1 2 f xxaxb 求 1 ab 的最大值 错误错误 未找到引用源 未找到引用源 解析 1 121 1 1 0 1 0 2 xx f xfefxxfxfefx 令1x 得 0 1f 121 1 1 0 1 1 1 2 x f xfexxffefe 得 2 1 1 2 xx f xexxg xfxex 10 x g xeyg x 在xR 上单调递增 0 0 0 0 0 0fxfxfxfx 得 f x的解析式为 2 1 2 x f xexx 且单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 2 2 1 1 0 2 x f xxaxbh xeaxb 得 1 x h xea 当10a 时 0 h xyh x 在xR 上单调递增 x 时 h x 与 0h x 矛盾 当10a 时 0ln 1 0ln 1 h xxah xxa 得 当 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 19 ln 1 xa 时 min 1 1 ln 1 0h xaaab 22 1 1 1 ln 1 10 abaaaa 令 22 ln 0 F xxxx x 则 1 2ln F xxx 00 0F xxe F xxe 当xe 时 max 2 e F x 当1 aebe 时 1 ab 的最大值为 2 e 错误错误 未找到引用源 未找到引用源 6 设 13 ln1 22 f xaxx x 其中aR 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线垂直 于y轴 求a的值 求函数 f x的极值 解 1 因 13 ln1 22 f xaxx x 故 2 13 22 a fx xx 由于曲线 yfx 在点 1 1f处的切线垂直于y轴 故该切线斜率为 0 即 10 f 从而 13 0 22 a 解得1a 2 由 1 知 13 ln10 22 f xxxx x 2 22 113321 222 xx fx xxx 2 31 1 2 xx fx x 令 0fx 解得 12 1 1 3 xx 因 2 1 3 x 不在定义域内 舍去 当 0 1x 时 0fx 故 f x在 0 1上为减函数 当 1 x 时 0fx 故 f x在 1 上为增函数 故 f x在1x 处取得极小值 13f 7 设函数 n n fxxbxcnN b cR 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 20 1 设2n 1 1bc 证明 n fx在区间 1 1 2 内存在唯一的零点 2 设2n 若对任意 12 x x 1 1 有 2122 4fxfx 求b的取值范围 3 在 1 的条件下 设 n x是 n fx在 1 1 2 内的零点 判断数列 23 n x xx的增减性 错误错误 未找到引用源 未找到引用源 解析 1 1 1bc 2n 时 1 n n fxxx 111 1 10 222 nn n ff n fx在 1 1 2 内存在零点 又当 1 1 2 x 时 1 10 n n fxnx n fx在 1 1 2 上是单调递增的 所以 n fx在 1 1 2 内存在唯一零点 2 当2n 时 2 2 fxxbxc 对任意 12 1 1 x x 都有 2122 4fxfx 等价于 2 fx在 1 1 上最大值与最小 值之差4M 据此分类讨论如下 当 1 2 b 即 2b 时 22 1 1 2 4Mffb 与题设矛盾 当10 2 b 即02b 时 2 22 1 1 4 22 bb Mff 恒成立 当01 2 b 即20b 时 2 22 1 1 4 22 bb Mff 恒成立 综上可知 22b 注 也可合并证明如下 用max a b表示 a b中的较大者 当11 2 b 即22b 时 222 max 1 1 2 b Mfff 2222 2 1 1 1 1 222 ffffb f 名学堂教育 www mingschool org 400 633 4478 21 2 1 4 b cbc 2 1 4 2 b 恒成立 3 证法一 设 n x是 n fx在 1 1 2 内的唯一零点 2 n 1 n nnnn fxxx 1 1111 10 n nnnn fxxx 1 1 1 2 n x 于是有 1 1111111 0 11 nn nnnnnnnnnn fxfxxxxxfx 又由 1 知 n fx在 1 1 2 上是递增的 故 1 2 nn xxn 所以 数列 23 n x xx是递增数列 证法二 设 n x是 n fx在 1 1 2 内的唯一零点 11 11 1 1 11 1