第二章 信源熵-习题答案.pdf

1 2 1 试问四进制 八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍 解 四进制脉冲可以表示 4 个不同的消息 例如 0 1 2 3 八进制脉冲可以表示 8 个不同的消息 例如 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制脉冲可以表示 2 个不同的消息 例如 0 1 假设每个消息的发出都是等概率的 则 四进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH 24loglog 1 八进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH 38loglog 2 二进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH 12loglog 0 所以 四进制 八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的 2 倍和 3 倍 2 2 居住某地区的女孩子有 25 是大学生 在女大学生中有 75 是身高 160 厘米以上的 而女 孩子中身高 160 厘米以上的占总数的一半 假如我们得知 身高 160 厘米以上的某女孩是大 学生 的消息 问获得多少信息量 解 设随机变量 X 代表女孩子学历 X x1 是大学生 x2 不是大学生 P X 0 25 0 75 设随机变量 Y 代表女孩子身高 Y y1 身高 160cm y2 身高 log6 不满足信源熵的极值性 解 3 585 26log 657 2 17 0log17 016 0log16 017 0log17 018 0log18 019 0log19 02 0log2 0 log 2 6 XH symbolbit xpxpXH i ii 不满足极值性的原因是107 1 6 i i xp 2 7 证明 H X3 X1X2 H X3 X1 并说明当X1 X2 X3是马氏链时等式成立 证明 0 log1 log log1 log log log log log 2 123 1321 2 123 321 123 1321 123 2 213 13 321 123 213 13 321 123 13321 123 213321 13 1331 123 213321 13213 exxpxxp exxxpxxpxxp e xxxp xxp xxxp xxxp xxp xxxp xxpxxxpxxxpxxxp xxpxxpxxxpxxxp XXHXXXH iii iiii iii iii iii iiii iii iii ii iii iii iii ii iii iii iiiii iii iiiiii ii iiii iii iiiiii 氏链是马等式成立的条件是 时等式成立当 01 321 1321312 32113121 212131321 21313 213 13 13213 XXX xxxpxxpxxp xxxpxxpxxpxp xxpxxxpxxpxxp xxxpxxp xxxp xxp XXHXXXH iiiiiii iiiiiiii iiiiiiiii iiiii iii ii 2 8 证明 H X1X2 Xn H X1 H X2 H Xn 证明 0 0 2133213 12212 12121312121 XXXHXHXXXI XXHXHXXI XXXXHXXXHXXHXHXXXH nnn 4 0 32121 121121 nn nNNnN XHXHXHXHXXXH XXXXHXHXXXXI 2 9 设有一个信源 它产生 0 1 序列的信息 它在任意时间而且不论以前发生过什么符号 均按 P 0 0 4 P 1 0 6 的概率发出符号 1 试问这个信源是否是平稳的 2 试计算H X 2 H X 3 X1X2 及H 3 试计算H X 4 并写出 X 4信源中可能有的所有符号 解 1 这个信源是平稳无记忆信源 因为有这些词语 它在任意时间 而且不论以前发生过什么符号 2 symbolbitXHXXXXHH symbolbitxpxpXHXXXH symbolbitXHXH NNN N i ii 971 0 lim 971 0 6 0log6 04 0log4 0 log 942 1 6 0log6 04 0log4 0 2 2 121 3213 2 3 1111111011011100 1011101010011000 0111011001010100 0011001000010000 的所有符号 884 3 6 0log6 04 0log4 0 4 4 4 4 X symbolbitXHXH 2 10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示 信源X的符号集为 0 1 2 1 求平稳后信源的概率分布 2 求信源的熵H 2 01 P P P P PP 解 1 5 3 1 3 1 3 1 1 3 2 1 321 321 133 322 211 1313333 3232222 2121111 ep ep ep epepep epepep eppeppep eppeppep eppeppep eepepeepepep eepepeepepep eepepeepepep 3 1 2 3 1 1 3 1 0 3 13 3 13 3 13 131313333 323232222 212121111 XP X ppeppeppexpepexpepxp ppeppeppexpepexpepxp ppeppeppexpepexpepxp 2 symbolbitpppp pppppppppppp eepeepeepeepeepeep eepeepeepeepeepeep eepeepeepeepeepeep eepeepepH ij ijiji loglog log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 333332323131 232322222121 131312121111 33 2 11 黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种 即信源X 黑 白 设黑色出现的概率为 P 黑 0 3 白色出现的概率为P 白 0 7 1 假设图上黑白消息出现前后没有关联 求熵H X 2 假设消息前后有关联 其依赖关系为P 白 白 0 9 P 黑 白 0 1 P 白 黑 0 2 P 黑 黑 0 8 求此一阶马尔可夫信源的熵H2 X 3 分别求上述两种信源的剩余度 比较H X 和H2 X 的大小 并说明其物理含义 解 1 symbolbitxpxpXH i ii 881 0 7 0log7 03 0log3 0 log 2 6 symbolbit eepeepepH ep ep epep epep epepep epepep eepepeepepep eepepeepepep ij ijiji 553 0 9 0log9 0 3 2 1 0log1 0 3 2 2 0log2 0 3 1 8 0log8 0 3 1 log 3 2 3 1 1 2 2 0 9 0 1 0 8 0 2 1 21 12 122 211 1212222 2121111 3 7 44 2log 553 02log 9 11 2log 881 02log 0 0 1 0 0 1 H HH H HH H X H2 X 表示的物理含义是 无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度 有记忆信源的结构化信息较多 能够进行较大程度的压缩 2 12 同时掷出两个正常的骰子 也就是各面呈现的概率都为 1 6 求 1 3 和 5 同时出现 这事件的自信息 2 两个 1 同时出现 这事件的自信息 3 两个点数的各种组合 无序 对的熵和平均信息量 4 两个点数之和 即 2 3 12 构成的子集 的熵 5 两个点数中至少有一个是 1 的自信息量 解 1 bitxpxI xp ii i 170 4 18 1 log log 18 1 6 1 6 1 6 1 6 1 2 bitxpxI xp ii i 170 5 36 1 log log 36 1 6 1 6 1 3 两个点数的排列如下 11 12 13 14 15 16 黑 白 p 黑 黑 0 8 e1 e2 p 白 白 0 9 p 白 白 0 1 p 白 黑 0 2 7 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 共有 21 种组合 其中 11 22 33 44 55 66 的概率是 36 1 6 1 6 1 其他 15 个组合的概率是 18 1 6 1 6 1 2 symbolbitxpxpXH i ii 337 4 18 1 log 18 1 15 36 1 log 36 1 6 log 4 参考上面的两个点数的排列 可以得出两个点数求和的概率分布如下 symbolbit xpxpXH XP X i ii 274 3 6 1 log 6 1 36 5 log 36 5 2 9 1 log 9 1 2 12 1 log 12 1 2 18 1 log 18 1 2 36 1 log 36 1 2 log 36 1 12 18 1 11 12 1 10 9 1 9 36 5 8 6 1 7 36 5 6 9 1 5 12 1 4 18 1 3 36 1 2 5 bitxpxI xp ii i 710 1 36 11 log log 36 11 11 6 1 6 1 2 13 某一无记忆信源的符号集为 0 1 已知P 0 1 4 P 1 3 4 1 求符号的平均熵 2 有 100 个符号构成的序列 求某一特定序列 例如有m个 0 和 100 m 个 1 的自信息量的表达式 3 计算 2 中序列的熵 解 1 symbolbitxpxpXH i ii 811 0 4 3 log 4 3 4 1 log 4 1 log 2 bitmxpxI xp m ii m mm i 585 15 41 4 3 log log 4 3 4 3 4 1 100 100 100 100 100 8 3 symbolbitXHXH 1 81811 0100 100 100 2 14 对某城市进行交通忙闲的调查 并把天气分成晴雨两种状态 气温分成冷暖两个状态 调查结果得联合出现的相对频度如下 忙 晴 雨 冷 12 暖 8 暖 16 冷 27 闲 晴 雨 冷 8 暖 15 暖 12 冷 5 若把这些频度看作概率测度 求 1 忙闲的无条件熵 2 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵 3 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息 解 1 根据忙闲的频率 得到忙闲的概率分布如下 symbolbitxpxpXH xx XP X i i i 964 0 103 40 log 103 40 103 63 log 103 63 log 103 40 103 63 闲忙 2 21 2 设忙闲为随机变量 X 天气状态为随机变量 Y 气温状态为随机变量 Z symbolbitYZHXYZHYZXH symbolbit zypzypYZH symbolbit zyxpzyxpXYZH jk kjkj ijk kjikji 859 0977 1836 2 977 1 103 28 log 103 28 103 32 log 103 32 103 23 log 103 23 103 20 log 103 20 log 836 2 103 12 log 103 12 103 5 log 103 5 103 15 log 103 15 103 8 log 103 8 103 16 log 103 16 103 27 log 103 27 103 8 log 103 8 103 12 log 103 12 log 3 symbolbitYZXHXHYZXI 159 0859 0964 0 9 2 15 有两个二元随机变量X和Y 它们的联合概率为 Y X x1 0 x2 1 y1 0 1 8 3 8 y2 1 3 8 1 8 并定义另一随机变量Z XY 一般乘积 试计算 1 H X H Y H Z H XZ H YZ 和H XYZ 2 H X Y H Y X H X Z H Z X H Y Z H Z Y H X YZ H Y XZ 和H Z XY 3 I X Y I X Z I Y Z I X Y Z I Y Z X 和I X Z Y 解 1 symbolbitypypYH yxpyxpyp yxpyxpyp symbolbitxpxpXH yxpyxpxp yxpyxpxp j jj i ii 1 log 2 1 8 1 8 3 2 1 8 3 8 1 1 log 2 1 8 1 8 3 2 1 8 3 8 1 22212 12111 22122 21111 Z XY 的概率分布如下 symbolbitzpZH zz ZP Z k k 544 0 8 1 log 8 1 8 7 log 8 7 8 1 8 7 10 2 21 symbolbitzxpzxpXZH zpzxp zxpzxpzp zxpzpzxp zxpzxpzp xpzxp zxp zxpzxpxp ik kiki 406 1 8 1 log 8 1 8 3 log 8 3 2 1 log 2 1 log 8 1 8 3 5 0 8 7 5 0 0 222 22212 11112 12111 111 21 21111 10 symbolbitzypzypYZH zpzyp zypzypzp zypzpzyp zypzypzp ypzyp zyp zypzypyp jk kjkj 406 1 8 1 log 8 1 8 3 log 8 3 2 1 log 2 1 log 8 1 8 3 5 0 8 7 5 0 0 222 22212 11112 12111 111 21 21111 symbolbit zyxpzyxpXYZH yxpzyxp yxpzyxpzyxp zyxp yxpzyxp yxpzyxpzyxp zyxpzxpzyxp zxpzyxpzyxp yxpzyxp yxpzyxpzyxp zyxp zyxp zyxp ijk kjikji 811 1 8 1 log 8 1 8 3 log 8 3 8 3 log 8 3 8 1 log 8 1 log 8 1 0 8 3 8 3 8 1 2 1 8 1 0 0 0 2 22222 22222122 122 12112 12212112 11111121 11111121 11111 11211111 212 221 211 2 symbolbitXYHXYZHXYZH symbolbitXZHXYZHXZYH symbolbitYZHXYZHYZXH symbolbitYHYZHYZH symbolbitZHYZHZYH symbolbitXHXZHXZH symbolbitZHXZHZXH symbolbitXHXYHXYH symbolbitYHXYHYXH symbolbityxpyxpXYH ij jiji 0811 1811 1 405 0406 1811 1 405 0406 1811 1 406 01406 1 862 0544 0406 1 406 01406 1 862 0544 0406 1 811 01811 1 811 01811 1 811 1 8 1 log 8 1 8 3 log 8 3 8 3 log 8 3 8 1 log 8 1 log 2 3 11 symbolbitYZXHYXHYZXI symbolbitXZYHXYHXZYI symbolbitYZXHZXHZYXI symbolbitZYHYHZYI symbolbitZXHXHZXI symbolbitYXHXHYXI 406 0405 0811 0 457 0405 0862 0 457 0405 0862 0 138 0862 01 138 0862 01 189 0811 01 2 16 有两个随机变量X和Y 其和为Z X Y 一般加法 若X和Y相互独立 求证 H X H Z H Y H Z 证明 log log log 0 2 YHZH XZHZH YHypypxp xzpxzpxpxzpzxpXZH Yxz Yxzyp xzpxzp YXZ ij jji ik ikiki ik ikki ik ikj ikik 同理可得 XHZH 2 17 给定声音样值 X 的概率密度为拉普拉斯分布 xexp x 2 1 求Hc X 并 证明它小于同样方差的正态变量的连续熵 解 12 e XHeeXH dxexexde xdxedxedxexedex dxxedxxedxxxpxEmxE xdxexdxem ydyeydyeydyexdxe xdxexdxexdxexdxxpXEm symbolbit e eXH eeeedeee ede dxee dxee dxee dxexpdxxp dxexpdxxpxpXH cc xxx xxxxx xx xx yyyx xxx c xxxxx xx xx xx xx x x c 2 log 2 log2log 2 1 222 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 loglog 2 log loglogloglog log log 其中 log 2 log log 2 12 log log 2 log 2 1 log log 2 正态 2 000 00 2 0 2 0 2 0 2 0 22 22 2 2 00 0 00 0 0 0 2 22 000 2 0 0 0 2 18 连续随机变量X和Y的联合概率密度为 其他0 1 222 2 ryx ryxp 求H X H Y H XYZ 和I X Y 提示 2 0 22 2log 2 sinlog xdx 解 13 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 22 2 0 2 2 0 2222 2 22 2 22 22 22 2 2 22 2 22 2 2 22 2 22 2 sinlog 2 2cos14 2 2cos1 log 4 sinlogsin 4 logsin 4 sinlogsin 4 sinlogsin 4 cos sinlogsin 4 cos log 4 log 2 log log 2 1 log log 2 1 1log 2 log log 2 log log 2 log 2 log log 21 22 22 22 22 ddr drd dr drr r rdrr r rx dxxrxr r dxxr r xr dxxrxp symbolbiter er r dxxrxp r dxxrxpdx r xp dx r xr xp dxxpxpXH rxr r xr dy r dyxypxp r r r r r r r r r r r r r r r c xr xr xr xr 令 其中 14 e ee dede de de d e d d d er dr ddrr dddrdr 2 2 0 22 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 log 2 1 2sinlog 2 1 log 2 1 2coslog 1 log 1 2 2cos1 log 2 coslog 2 sin logcos cossin2 1 sinlog2sinsinlog2sin 1 2sinsinlog 1 sinlog2cos 2 log 2 1 1log sinlog2cos 2 1log sinlog2cos 2 2log 2 2 2sinlog 1 log sinlog2cos 2 sinlog 2 2coslog 2 log 2 其中 bit symbole rer XYHYHXHYXI bit symbolr dxdyxypr dxdy r xyp dxdyxypxypXYH bit symbolerXHYH xpyp ryr r yr dx r dxxypyp cccc R R R c CC yr yr yr yr loglog logloglog2 log log 1 log log log 2 1 log 21 22 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 22 22 22 22 15 2 19 每帧电视图像可以认为是由 3 10 5个像素组成的 所有像素均是独立变化 且每像素又 取 128 个不同的亮度电平 并设亮度电平是等概出现 问每帧图像含有多少信息量 若有一 个广播员 在约 10000 个汉字中选出 1000 个汉字来口述此电视图像 试问广播员描述此图像 所广播的信息量是多少 假设汉字字汇是等概率分布 并彼此无依赖 若要恰当的描述此 图像 广播员在口述中至少需要多少汉字 解 1 symbolbitXNHXH symbolbitnXH N 101 27103 7128loglog 65 2 symbolbitXNHXH symbolbitnXH N 13288288 131000 288 1310000loglog 3 158037 288 13 101 2 6 XH XH N N 2 20 设 N XXXX 21 是平稳离散有记忆信源 试证明 12121312121 NNN XXXXHXXXHXXHXHXXXH 证明 log log log log log log log log 121213121 21 11 12 21 12 1221 1 11 11 12 21 12 1221 1 1 2 21 12 1112121 12 2121 NN iii iii iii ii iiii i ii iii iii iii ii ii i iii i i ii iii iii iiiiiiiii iii iiiiii N XXXXHXXXHXXHXH xxxpxxxp xxpxxpxpxp xxxpxxxp xxpxxxpxpxxxp xxxpxxpxpxxxp xxxpxxxp XXXH NN N N NN N N N N N N N NNN N NN 2 21 设 N XXXX 21 是N维高斯分布的连续信源