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你能证明它们吗？枣阳市第五中学夏正俊 李甫华点评：枣阳市教研室 姚启平教学目标：认知目标：1、能说出等腰三角形的性质定理入其推论并熟练地行计算或证明。2、能通过性质定理的证明得出该定理的推论。3、学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平。4、培养学生分类讨论的思想和添加辅助线解决问题的能力。智能目标：掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够用数学符号语言正确表达，使学生经历“直观探索”和“抽象证明”相联系，体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生初步的演绎推理能力。情感目标：在推论的形成过程中，激励学生自己由一个数学问题引出另外问题的独立思考、勇于创新的精神，并通过“三线合一”性质的运用提高学习几何的兴趣。教材分析：你能证明它们吗?选自九年制义务教育全日制初级中学教科书数学（北师大版）九年级上册第一章的第一节。本章是对八年级下册的第六章证明（一）的延续。教科书中首先给出了四条公理，这四条公理与证明（一）中给出的两个定理一起作为这一章对命题继续进行逻辑证明的基础。本节首先让学生了解了作为证明基础的几条公理的内容，然后在学生已有的等腰三角形性质的探索经验的基础上，进一步体会证明的必要性，掌握证明的基本步骤和书写格式，将抽象的证明与直观的探索联系起来，能够综合法证明等腰三角形的有关性质定理。教学时，应让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要的发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，发现证明的思路。设计理念：经历“探索发现猜想证明”的过程，证明三角形的有关性质。本节课教学时着重让学生自己动手参与并经历知识的形成与应用过程。应放心大胆地让学生自己动手操作并验证自己的猜想，在整个教学过程中教师的角色不是一个表演者，而是学生学习的协助者，是学生知识形成的引导者，是形成良好学习习惯的引路人。学情分析： 我校是襄樊市重点初中，同时又是襄樊市教科室指定的教学实验基地之一，各种教学设施一应俱全，环境幽美，是莘莘学子求学的好去处。我们有一批懂业务、锐意进取的骨干教师和会管理、知人善用的学校领导。我校处在城乡结合部，学生几乎全部来自于农村，大部分学生学习比较刻苦，能够及时的完成老师交给的各项学习任务并养成了良好的学习习惯。教学过程：一、破题引入，导入新课师：上课(师生问好)师：我们曾探索过三角形全等的条件，大家回忆一下两个三角形满足什么条件时两个三角形能够全等？生：有“SSS”、“ASA”、“SAS”、“AAS”，“HL”。师：（非常肯定地）非常好，今天我们就用这些定理来解决今天所要学习的知识。师：(出示彩色的等腰三角形模型)同学们看：老师手中的三角形漂亮吗？生：漂亮！师：如果它有两条边相等，那么它是一个什么样的三角形？生：等腰三角形。(师生共同复习一下等腰三角形各部分的名称。)师：这么漂亮的等腰三角形会有哪些特殊的性质呢？同学们想不想知道？生：想！师：大家想不想利用我们以前所学习的知识来证明这些结论呢？生：想！师：好！这节课我们就一起来研究等腰三角形的性质。(板书课题：你能证明它们吗？)教师利用色彩鲜艳的三角形模型吸引学生的注意力，借助于适当的问题引导，激发学生探求新知的欲望，直接切入主题。二、动手动脑，推导定理：(一)猜想引入：师：请同学们拿出你们的等腰三角形，仔细观察，猜猜看，它的两个底角大小有何关系？生：(略作思考后回答)是相等的。(师板书：猜想：等腰三角形的两个底角相等。)富有思考性的猜想，激发学生进一步实验验证和理论证明的兴趣。(二)实验验证：师：这种猜想到底对不对呢？有哪些方法可以验证呢？请同学们以组为单位展开讨论。(生讨论后派出代表回答。)生1：可以通过折叠的方法，让等腰三角形的两腰重合，这时它的两个底角也互相重合，说明它们相等。生2：也可以用量角器测量。我的这个等腰三角形两个底角都是36，说明它们是相等的。对于猜想内容的实验验证，教师改变了以往直接给学生指明方法去做的方式，让学生自己通过讨论得出验证的方法，为学生提供了发展思维能力的空间。师：两位同学的方法都很好，充分说明了等腰三角形的两个底角是相等的。可是一个数学定理的得出仅靠猜想和实验是不够的，还需要进一步的理论证明。同学们能否用我们所学的几何知识来证明这个命题呢？生：(齐)可以！(三)理论证明：师：(引导学生找出命题的题设和结论并根据题意画出图形。)请同学们看黑板上的等腰三角形ABC，已知ABAC，要证明什么结论？生：(齐)B=C (学生边回答，老师边板书已知、求证等内容。)师：怎样证明B=C呢？请同学们参照等腰三角形模型，分组进行讨论，找出证明的方法，比一比哪一组最先找出答案。(学生分组展开讨论，教师巡视进行指导。讨论后，各小组派出代表阐述讨论结果。)生1：要想证明两个角相等，可以先证明它们所在的三角形全等，因此需要添加辅助线，将一个三角形变成两个三角形。可以作顶角的平分线AD，用SAS公理证明ABDACD，从而得出B=C师：其他同学认为这位同学的方法好吗？生2：好。但通过折纸我发现还可以作底边上的中线AD，用SSS公理也可以证明ABDACD 。生3：我们组认为还可以作底边上的高AD，用HL公理也可以证明两个三角形全等。辅助线的添加是本节课的难点，教师大胆放手，为学生主动学习创设情境，开辟自我探索渠道，让学生对同一个问题从不同的角度去思考，数学课堂需要教师的角色由“知识的传授者”变为“学生知识的促进者”，变“教师讲授”为“研究交流”，教师的地位由“主宰”变为“主导”，正确处理了教与不教的关系，强调学生的主体地位，发挥学生的积极性和创造性，让学生主动参与学习过程。师：同学们的方法都很好，下面我们分成三组，左边的同学作顶角的平分线，中间同学作底边的中线， 右边的同学作底边上的高，写出证明过程。请一位同学到黑板上用作顶角平分线的方法加以证明。（生演板的同时，教师板书另外两种辅助线作法） （同学们很快完成任务，师生共同简单的订正一下，并板书另外两种证明方法的依据SSS和HL。）师：通过证明说明上面这个命题是正确的，我们就把它叫做等腰三角形的性质“定理”(把“猜想”改为“定理”)，这个定理也可以简写成“等角对等边”（板书）数学表达式是“AB=AC B=C。这是又一种证明两角相等的方法。(变式训练一)填空：1、等腰三角形的顶角是80，则另两个角的度数是_。 2、等腰三角形的底角是80，则另两个角的度数是_。3、等腰三角形的一个角是80,则另两个角的度数是_。4、等腰三角形的一个角是110,则另两个角的度数是_。(四)证明推论：师：(启发学生观察图形并提问)在ABDACD时，除了B=C外，还可以得到什么结论呢？生1：ADB=ADC 90。生2：BDCD。师：很好，这些说明了AD和BC有何关系？生：(齐)AD垂直于BC且AD平分BC！师：好！由此我们可以得到等腰三角形性质定理的第一个推论：等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。(板书推论)也可以说等腰三角形顶角平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合。简写成：(三线合一)(板书)。直接由证明定理时所画图形观察得出顶角平分线AD与底边BC的关系，导出推论，衔接紧密，过渡自然，顺理成章。(变式训练二)1、如图，根据等腰三角形性质定理的推论1填空在ABC中，ABAC（1）ADBC，,_=_（2）AD是中线，_,_=_（3）12，_,_=_ (强调：在一个等腰三角形中，顶角平分线、底边中线和底边上的高，知道其中一个条件便可以推出另两个。)2、等腰直角三角形的每一个锐角等于_，斜边上的中线把直角分成的两个锐角为_。3、如图，已知：在ABC中，ABBCAC，完成填空。AB=AC,_=_BC=AC,_=_=_=_根据三角形内角和定理，它们都是_。师：由此题可知：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都是60。这就是等腰三角形性质定理的一个推论(板书内容)。根据“等边对等角”的性质，由一道填空题导出随堂练习1，符合学生的认知规律，顺便连同该题的数学表达式也一起描述了，设计十分巧妙。在强化训练、形成能力的过程中设计的两个变式训练题，紧紧围绕所学内容，通过更换例题条件，解决不同的问题。旨在培养学生的创新思维能力和创造能力。五、达标测试，反馈矫正：(师投影出示测试题)。1、判断：(1)等腰三角形的角平分线平分对边并且垂直于对边。()(2)等边三角形的角平分线平分对边并且垂直于对边。()(3)如图：已知在ABC中，ABAC，则12(等边对等角)。()2、选择：(1)下列判断错误的是()A.等腰三角形是锐角三角形。B.等腰三角形的底角一定是锐角。C.等腰直角三角形的底角为45。(2)等腰三角形的一个内角为50，则另两个角的度数为()A. 65,65 B.50,80 C.65，65或50,80六、归纳小结：师：请同学们看课本第1页至5页，这就是我们本节课所学的知识，可以概括为“三个三”，即：三个内容，三种辅助线作法及三线合一。(投影出示“三个三”内容，结合板书进行强调。)七、随堂作业：P4，T2教学反思：一、教学中的成功经验1、通过教学中的动手实验把学生和教师紧紧联系在一起，并且贯穿于教育过程的始终。教师努力把握情感目标的契机，积极参加学生的各项活动，努力使自己成为学生中的一员，并认真精细地组织教学，在教育教学的各个环节善于对学生进行情感诱导，竭尽全力帮助学生获得成功，使学生自觉的产生奋发向上的内在动力推动他们不断进步。2、减少教师的活动量，给学生充足的时间发展。教师做好学法指导，做到少讲，少问，力求做到精而美，使学生有时间和空间进行自我调控，自主发展，自我创造，自我评价，促使学生学会学习。二、需进一步提高的能力学生方面：在课堂学生之间交往的过程中，所有学生都应学会如何与同学合作，为趣味和快乐而学习而竞争，自主地进行独立学习。教师方面：应进一步加强课堂教学的调控，不断提高自身的业务水平和更新知识结构。三、需进一步探索的教学方法 怎样更好的培养学生的直觉思维能力是我在教学过程中一直思考的一个问题,让学生完成由会学到学会这一转变，而这一转变过程的引导还有待进一步研究和探讨。案例点评：一、更新教学观念，树立以人为本的教学理念。在课堂教学中发挥学生的主体地位，让每一个学生都能主动愉快学习知识，获得发展是本节课最大的特点。虽然在平时的教学中，教师们也以常说，放手让学生去自己做一下，但总是放不开手，这位教师提出问题后，并没有展开讲解，而是让学生有组织的进行猜想、讨论、归纳，留给学生足够的时间和思考空间，在讨论中相互补充，相互完善，最后形成对本节重点和难点的突破，课堂气氛异常活跃，在此过程中涉及到了不同层面的学生，从知识的形成过程中来看，不同层次的学生都能够从参与学习的过程中体会到成功的喜悦。本节课这位教师改变了以往在教学中单纯传授知识的现象，既教了知识，更发展了学生的思维。教学设计科学合理，层次清晰，环环相扣。激发学生激情，优化教学环境，学生在老师趣味问题的诱发下，通过观察、会意、猜想，大大提高了学生数学创新意识的形成，加之目标的激励作用，学生参与积极，课堂气氛活跃，这样整个课堂活动中，学生在学习中“寻舟”，老师按变式“引渡”，师生在欢乐中“涉岸”，老师教的轻松，学生学的愉快。同时，充分发挥了学生的主体作用，把知识的探究过程留给了学生，为学生自主探索，发展思维提供了足够的空间。教师在教学过程中，只是学生学习的合作者、引导者、促进者，是前进道路上的引路人，把教学的重心放到研究如何促进学生的“学”上，从而实现了教是为了不教这一教学理念。二、注重变式训练的运用,培养学生的应变能力。在本节课中我们注意到，在每个知识点结束时，都配有短小的变式训练题。蔡上鹤教授曾经说过：“我们反复强调或提倡一题多变，一题多解，一题多用和一题多问等，都是出于一个变字。这正是辩证法的精髓所在，也是训练学生思维创新的一个法宝。变是为了纠正不变，并且能够成功的应付万变。俗话说，万变不离其宗，变就是要找出这些宗来。”在平常的数学教学活动中，广大数学教师都十分注重变式教学，在教材例题、习题的基础上添加条件，变换结论进行变式训练。近几年来，涌现出的大量题目都和教材的典型例题、习题有密切的联系，很大一部分都是根据课本中的原题通过变式编拟而成的。这些题目源于课本，又高于课本，如果我们平时多