函数求导的运算及导数的简单的应用.doc

年 级高二学 科数学版 本北师大版（理）内容标题选修2-2 导数计算（3导数计算4.1导数加法与减法法则+5简单复合函数求导法则）编稿老师胡居化【本讲教育信息】一. 教学内容：导数计算二. 教学目标：（1）掌握简单函数的定义求导的方法。理解导数与导函数的区别。（2）掌握导数运算加、减、乘、除及复合函数求导运算法则及函数求导公式的应用。（3）体会化归数学思想、方程的数学思想、分类讨论的数学思想的应用。三. 教学重、难点： 重点：函数求导的运算及导数的简单的应用 难点：复合函数求导。四. 知识要点分析：1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（1）求函数的增量；（2）求平均变化率。（3）取极限求导数2导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点的导数就是导函数，当时的函数值。3常用的导数公式及求导法则：（1）公式，（C是常数） （2）法则：， 4. 复合函数求导：（1）复合函数定义：对于函数y=f（u）和u=，给定x的一个值，就得到u的一个值，进而确定y值，这样y可以表示成x的函数，称这个函数是y=f（u）和u=的复合函数。记为：，其中u是中间变量。（2）复合函数求导法则：5求曲线的切线方程：（1）所给的点P是切点求切线方程的方法：第一步求切线的斜率，第二步：利用点斜式写出切线方程（2）所给的点P不是切点求切线方程的方法：第一步设切点坐标，第二步求切线斜率，然后写出切线方程，第三步：把点P代入切线方程（注意:条件的应用）【典型例题】考点一：利用定义求简单的函数的导数例1. 求函数的导数分析：先求，再求，注意分子或分母有理化的应用。然后取极限。解：故注：由知，曲线上的每一点的切线的斜率都大于零。例2. 一半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥容器，若以n 的速度向容器注水，求液面高度的变化率。分析：本题是导数定义应用的实际问题，可以先求出液面高度y与时间t的函数关系式，由导数的物理意义知：所求的变化率是液面高度h，关于时间t的导数。 解：设在t s时水面的高度为y cm，水面半径是x，（如图） 则有，此时水的体积是，而t s注入水的体积是t n，（其中：都是常数）设，则=M=M=M根据导数的物理意义知：水面上升的速度v=考点二：导数的计算：例3. 求下列函数的导数 （1） （2） （3）分析：（1）本题先化简再求导数，即但在化简时注意变换的等价性。（2）先把，再求导。也可以不化简利用积的导数运算法则求导。（3）利用复合函数求导。设，则 则解：（1）。 （2）=考点三：导数在求切线方程方面的简单的应用例4. 求过点P（1，0）的曲线的切线方程分析：显然P点不在曲线上，故要设出切点坐标，根据导数的几何意义知：过Q点的切线的斜率是，由点斜式写出切线方程（含有a），因切线过P点，可求a值，从而可求出过P点的切线方程。解：设切点，则过Q点的切线的斜率 所以过P，Q两点的切线方程是：（1） 由于P（1，0）在切线上，故： 把代入（1）得：所求的切线方程是y=0或27x4y27=0例5. 已知函数直线（1）求a的值；（2）是否存在k值使直线m是曲线f（x）和g（x）的公切线，若存在求出k值，若不存在说明理由。分析：（1）由求a的值。 （2）假设存在k值使m是两曲线的公切线，先求当直线m是曲线g（x）的切线方程时，求出切线方程。然后验证所求的曲线g（x）的切线是否是f（x）的切线，若是可以求出k值。解：（1） 此时（2）直线m：y=kx+9过定点P（0，9），当直线m是曲线g（x）的切线时，设切点为Q（，过P，Q点切线的斜率k=，所以：此时直线m（过Q点切线）可以写成：（1） 由于直线m过定点P（0，9）代入（1）得：a=1或a=1当a=1时，直线m （即过Q点切线方程）：y=12x+9，此时k=12当a=1时，直线m（即过Q点切线方程）：y=9， 此时k=0下面验证：y=9及y=12x+9是否是曲线f（x）的切线? （i）当直线y=9也是曲线f（x）的切线时，设切点的横坐标是M（b， ，所以过M点的切线斜率k= 切线方程是：（2） 即有：=0 把 b=1代入（2）得切线方程是：y=18; 把b=2代入（2）得切线方程为:y=9 故y=9是两曲线f（x），g（x）的公切线 （ii）当直线y=12x+9也是曲线f（x）的切线时，设切点是N（c， 切线方程为 过N点的切线的斜率k= 把c=0，c=1代入（3）得此时的切线方程是：y=12x11，y=12x10，显然是矛盾的。综合上述知：存在k=0，公切线方程是y=9.【本讲涉及的数学思想与方法】 本讲主要讲述了导数的定义、导数运算及其简单的应用，在应用这些知识的过程中，体现了化归的数学思想（如：例3，（1）（2）、方程的数学思想（例5）、分类讨论的数学思想等的应用。预习导学一. 预习前知1. 导数的定义如何？导数的几何意义是什么？2. 导数的运算法则有哪些？如何求复合函数的导数？3. 已知函数在区间1，内单调递增，而，当x时，从而可以判断:若f（x）的导函数在区间恒有，则函数在区间内单调递增。这个结论正确吗？请你再举例说明。二. 预习导学反思与探究：反思探究内容：（一）预习导学内容：导数应用（利用导数判断函数的单调性、求单调区间、极值）1. 利用导数判断函数的单调性函数单调性与导函数的正、负关系：在区间（a，b）内当导函数时，则函数f（x）在区间（a，b）内单调递增，若导函数_，则函数在（a，b）上_。若导函数，则函数在区间（a，b）上_。（把内容填在横线上）。【反思】：导数与函数的图象有何关系？总结一下。2. 求函数的单调区间的步骤、方法有哪些？ （1）_（2）_ （3）_（4）_ 3. 函数的极大值、极小值定义如何？ 极大值定义：_极小值定义_【反思】：可导点与极值点之间有何关系？可导点一定是极值点吗？不可导点一定不是极值点吗？4. 求函数的极值步骤、方法有哪些?（1）_。（2）_。（3）_。【模拟试题】（答题时间：100分钟）一、选择题（本题共5小题，每题6分，共30分）1. 函数y=的导数是（ ）A. B. C. D. 2. 已知y=sin2x+sinx，那么y是（ ）A. 仅有最小值的奇函数 B. 既有最大值，又有最小值的偶函数C. 仅有最大值的偶函数 D. 非奇非偶函数3. 函数y=sin（3x+）的导数为（ ）A. 3sin（3x+） B. 3cos（3x+）C. 3sin2（3x+） D. 3cos2（3x+）4. 曲线在x=2处的导数是12，则n=（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 函数y=cos2x+sin的导数为（ ）A. 2sin2x+B. 2sin2x+C. 2sin2x+D. 2sin2x6. 过点P（1，2）与曲线y=2x2相切的切线方程是（ ）A. 4xy2=0 B. 4x+y2=0 C. 4x+y=0 D. 4xy+2=0二、填空题（本题共5小题，每题6分，共30分）7. 函数y=（1+sin3x）3是由_两个函数复合而成。8. 曲线y=sin3x在点P（，0）处切线的斜率为_。9. 函数y=xsin（2x）cos（2x+）的导数是 。10. 函数y=的导数为 。11. 。三、解答题（本大题共3小题，共40分） 12. 若可导函数f（x）是奇函数，求证：其导函数f（x）是偶函数。（12分）13. 设的取值范围。（13分）14. 若的图象与直线12x+y1=0相切于点（1，11），求f（x）的解析式。（15分）【试题答案】一、选择题1C 解析：，故=2B解析：= =，故是偶函数，且有最大值，最小值。3B 解析：4C 解析：5A解析： = 6A 解析：显然P（1，2）在曲线上，故切线的斜率k= 所求的切线方程是y2=4（x1），即4xy2=0二、填空题783 解析： =3=39y=sin4x+2xcos4x 解析： y=xsin（2x）co