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合数与素数分布初等规律表达式郭占祥 榆树市农机监理站 吉林省 榆树市 （130400）E-mail:摘要：本文根据合数分布初等规律找到素数分布初等规律表达式。关键词：数论；合数分布；素数分布中图分类号：O156.10 引言数论就是整数比较论。核心是研究素数分布。爱腊脱色素余筛法，是由公元前250年古希腊数学家爱腊脱色素余（Eratosthenes）所提出的一种简单检定素数的算法。其方法简单说，若想筛去自然数列1,2,3,区间1,N上的合数，就需分步筛去整数“2,”的x倍合数。从爱氏筛法至今2262年，人们孤立地去研究素数本身分布的规律。一直认为素数分布个数不可能用初等数学公式表达。在这里先给出“数列规律”定义：是指合数或素数分布个数f随着区间x的有序变化量。显然x是自变量，而f是因变量。区间x的科学划分决定f值的精度。德国数学家高斯（C.F.Gauss,1777.4.301855.2.23），他经过大量的计算经验，建议使用.对正实数x，定义（x）为不大于x的素数个数。其中lnx为x的自然对数。这个公式被称为“素数核心定理”1。我国著名数学家华罗庚在他的数论导引2中说过，自古至今关于素数分布的公式都来自于经验。显然“素数定理”也是经验公式或称猜想。人们曾用（黎曼）猜想证明“素数定理猜想”。我们应当清醒地明白：经验不是科学，对数函数不是素数函数，充分大不是无穷大。公式中的x至少不能是任意的。为什么呢？因为素数分布个数（x）在一定的x区间上是有规律的。那么，怎样确定素数分布区间x的大小呢。首先我们来分析一下合数与素数在自然数列1,2,3,的分布机制。“1”俗称“原子数”，是构成素数的原始单位，又称“原始素数”。“素数”俗称“分子数”，是合成合数的基本单位。根据整除的“传递性”，1能整除素数，素数能整除合数，1就是所有自然数的最小单位。自然数分为“素数（包括1）”与合数两大类。“素数”与合数相互依存，对立统一于自然数列。“素数”自然数合数。把合数与素数联系起来研究是本文的一个核心方法。其次，来分析一下爱氏筛法。它是筛去区间1,N上合数，保留素数。暂且称为“爱氏区间正筛法”。用反向思维。筛去数列上能被“2,3,5,p”整除的合数以外的“剩余类”数，保留有限的“2,3,5,p”整除的合数，考察“有限合数”分布规律及“剩余类数”分布规律的联系。把这种筛法，暂且称为“爱氏数列反筛法”。再次分析爱氏数筛法原理“2,”的区间1,N与数列的关系。设奇数3，N=+2，则区间1,N写成开区间（1,(+2)2-22）。只要筛去整数“2, ”的x倍合数，就能筛净开区间（1,(+2)2-22）上的全部合数。我们不要孤立地去分析开区间（1,(+2)2-22）上的素数分布情况。而是要从全数列来分析。例如，我们把奇数列1,3,5,分为有限的“3,”的x倍合数（称有限倍合数）和 “有限倍合数”以外的“剩余类数”（称合外剩余数）两类。显然，“合外剩余数”又分为“纯素数”（在开区间（1,(+2)2-22）上）和“杂素数”（在开区间（(+2)2-22,）上）。有限的“3,”的x倍合数，在以的倍数划分的区间1,1,1+2, 1,3+2, 5,上的分布个数是有规律的。所以，奇数列区间分布规律“有限合数”区间分布规律“合外剩余数”区间分布规律。在开区间（1,(+2)2-22）上的素数是“合外剩余数”的组成部分，所以素数分布在“倍区间”上也有规律。素数分布区间划分定理：在奇数列1,3,5,的开区间（1,(+2)2-22）上，以的倍数划分的区间1,1,1+2, 1,3+2, 5,上必有素数分布。根据这个定理，可有如下推导。推理：设N=1,3,5, 则在奇数列1,3,5,的区间N2, (N+2)2-2上必有素数分布。又设区间N2, (N+2)2-2上的项数为x=2(N+1)，那么，这个区间上的素数分布个数可以用(x)x/ln(x/2)来近似求出。这个公式x/ln(x/2)比求值精确。1 “有限合数”分布初等规律1.1 合数类型及合数分布公差定理把在奇数列1,3,5,上的合数分为： （1）3倍合数9,15,21,的分布公差d3=23（2）5倍合数15,25,35,的分布公差d5=25（3）7倍合数21,35,49,的分布公差d7=27（4）9倍合数27,45,63,的分布公差d7=29（n）倍合数3,5,7,的分布公差d=2定义：我们把有限的 “3倍，5倍，7倍，（9）倍，倍合数”称作有限合数。1.2 倍合数等差分布定理设3，在奇数列1,3,5,上，所有能被同一因数整除的合数一定是等差（公差d=2）分布的。1.3 平方差区间1,(+2)2-22合数类型有限定理在奇数列1,3,5,的平方差区间1,(+2)2-22上的合数类型“3倍型，5倍型，7倍型，（9）倍型，倍型” 合数是有限的。Tc=(-1)/2.例如，在1,(3+2)2-22区间上只有一种3倍型合数；在1,(5+2)2-22区间上只有二种3,5倍型合数；在1,(7+2)2-22区间上只有三种3,5,7倍型合数；在1,(9+2)2-22区间上只有四种3,5,7,（9）倍型合数；如此，等等。“倍合数等差分布定理”与“平方差区间1,(+2)2-22合数类型有限定理”决定了平方差区间1,(+2)2-22上合数连续分布的有限性；决定了以的倍数划分的区间1,1,1+2, 1,3+2, 5,上必有素数分布。1.4 “有限合数”分布初等规律 在奇数列1,3,5,上： （1）有限的3倍合数9,15,21,在以3倍合数划分的区间5,9,11,15,17,21,上的分布个数为“1”一个数值。（2）有限的3倍合数9,15,21,；5倍合数15,25,35,在以5倍合数划分的区间7,15,17,25,27,35,上的分布个数为“2,3”二个数值。（3）有限的3倍合数9,15,21,；5倍合数15,25,35,；7倍合数21,35,49,在以7倍合数划分的区间9,21,23,35,37,49,上的分布个数为“3,4,5”三个数值。（4）有限的3倍合数9,15,21,；5倍合数15,25,35,；7倍合数21,35,49,；9倍合数27,45,63,在以9倍合数划分的区间11,27,29,45,47,63,上的分布个数为“4,5,6,7”四个数值。（n）有限的3倍合数9,15,21,；5倍合数15,25,35,；7倍合数21,35,49,；9倍合数27,45,63,；倍合数3,5,7,在以倍合数划分的区间+2,3,3+2,5, 5+2,7,上的分布个数为“(-1)/2, -2”(-1)/2个数值。1.4.1有限合数分布定理在奇数列1,3,5,上，有限的3,5,7,9,倍合数在区间+2,3,3+2,5, 5+2,7,上的分布个数为“(-1)/2, -2” (-1)/2个数值。个。2 “合外数”分布初等规律 在奇数列1,3,5,上：（1）3倍合数以的外数，在以3倍合数划分的区间5,9,11,15,17,21,上分布的个数为2一种数值。（2）3,5倍合数以的外数，在以5倍合数划分的区间7,15,17,25,27,35,上分布的个数为2,3二种数值。（3）3,5,7倍合数以的外数，在以7倍合数划分的区间9,21,23,35,37,49,上分布的个数为2,3,4三种数值。（4）3,5,7,(9)倍合数以的外数，在以9倍合数划分的区间11,27,29,45,47,63,上分布的个数为2,3,4,5四种数值。（n）3,5,7,(9) , 倍合数以的外数，在以倍合数划分的区间+2,3,3+2,5, 5+2,7, 上分布的个数为2,3,4,5 , &(+1)/2是(-1)/2种数值。2.1 “合外数”分布定理在奇数列1,3,5,上，有限的3,5,7,(9) , 倍合数以的外数，在以倍合数划分的区间+2,3,3+2,5, 5+2,7, 上分布的个数为2,3,4,5 , &(+1)/2是(-1)/2种数值。请注意“有限合数”与“合外数”在相同区间上分布个数关系；“合外数”在整条数列上的分布规律与平方差区间1，(+2)2-22 上“纯素数”分布规律的“衔接”关系。 3 素数分布初等规律3.1 素数分布初等规律1（采用平方差区间划分法）提示一：奇数列1(2),3,5,上，在计算素数个数时，“1”看作素数2统计；“2,3”看作“3,5”来统计；3，称次奇数。此假设是合理的。一，不能漏掉素数2；二，把“3,5,7”构成2对孪生素数的情况统计出来。提示二：(+2) 2-22=(+4) 在奇数列1(2),3,5,上，取3，将平方差区间1, (+4)划分为(+5)/2个倍区间1,1,1+2, 3,3+2, 5,(+2)+2, (+4) 第一，用Np表示素数个数。当=3时，在3倍区间上Np=2；当=5时，在5倍区间上2Np3；当7时，在7倍区间上3Np(+1)/2.用Sp表示平方差区间1, (+4)上素数分布个数，(+5)/2(Np下限)Sp(+5)/2(Np上限)。当=3时，两个相邻的3倍区间素数分布个数之和NpiNpi+1=4；当=5时，两个相邻的5倍区间素数分布个数之和5NpiNpi+16；当7时，两个相邻的7倍区间素数分布个数之和6NpiNpi+1(+1).第二，用Tp表示在平方差区间1, (+4)上孪生素数分布对儿数，Tp(+5)/2.示例：1当=3时，将平方差区间1, 52-22 划分为四个3倍区间1,3, 5,9, 11,15, 17,21。在3倍区间上素数分布个数Np=2.Np1,Np2,Np3,Np4=2个。Np=24=8个。在平方差区间1, 21上素数分布个数Sp=8. 在平方差区间1, 21上孪生素数分布对儿数Tp4.2当=5时，将平方差区间1, 72-22 划分为五个5倍区间1,5, 7,15, 17,25, 27,35, 37,45。在5倍区间上素数分布个数2Np3.Np4=2个, Np1,Np2,Np3,Np5=3个。Np=2+34=14个。在平方差区间1, 45上素数分布个数10Sp15. 在平方差区间1,45上孪生素数分布对儿数Tp5.（实际6对儿）3当=7时，将平方差区间1, 92-22划分为六个7倍区间1,7,9,21,23,35,37,49, 51,63, 65,77。在7倍区间上素数分布个数Np取整数，3Np4.Np3,Np5,Np6=3个, Np1,Np2,Np4 =4个。Np=33+43=21个。在平方差区间1, 77上素数分布个数18Sp24. 在平方差区间1, 77上孪生素数分布对儿数Tp6. （实际8对儿）3.2 推理1. 素数分布初等规律（采用平方区间划分法）在奇数列1(2),3,5,上，取奇数a1，将平方区间a(a-2)+2，a(a+2)划分为2个a倍区间a(a-2)+2，a2, a2+2, a(a+2)。在a倍区间上素数分布个数Np取整数。当a=1，在1倍区间上Np=1；当a=3，在3倍区间上Np=2；当a=5，在5倍区间上2Np3；当a7，在7倍区间上3Np(a+1)/2；在平方区间a(a-2)+2，a(a+2)上均摊孪生素数分布对儿数Tp2.注：“均摊孪生素数”指在奇数列1(2),3,5,上“所有孪生素数对儿数/所有平方区间数2”。示例：1当a=1时，将平方区间12, 12+2划分为二个1倍区间1(2), 3。在1倍区间上素数分布个数Np=1.Np1,Np2 =1个。Np=12=2个。在平方区间1, 3上素数分布个数Sp=2. 在平方区间1, 3上孪生素数分布对儿数Tp=1.2当a=3时，将平方区间32-4, 32+6 划分为二个3倍区间5,9, 11,15。在3倍区间上素数分布个数Np=2.Np1,Np2=2个。Np=22=4个。在平方区间5,15上素数分布个数Sp=4. 在平方区间5,15上均摊孪生素数分布对儿数Tp2. 3当a=5时，将平方区间52-8, 52+10 划分为二个5倍区间17,25, 27,35。在5倍区间上素数分布个数2Np3.Np1 =3个, Np2=2个。Np=3+2=5个。在平方区间17, 35上素数分布个数4Sp6. 在平方区间17,35上均摊孪生素数分布对儿数Tp2.4当a=7时，将平方区间72-12, 72+14划分为二个7倍区间37,49, 51,63。在7倍区间上素数分布个数3Np4.Np1 =4个, Np2 =3个。Np=3+4=7个。在平方区间37, 63上素数分布个数6Sp8. 在平方区间37, 63上均摊孪生素数分布对儿数Tp2. 用“平方区间划分法”划分奇数列1(2),3,5,上的素数分布区间示意图1.大区间：1, 35, 1517, 3537, 63a2-2a+2, a2+2a2.小区间：12(2)35,3211,1517,5227,3537,7251,63a2-2a+2,a2a2+2,a2+2a推理2. 奇数a3，在a倍区间1(2), 1a, 1a+2, 3a, 3a+2, 5a, (a+2)a+2, (a+4)a上素数分布个数2Np(a+1)/2.推理2即适用于自然数列也适用于“增2奇数列1(2),3,5,”。推理3. 当a取不同值时，平方差区间上素数Sp、孪生素数Tp分布数量关系1, 52-221, 72-221, 92-221, 72-221, (a+2)2-22各区间素数递增Sp2个；孪生素数递增Tp1对儿。素数分布初等规律可用“有限合数筛法”求得。4 有限合数筛法在奇数列1(2),3,5,上分步“筛去”能被3；3,5； 3,5,7；整除的“有限合数”：第一步，仅筛去3倍的合数9,15,21,后，在以3的倍数3,9,15,划分的无限个小区间1,3，5,9，11,15，上“3倍合数以外的数”的分布个数均是2个。“3倍合外数”分布状态，在奇数列上每3项一循环。如第一循环“5,7,9”，每个循环上只有1个3倍小区间，一个小区间上有1个“3倍合外孪生素数”。在9,11,13,15；15,17,19,21；无限个循环区间上“3倍合数”、“3倍合外数”各自发生对称。在“对称中心(9,11,13,15)”的3倍合数分布2个；3倍合外数(11,13)分布2个。第二步，仅筛去3倍的合数与5倍的合数15,25,35,后，在以5的倍数5,15,25,划分的无限个小区间1,5，7,15，17,25，37,45 ，上“3,5倍合数以外的数”的分布个数一定是2,3数值之一。“3,5倍合外数”分布状态，在奇数列上每15项一循环。如第一循环“17,45”，每个循环上有3个5倍小区间，一个小区间上至少分摊1个“3,5倍合外孪生素数”。在15,45；45,75；无限个循环区间上“3,5倍合数”、“3,5倍合外数” 各自发生对称。在“对称中心(25,27,29,31,33,35)”的3,5倍合数(29,31)分布密度最大，4个；3,5,倍合外数分布密度最小，2个。 第三步，仅筛去3、5倍的合数与7倍的合数21,35,49,后，在以7的倍数7,21,35,划分的无限个小区间1,7，9,21，23,35，303,315 ，上“3,5,7倍合数以外的数”的分布个数一定是2,3,4数值之一。“3,5,7倍合外数”分布状态，在奇数列上每105项一循环。如第一循环“107,315”，每个循环上有15个小区间，一个小区间上至少分摊1个“倍合外孪生素数”。在105, 315；315,525；无限个循环区间上“3,5,7倍合数”、“ 3,5,7倍合外数” 各自发生对称。在“对称中心(203,205,207,209,211,213,215,217)”的3,5,7倍合数分布密度最大，6个；3,5,7倍合外数(209,211)分布密度最小，2个。第四步，仅筛去3、5、7倍的合数与9倍的合数9,27,45,后(9是合数，是重复删)，在以9的倍数9,27,45,划分的无限个小区间1,9，11,27，29,45，929,945 ，上“3,5,7,(9) 倍合数以外的数”的分布个数一定是2,3,4,5数值之一。“3,5,7,9倍合外数”分布状态，在奇数列上每315项一循环。如第一循环“317,945”，每个循环上有35个小区间，一个小区间上至少分摊1个“倍合外孪生素数”。在315, 945；945,1575；无限个循环区间上“3,5,7,9倍合数”、“ 3,5,7,9倍合外数” 各自发生对称。在“对称中心(621,623,625,627,629,631,633,635,637,639)”的3,5,7,9倍合数分布密度最大，8个；3,5,7,9倍合外数(629,631)分布密度最小，2个。第n步，仅筛去3、5、7、9、倍的合数后，在以的倍数1, 3, 5,划分的无限个小区间1, 1, 1+2, 3, 3+2, 5,上“3,5,7,(9) ,倍合数以外的数”的分布个数一定是2, (+1)/2数值之一。“3,5,7,9, 倍合外数”分布状态，在奇数列上每M(3,5,7,9, 的最小公倍数)项一循环。如第一循环“M+2, 3M)”，每个循环上有M/a个小区间，一个小区间上至少分摊1个“倍合外孪生素数”。在M, 3M；3M, 5M；无限个循环区间上“3,5,7,9,倍合数”、“3,5,7,9, 倍合外数” 各自发生对称。在“对称中心x1,9x1,7x1,5x1,3x1,P1,P2,3x2,5x2,7x2,9x2,x2”的3,5,7,9, 倍合数分布密度最大，-1个；3,5,7,9,倍合外数(P1,P2)分布密度最小，2个。依此类推之，便可求出3,5,7 ,倍合外数在倍区间上的分布规律。它涵盖了“素数分布初等规律”。有限合数筛法告诉我们：在奇数列1(2),3,5,上，合数分布的规律决定着素数分布规律。假如奇数列上只存在3倍的合数，那么素数分布一定具有规律性；假如只存在3,5倍的合数，那么素数分布一定具有规律性；假如只存在3,5,7倍的合数，那么素数分布一定具有规律性；等等。也就是说素数3,5,7,11,13,中后面的素数所合成的合数“掩盖”了前面n个素数所合成合数分布规律，当然也就“掩盖”了前面素数分布规律。这就是素数分布规律的隐含性。5素数分布基本规律证明 有必要重温一下素数分布基本规律的内容。它分两种说法： 第一种（素数分布通用规律）：在自然数列1,2,3,上或在奇数列上1(2),3,5,上，奇数3，在倍区间1(2), 1, 1+2, 3, 3+2, 5, (+2)+2, (+4)上素数分布个数2Np(+1)/2.第二种（素数分布细化规律）：在奇数列1(2),3,5,上，取3，将平方差区间1, (+4)划分为(+5)/2个倍区间1,1,1+2, 3,3+2, 5,(+2)+2, (+4) 第一，用Np表示素数个数。当=3时，在3倍区间上Np=2；当=5时，在5倍区间上2Np3；当7时，在7倍区间上3Np(+1)/2.用Sp表示平方差区间1, (+4)上素数分布个数，(+5)/2(Np下限)Sp(+5)/2(Np上限)。当=3时，两个相邻的3倍区间素数分布个数之和NpiNpi+1=4；当=5时，两个相邻的5倍区间素数分布个数之和5NpiNpi+16；当7时，两个相邻的7倍区间素数分布个数之和6NpiNpi+1(+1).第二，用Tp表示在平方差区间1, (+4)上孪生素数分布对儿数，Tp(+5)/2.要想证明素数分布基本规律，只要证明“2Np(+1)/2”和“3Np(+1)/2”的理论下限和上限即可。素数分布基本规律，与奇数列1(2),3,5,上平方差区间1，(+2)2-22合数类型(3,5,7,9, 倍型合数)分布规律有关；与奇数列1(2),3,5,上倍合数等差分布规律有关；与奇数列1(2),3,5,上3,5,7,9, 倍合数连续分布规律有关；与倍区间1,1,1+2, 3,3+2, 5,上公倍数分布个数有关。我们有必要重温一下与素数分布基本规律相关的定理。5.1与素数分布基本规律相关定理定理4.1（合数类型有限定理）：设3，在奇数列1,3,5,的平方差区间1，(+2)2-22 上分布的合数类型“3,5,7,9,倍型”是有限的。合数类型Tc=(-1)/2种。定理4.2（合数等差分布定理）：设3，在奇数列1,3,5,上，所有能被同一因数整除的合数一定是等差（公差d=2）分布的。定理4.3（连续合数分布有限定理）：设3，在奇数列1,3,5,上，各个倍区间1, 1, 1+2, 3, 3+2, 5, (+2)+2, (+4)上的连续合数个数Cn是有限的。Cn(-1)/2个。辅定理4.3.1（倍区间项数定理）设3，在奇数列1,3,5,上，各个倍区间1, 1, 1+2, 3, 3+2, 5, (+2)+2, (+4)上的项数n.辅定理4.3.2（倍区间有限合数分布密度最大形式）：设3，且3,5,7,9,倍合数分别用3x,5x,7x,9x,x表示。在奇数列1,3,5,上，倍区间1, 1, 1+2, 3, 3+2, 5,中，必有一个倍区间有限合数分布密度最大形式“, 9x1,7x1,5x1,3x1,P1,P2,3x2,5x2,7x2,9x2,x2”存在。示例：当=3时，有限的3倍合数分布密度最大形式P1,P2,3x2。如5,7,9当=5时，有限的3,5倍合数分布密度最大形式3x1,P1,P2,3x2,5x2。如27,P1,P2,33,35当=7时，有限的3,5,7倍合数分布密度最大形式5x1,3x1,P1,P2,3x2,5x2,7x2。如205,207,P1,P2,213,215,217当=9时，有限的3,5,7,9倍合数分布密度最大形式7x1,5x1,3x1,P1,P2,3x2,5x2,7x2,9x2。如623,625,627,P1,P2,633,635,637,639依此类推之辅定理4.3.3（有限合数对称分布定理）在奇数列1,3,5,上，其有限的3,5,7,9,倍合数（用3x,5x,7x,9x,x表示）在一个循环上（循环项数M=“3,5,7,9,”的最小公倍数）的分布是对称的。其对称中心 “x1, 9x1,7x1,5x1,3x1,P1,P2,3x2,5x2,7x2,9x2,x2”上有限合数“3x,5x,7x,9x,x”分布密度最大，且是对称的。根据合数等差分布定理，一个循环上的有限合数也是对称分布的。有限合数在“对称中心”上对称分布的具体求法如下：在奇数列1(2),3,5,上：(1) 3倍合数在以3的倍合数划分的对称中心区间9,P1,P2,15上连续合数个数Cn=(3-1)/2=1；且对称分布。 连续合数公式：基数K=2(13)=6. 连续合数（左）：3x1=K+3=93倍合外数（中）：P1=3x1+2=11；P2= P1+2=13连续合数（右）：3x2= P2+2=15注意！P2=1352-22时，P1,P2一定是素数！(2) 3,5倍合数在以5的倍合数划分的对称中心区间25,27,P1,P2,33,35上连续合数个数Cn=(5-1)/2=2；且对称分布。 连续合数公式：基数K=2(135)=30. 连续合数（右）：3x2=K+3=33；5x2=K+5=35 3,5倍合外数（中）：P2=3x2-2=31；P1= P2-2=29连续合数（左）：3x1= P1-2=27；5x1= 3x1-2=25注意！P2=3172-22时，P1,P2一定是素数！(3) 3,5,7倍合数在以7的倍合数划分的对称中心区间203,205,207,P1,P2,213,215,217上连续合数个数Cn=(7-1)/2=3；且对称分布。 连续合数公式：基数K=2(1357)=210. 连续合数（右）：3x2=K+3=213；5x2=K+5=215；7x2=K+7=217 3,5倍合外数（中）：P2=3x2-2=211；P1= P2-2=209连续合数（左）：3x1= P1-2=207；5x1= 3x1-2=205；7x1=5x1-2=203注意！P2=21192-22时，在1, 92-22上两个7倍数间的素数分布个数一定3个！(4) 3,5,7,（9）倍合数在以9的倍合数划分的对称中心区间621,623,625,627,P1,P2,633,635,637,639上连续合数个数Cn=(9-1)/2=4；且对称分布。连续合数公式：基数K=2(13579)=945. 或基数K=2(579)=630（3,5,7,9的最小公倍数M=315）连续合数（右）：3x2=K+3=633；5x2=K+5=635；7x2=K+7=637 ；9x2=K+9=639 3,5倍合外数（中）：P2=3x2-2=631；P1= P2-2=629连续合数（左）：3x1= P1-2=627；5x1= 3x1-2=625；7x1=5x1-2=623；9x1=7x1-2=621注意！P2=631112-22时，在1, 112-22上两个9倍数间的素数分布个数一定3个！(n) 3,5,7,9,a倍合数在以a的倍合数划分的区间对称中心区间ax1,11x1,9x1,7x1,5x1,3x1,P1,P2,3x2,5x2,7x2,9x2,11x2,ax2上连续合数个数Cn=(a-1)/2；且对称分布。 连续合数公式：基数K=2(13579,a)=945. 或基数K=2M（3,5,7,9,a的最小公倍数M）连续合数（右）：3x2=K+3；5x2=K+5；7x2=K+7 ；9x2=K+9 ；ax2=K+a3,5倍合外数（中）：P2=3x2-2；P1= P2-2连续合数（左）：3x1= P1-2；5x1= 3x1-2；7x1=5x1-2；9x1=7x1-2；ax1=ax0-2注意！P2=2M+1(a+2)2-22在1, a 2-22上两个a倍数间的素数分布个数一定3个！定理4.4（有限合数列间公倍数分布关系定理）：在奇数列1,3,5,上，设3，设d=1,3,5,（1）独立的3倍合数列9,15,21,不存在与其它数列有公倍数关系。（2）有限的3倍合数列9,15,21,与5倍合数列15,25,35,两条数列只存在一种形式d(35)的公倍数。在奇数列上每15项一循环。（3）有限的3倍合数列9,15,21,与5倍合数列15,25,35,与7倍合数列21,35,49,三条数列只存在四种形式d(35)，d(37)，d(57)，d(357)的公倍数。在奇数列上分别每15，21，35，105项一循环。从此开始，每增加一条素数倍合数列3，5，7，就增加两形式的公倍数。因为各种类型（3,5,7,9,倍型）合数都是等差分布，所以，在奇数列1,3,5,的倍区间1, 1,1+2, 3,3+2, 5,上的公倍数越多分布的合数分布的越少。素数分布的越多。示例：在奇数列1,3,5,上：（1）独立的3倍合数列9,15,21,不存在与其它数列有公倍数关系。（2）有限的3倍合数列9,15,21,与5倍合数列15,25,35,之间存在着公倍数：1(35), 3(35),5(35), , d(35) 在奇数列上每15项一循环。两条数列只存在一种形式d(35)的公倍数。（3）有限的3倍合数列9,15,21,与5倍合数列15,25,35,与7倍合数列21,35,49,之间存在着公倍数：1(35), 3(35),5(35), d(35) 在奇数列上每15项一循环；1(37), 3(37),5(37), d(37) 在奇数列上每21项一循环；1(57), 3(57),5(57), d(57) 在奇数列上每35项一循环；1(357), 3(357),5(357), d(357) 在奇数列上每105项一循环。三条数列只存在四种形式d(35)，d(37)，d(57)，d(357)的公倍数。 （3）有限的3倍合数列9,15,21,与5倍合数列15,25,35,与7倍合数列21,35,49,与11倍合数列33,55,77,之间存在着公倍数：1(35), 3(35),5(35), d(35) 在奇数列上每15项一循环；1(37), 3(37),5(37), d(37) 在奇数列上每21项一循环；1(311), 3(311),5(311), d(311) 在奇数列上每33项一循环；1(57), 3(57),5(57), d(57) 在奇数列上每35项一循环；1(511), 3(511),5(511), d(511) 在奇数列上每35项一循环；1(35711), 3(35711),5(35711), d(35711) 在奇数列上每1155项一循环。四条数列只存在六种形式d(35)，d(37)，d(311)，d(57) , d(511)，d(35711)的公倍数。（4）有限的3倍合数列9,15,21,与5倍合数列15,25,35,与7倍合数列21,35,49,与11倍合数列33,55,77,与13倍合数列39,65,91,之间存在着公倍数：1(35), 3(35),5(35), d(35) 在奇数列上每15项一循环；1(37), 3(37),5(37), d(37) 在奇数列上每21项一循环；1(311), 3(311),5(311), d(311) 在奇数列上每33项一循环；1(313), 3(313),5(313), d(313) 在奇数列上每39项一循环；1(57), 3(57),5(57), d(57) 在奇数列上每35项一循环；1(511), 3(511),5(511), d(511) 在奇数列上每35项一循环；1(513), 3(513),5(513), d(513) 在奇数列上每65项一循环；1(3571113), 3(3571113),5(3571113), d(3571113) 在奇数列上每15015项一循环。五条数列只存在八种形式d(35)，d(37)，d(311) ，d(313)，d(57) , d(511) , d(513)，d(3571113)的公倍数。从第（3）条开始，每增加一条素数倍合数列3，5，7，就增加两种形式的公倍数。5.2素数分布基本规律“2（3）Np(+1)/2”举例证明 在奇数列1(2),3,5,上：（1）在1(2),(3+2)2-22区间上只有3倍合数。因为，有限的3倍合数“3x”分布密度最大的形式是：P1,P2,3x，如11,13,15所以，“3倍合数以外的数P1,P2”在3倍数区间1(2),3,5,9,11,15,17,21 ,23,27,上的分布个数是2个。即，1(2),(3+2)2-22区间上的素数，在1(2),3,5,9,11,15,17,21上的分布个数同样是Np=2 因为3倍合数列是独立的数列，所以没有与其它数列的公倍数存在。也就没有Np上限。（2）在1(2),(5+2)2-22区间上只有3，5倍合数。因为，有限的3,5倍合数“3x,5x”分布密度最大的形式是：3x1,P1,P2,3x2,5x，如27,29,31,33,35所以，“3,5倍合数以外的数P1,P2”在5倍数区间1(2),5,7,15,17,25,27,35 ,37,45, 47,55,上的分布个数下限是2个。即，1(2),(5+2)2-22区间上素数，在1(2),5,7,15,17,25,27,35 ,37,45上的分布个数下限同样是Np=2 因为，3倍合数列与5倍合数列只有一个公倍数形式“d(35)”存在。 所以，在3x1,P1,P2,3x2,5x减去一个合数变成P1,3x,P2,P3,5x，如7,9,11,13,15。也就说，“3,5倍合数以外的数P1,P2,P3”在5倍数区间1(2),5,7,15,17,25,27,35 ,37,45, 47,55,上的分布个数上限是3个。即，1(2),(5+2)2-22区间上的素数，在1(2),5,7,15,17,25,27,35 ,37,45上的分布个数上限同样是Np=3 （3）在1(2),(7+2)2-22区间上只有3，5，7倍合数。因为，有限的3,5,7倍合数“3x,5x,7x”分布密度最大的形式是：5x1,3x1,P1,P2,3x2,5x2,7x，如205,207,P1,P2,213,215,217所以，“3,5,7倍合数以外的数P1,P2”在7倍数区间1(2),7,9,21,23,35,37,49 ,51,63, 65,77 ,79,91,上的分布个数下限是2个但因，P1,P277即，1(2),(7+2)2-22区间上的素数，在1(2),7,9,21,23,35,37,49 ,51,63, 65,77上的分布个数下限是Np=3 因为，3倍合数列与5倍合数列有四个公倍数形式“d(35)；d(37)；d(57)；d(357)；”存在。 所以，在5x1,3x1,P1,P2,3x2,5x2,7x减去二个合数变成3x,P1,P2,5x,P3,P4,7x，如9,11,13,15,17,19,21。也就说，“3,5,7倍合数以外的数P1,P2,P3,P4”在7倍数区间1(2),7,9,21,23,35,37,49 ,51,63, 65,77,上的分布个数上限是4个。即，1(2),(5+2)2-22区间上的素数，在1(2),7,9,21,23,35,37,49 ,51,63, 65,77上的分布个数上限同样是Np=4 依此类推，便可求证素数分布规律的上下限：“2（3）Np(+1)/2”需要指出的是，有限的“3,5,7,9,倍合数”其分布密度最大形式一般地说，在一个有限合数分布循环中只有一种形式。也就是说，不可能有两个相邻的形式存在。当然独立的3倍合数分布除外。例如，有限的3,5倍合数在奇数列上以5倍数划分的区间上不可能有3x1,P1,P2,3x2,5x1, 3x3,P1,P2,3x4,5x2这种相邻的合数分布密度最大形式存在。证明：根据同因数的合数等差分布定理可知3倍合数分布公差d3=6；5倍合数分布公差d3=10上面的3x3-3x24，所以不可能存在3x1,P1,P2,3x2,5x1, 3x3,P1,P2,3x4,5x2这种相邻的合数分布密度最大形式。也就说在这两个相邻的区间上素数分布个数4个。也就是说，在区间52,72上至少分布5个素数；在区间72,92上至少分布6个素数；总之，两个平方数之间分布的素数个数总趋势越来越多。毫无疑问，在奇数列上，两个相邻的素数平方数之间分布的素数个数越来越多。6 对数函数素数分布伴函数本文素数分布基本规律给出的重要结果之一，就是怎样在奇数列上细腻地划分独立的、必有素数分布的区间。区间12, 32-2是以3倍数划分的1, 3,5,7后一个必有素数分布的区间；区间32, 52-2是以3倍数划分的9,13,15,19,21,23前两个必有素数分布的区间；区间52, 72-2是以5倍数划分的25,33,35,43,45,47前两个必有素数分布的区间；区间72, 92-2是以7倍数划分的49,61,63,75,77,79前两个必有素数分布的区间；依此类推之。众所周知的所谓“素数定理x/lnx”3,（严格地说它是素数伴函数）高斯非常聪明地建