几何算术平均收敛公式.ppt

第四讲两个重要极限 两个重要的极限 1 4 预备知识 1 有关三角函数的知识 2 有关对数函数的知识 以e为底的指数函数y ex的反函数y logex 叫做自然对数 在工程技术中经常被运用 常简记为y lnx 数e是一个无理数 它的前八位数是 e 2 7182818 3 有关指数运算的知识 4 无穷小量定义在某个变化过程中 以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量 常用字母 性质无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量 5 极限的运算法则 X10 50 10 010 001 0 841470 958850 998330 999980 9999998 X 1 0 5 0 1 0 01 0 001 0 841470 958850 998330 999980 9999998 第一个重要极限 O x B A C D 证 解 这个结果可以作为公式使用 例1求 例2 注 在运算熟练后可不必代换 直接计算 练习1 求下列极限 例3 解 例4 解 思考题 练习3 下列等式正确的是 练习4 下列等式不正确的是 练习5 下列极限计算正确的是 练习6 已知 当 时 为无穷小量 当时 为无穷小量 练习7 已知 练习8 练习9 第二个重要极限 解因为 所以 有 例1 例2 解方法一令u x 因为x 0时u 0 所以 方法二掌握熟练后可不设新变量 例3 解 练习1 解 练习2 解 练习3 解 两个重要极限 小结 练习题 思考题 解因为 所以令u x 3 当x 时u 因此 第一章作业2 作业 附录 两个重要极限的证明 O x R A B C 证 AOB面积 扇形AOB面积 AOC面积 即 例 两个重要极限的证明 因为 所以再次运用定理6即可得 重要极限1 其中的两个等号只在x 0时成立 证 设圆心角过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C 又作 则sinx BD tanx AC 这就证明了不等式 7 从而有 重要极限2 证 这是重要极限2常用的另一种形式 分析 此是一个和式的极限 显然第一项及第二项函数中分子 分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零 因此可以直接利用极限的运算法则求解 极限综合练习题 一 例3求下列极限 解 当x从0的左侧趋于0时 当x从0的右侧趋于0时 例5求下列极限 分析 本例中均是求分式的极限问题 且在各自的极限过程中 分子 分母的极限均为零 不能直接用极限商的运算法则 求解此类极限的关键是找出分子 分母中共同的致零因式 把它们约去后再求解 寻找致零因式常用的方法为 若是有理分式的极限 则需把分子分母 分别分解因式 一般采用 十字相乘法 公式法 或提取公因式法 若是无理分式的极限 则需要把分子 分母有理化 解 1 把分子分母分解因式 消去致零因式 再求极限 求解 又当x 0时 ax 0 bx 0 于是有 分析 当x 0时 分子 分母的极限均为0 且分子是一个无理函数 分母是正弦函数 于是可先把分子有理化 分子 分母同乘以 然后看是否可利用第1个重要极限 解法2 分析 当x 0时 分式中分子分母的极限均为0 不能直接使用极限的运算法则 但前面所介绍 分解因式 有理化 的方法在此又不适用 能否利用第1个重要极限呢 这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形 解 因当x 时 sinx的极限不存在 故不能用极限的运算法则求解 考虑到 解 1 求极限 极限综合练习题 二 解 利用第一重要极限和函数的连续性计算 即 2 求下列极限 解 对分子进行有理化 然后消去零因子 再利用四则运算法则和第一重要极限计算 即 3 求下列极限 分析 此极限属于时有理分式的极限问题 且m n 可直接利用上述结论得出结果 也可用分子 分母同除以x15来计算 解 分子分母同除以x15 有 22 1 5 解 5 求 解 6 求极限 解 容易算出分式分子的最高次项是 分式分母的最高次项是 所以 7 求极限 8 求极限 9 设函数 问 1 当a为何值时 f x 在x 0右连续 2 a b为何值时 f x 在x 0处有极限存在 3 当a b