圆的有关性质.doc

Http:/第32章 圆的有关性质一、选择题1. （2011广东湛江16,4分）如图，是上的三点，则 度【答案】602. （2011安徽，7，4分）如图，O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，BAC=36，则劣弧的长是（ ）AB C D【答案】B 3. （2011福建福州，9，4分）如图2,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦切小圆于点,若,则大圆半径与小圆半径之间满足（ ） A B C D图2【答案】C4. （2011山东泰安，10 ，3分）如图，O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则O的半径为（ ）A. B.2 C. D.【答案】A 5. （2011四川南充市，9，3分）在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油 后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（ ）（A）6分米 （B）8分米 （C）10分米 （D）12分米【答案】C6. （2011浙江衢州，1,3分）一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥 长100m，测得圆周角，则这个人工湖的直径为（ ）A. B. C. D. 【答案】B7. （2011浙江绍兴，4，4分）如图，的直径，点在上，若,则的度数是（ ） A. B. C. D. (第5题图)【答案】C8. （2011浙江绍兴，6，4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径，截面圆圆心到水面的距离是6，则水面宽是（ ） A.16 B.10 C.8 D.6【答案】A9. （2011浙江省，5，3分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A. 12个单位 B. 10个单位 C.4个单位 D. 15个单位【答案】B10（2011四川重庆，6，4分）如图，O是ABC的外接圆，OCB40则A的度数等于( )A 60 B 50 C 40 D 30【答案】B11. （2011浙江省嘉兴，6，4分）如图，半径为10的O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（）（A）6（B）8（C）10（D）12（第6题）【答案】A12. （2011台湾台北，16）如图(六)，为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，平分BAD且交于F点。若ADE，则AFB的度数为何？A97 B104 C116 D142【答案】C 13. （2011台湾全区，24）如图(六)，ABC的外接圆上，AB、BC、CA三弧的度数比为12：13：11自BC上取一点D，过D分别作直线AC、直线AB的并行线，且交于E、F两点，则EDF的度数为何？A 55 B 60 C 65 D 70【答案】14. （2011甘肃兰州，12，4分）如图，O过点B、C，圆心O在等腰RtABC的内部，BAC=90，OA=1，BC=6。则O的半径为A6B13CDABCO【答案】C15. （2011四川成都，7,3分）如图，若AB是0的直径，CD是O的弦，ABD=58， 则BCD=（ B ）(A)116 (B)32 (C)58 （D)64【答案】B 16. （2011四川内江，9，3分）如图，O是ABC的外接圆，BAC=60,若O的半径OC为2，则弦BC的长为A1BC2D2【答案】D17. (2011江苏南京，6，2分)如图，在平面直角坐标系中，P的圆心是（2，a）(a2)，半径为2，函数y=x的图象被P的弦AB的长为，则a的值是ABCD(第6题)ABOPxyy=x【答案】B1. 18. （2011江苏南通，8，3分）如图，O的弦AB8，M是AB的中点，且OM3，则O的半径等于A. 8B. 2C. 10D. 5【答案】D19. （2011山东临沂，6，3分）如图，O的直径CD5cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，OM：OD3：5，则AB 的长是（ ）A2cm B3cmC4cm D2cm【答案】C20（2011上海，6，4分）矩形ABCD中，AB8，点P在边AB上，且BP3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内【答案】C21. （2011四川乐山6，3分）如图（3），CD是O的弦，直径AB过CD的中点M，若BOC=40，则ABD= A40 B60 C70 D80【答案】 C22. （2011四川凉山州，9，4分）如图，点C在上，且点C不与A、B重合，则的度数为（ ）A B或 C D 或【答案】D23. （2011广东肇庆，7，3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若BAD 105，则DCE的大小是ABCDEA 115B 105C 100D 95【答案】B24. （2011内蒙古乌兰察布，9，3分）如图， AB 为 O 的直径， CD 为弦， AB CD ，如果BOC = 70 ，那么A的度数为（ ） A . B . C . D . 【答案】B25. （2011重庆市潼南,3,4分）如图，AB为O的直径，点C在O上,A=30,则B的度数为 A15 B. 30 C. 45 D. 60【答案】D26. （2011浙江省舟山，6，3分）如图，半径为10的O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（ ）（A）6（B）8（C）10（D）12（第6题）【答案】A二、填空题1. （2011浙江省舟山，15，4分）如图，AB是半圆直径，半径OCAB于点O，AD平分CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：ACOD；ODEADO；其中正确结论的序号是 （第16题）【答案】2. （2011安徽，13，5分）如图，O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则O的半径是 【答案】3. （2011江苏扬州，15,3分）如图，O的弦CD与直径AB相交，若BAD=50，则ACD= 【答案】404. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 【答案】如：x2-x+1=0；5. （2011山东泰安，23 ，3分）如图，PA与O相切，切点为A，PO交O于点C，点B是优弧CBA上一点，若ABC=320，则P的度数为 。【答案】2606. （2011山东威海，15，3分）如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,则AED= . 【答案】 307. （2011山东烟台，16,4分）如图，ABC的外心坐标是_.OxyBCA【答案】（2，1）8. （2011浙江杭州，14，4）如图，点A，B，C，D都在O上，的度数等于84，CA是OCD的平分线，则ABD十CAO= 【答案】539. （2011浙江温州，14，5分）如图，AB是O的直径，点C，D都在O上，连结CA，CB，DC，DB已知D=30，BC3，则AB的长是 【答案】610（2011浙江省嘉兴，16，5分）如图，AB是半圆直径，半径OCAB于点O，AD平分CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：SAEC=2SDEO；AC=2CD；线段OD是DE与DA的比例中项；其中正确结论的序号是 （第16题）【答案】11. （2011福建泉州，16，4分）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是.（写出符合的一种情况即可）【答案】 2（符合答案即可）12. （2011甘肃兰州，16，4分）如图，OB是O的半径，点C、D在O上，DCB=27，则OBD= 度。ODBC【答案】6313. （2011湖南常德，7，3分）如图2，已知O是ABC的外接圆，且C =70，则OAB =_.【答案】2014. （2011江苏连云港，15，3分）如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若BAC=22，则EFG=_.【答案】15. （2011四川广安，19，3分）如图3所示，若O的半径为13cm，点是弦上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦的长为_cm【答案】2416. （ 2011重庆江津， 16，4分）已知如图,在圆内接四边形ABCD中,B=30,则D=_.ABCD第16题图【答案】15017. (2011重庆綦江，13，4分) 如图,已知AB为O的直径，CAB30,则D .【答案】：60 18. （2011江西南昌，13，3分）如图，在ABC中，点P是ABC的内心，则PBC+PCA+PAB= 度.【答案】9019. (2011江苏南京，13，2分)如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是O的一部分）区域内，AOB=80，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角APB的最大值为_ABOP(第13题)【答案】40 20（2011上海，17，4分）如图，AB、AC都是圆O的弦，OMAB，ONAC，垂足分别为M、N，如果MN3，那么BC_【答案】621. （2011江苏无锡，18，2分）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内O上的一点，若DAB = 20，则OCD = _yxOABDC（第18题）【答案】6522. （2011湖北黄石，14，3分）如图（5），ABC内接于圆O，若B300.AC，则O的直径为 。【答案】223. （2011湖南衡阳，16，3分）如图，的直径过弦的中点G，EOD=40，则FCD的度数为 【答案】 2024. （2011湖南永州，8，3分）如图，在O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，已知O的半径为2，AB=,则BCD=_度（第8题）【答案】3025. (20011江苏镇江,15,2分)如图,DE是O的直径,弦ABDE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=_,CD=_.答案：4，926. （2011内蒙古乌兰察布，14，4分）如图，是半径为 6 的D的圆周，C点是 上的任意一点， ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是 【答案】27. （2011河北，16，3分）如图7，点O为优弧ACB所在圆的圆心，AOC=108，点D在AB的延长线上，BD=BC,则D=_【答案】2728. （2011湖北荆州，12，4分）如图，O是ABC的外接圆，CD是直径，B40，则ACD的度数是.【答案】50三、解答题1. （2011浙江金华，21，8分）如图，射线PG平分EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作O，分别与EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OAPE.（1）求证：APAO；（2）若弦AB12，求tanOPB的值；（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .证明：（1）PG平分EPF，DPO=BPO ， OA/PE，DPO=POA ， BPO=POA，PA=OA； 2分解：（2）过点O作OHAB于点H，则AH=HB=AB，1分 tanOPB=，PH=2OH， 1分设OH=，则PH=2，由（1）可知PA=OA= 10 ，AH=PHPA=210， ， 1分解得（不合题意，舍去），AH=6， AB=2AH=12； 1分（3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分)HPABCODEFG2.（2011浙江金华，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DBAB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当AOB30时，求弧AB的长；（2）当DE8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）连结BC,A（10，0）, OA=10 ,CA=5,AOB=30,ACB=2AOB=60,弧AB的长=; 4分OBDECFxyA（2）连结OD,OA是C直径, OBA=90,又AB=BD,OB是AD的垂直平分线,OD=OA=10,在RtODE中，OE=,AE=AOOE=10-6=4,由 AOB=ADE=90-OAB，OEF=DEA，得OEFDEA,即，EF=3；4分（3）设OE=x，当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB，当ECF=BOA时，此时OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，E1（，0）；当ECF=OAB时，有CE=5-x, AE=10-x，CFAB,有CF=,ECFEAD,即,解得：,E2（，0）;OBDFCEAxyOBDFCEAxy当交点E在点C的右侧时，ECFBOA，要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO，连结BE，BE为RtADE斜边上的中线，BE=AB=BD,BEA=BAO,BEA=ECF,CFBE, ,ECF=BAO, FEC=DEA=Rt， CEFAED, ,而AD=2BE, ,即, 解得, 0（舍去），E3（，0）;OBDFCEAxy当交点E在点O的左侧时，BOA=EOFECF .要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO连结BE，得BE=AB，BEA=BAOECF=BEA,CFBE,又ECF=BAO, FEC=DEA=Rt， CEFAED, ，而AD=2BE, , 解得, 0（舍去）,点E在x轴负半轴上, E4（，0）,综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似,此时点E坐标为：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）4分OBDFCEAxy3. （2011山东德州22,10分）观察计算当，时， 与的大小关系是_当，时， 与的大小关系是_探究证明如图所示，为圆O的内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b（1）分别用表示线段OC，CD；（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）ABCOD归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：_实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值【答案】观察计算:， =. 2分ABCOD探究证明：（1），3分AB为O直径,.， A=BCD. 4分.即,. 5分（2）当时, =；时, 6分结论归纳: 7分实践应用设长方形一边长为米,则另一边长为米,设镜框周长为l米，则 9分当,即（米）时,镜框周长最小此时四边形为正方形时,周长最小为4 米. 10分4. （2011山东济宁，19，6分）如图，为外接圆的直径，垂足为点，的平分线交于点，连接，.(1) 求证：； (2) 请判断，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.(第19题)【答案】（1）证明：为直径，. 3分（2）答：，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 4分理由：由（1）知：，.，.6分由（1）知：.，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 7分5. （2011山东烟台，25,12分）已知：AB是O的直径，弦CDAB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交O于点F，直线CF交直线AB于点P.设O的半径为r.（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OEOPr2（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.ABCDE.OG（图2）ABCDEFP.OG（图1）【答案】（1）证明：连接FO并延长交O于Q，连接DQ.FQ是O直径，FDQ90.QFDQ90. CDAB，PC90.QC，QFDP.FOEPOF，FOEPOF.OEOPOF2r2.（2）解：（1）中的结论成立.理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交O于M，连接CM.FM是O直径，FCM90，MCFM90.CDAB，ED90.MD，CFME. POFFOE，POFFOE.，OEOPOF2r2.6. （2011宁波市，25，10分）阅读下面的情境对话，然后解答问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在RtABC 中， ACB90，ABc，ACb，BCa，且ba，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，CD在直径AB的两侧，若在O内存在点E使得AEAD，CBCE求证：ACE是奇异三角形；当ACE是直角三角形时，求AOC的度数【答案】解：（1）真命题（2）在RtABC 中a2b2 c2，cba02c2a2b2，2a2c2b2若RtABC是奇异三角形，一定有2b2c2 a22b2a2（a2b2）b22a2得：bac2b2 a23a2caa：b：c1：(3)AB是O的直径ACBADB90在RtABC 中，AC2BC2AB2在RtADB 中，AD2BD2AB2点D是半圆的中点ADBDAB2AD2BD22AD2AC2CB22AD2又CBCE，AEADAC2CE22AE2ACE是奇异三角形由可得ACE是奇异三角形AC2CE22AE2当ACE是直角三角形时由（2）可得AC：AE：CE1：或AC：AE：CE： 1（）当AC：AE：CE1：时AC：CE1：即AC：CB1：ACB90ABC30AOC2ABC 60()当AC：AE：CE： 1时AC：CE： 1即AC：CB： 1ACB90ABC60AOC2ABC 120AOC2ABC 120AOC的度数为60或1207. （2011浙江丽水，21，8分）如图，射线PG平分EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作O，分别与EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OAPE.（1）求证：APAO；（2）若弦AB12，求tanOPB的值；（3）若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .【解】（1）PG平分EPF， DPO=BPO， OA/PE， DPO=POA， BPO=POA， PA=OA；（2）过点O作OHAB于点H，则AH=HB， AB=12， AH=6， 由（1）可知PA=OA=10， PH=PA+AH=16， OH=8， tanOPB=；（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.8. （2011广东广州市，25，14分） 如图7，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45，等腰直角三角形DCE中 DCE是直角，点D在线段AC上（1）证明：B、C、E三点共线； （2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM； （3）将DCE绕点C逆时针旋转（090）后，记为D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由ABCDEMNO图7ABCD1E1M1ON1图8【答案】（1）AB为O直径ACB=90DCE为等腰直角三角形ACE=90BCE=90+90=180B、C、E三点共线（2）连接BD，AE，ONACB=90，ABC=45AB=ACDC=DEACB=ACE=90BCDACEAE=BD，DBE=EACDBE+BEA=90BDAEO，N为中点ONBD，ON=BD同理OMAE，OM=AEOMON，OM=ONMN=OM（3）成立证明：同（2）旋转后BCD1=BCE1=90ACD1所以仍有BCD1ACE1，所以ACE1是由BCD1绕点C顺时针旋转90而得到的，故BD1AE1其余证明过程与（2）完全相同9. （2011浙江丽水，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DBAB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当AOB30时，求弧AB的长；（2）当DE8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.【解】(1)连结BC，A(10，0)，OA=10，CA=5， AOB=30， ACB=2AOB=60， 的长=；（2）连结OD，OA是C的直径，OBA=90， 又AB= BD， OB是AD的垂直平分线， OD= OA=10， 在RtODE中， OE=6， AE= AOOE =106=4， 由AOB=ADE= 90OAB， OEF=DEA， 得OEFDEA， =，即=，EF=3；(3)设OE=x， 当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似， 有ECF=BOA或ECF=OAB，当ECF=BOA时，此时OCF为等腰三角形，点E为OC的中点，即OE=， E1(，0)；当ECF=OAB时，有CE=5x，AE=10x，CF/AB，有CF=AB， ECFEAD， =，即=，解得x=，E2(，0)；当交点E在C的右侧时，ECFBOA要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO，连结BE，BE为RtADE斜边上的中线，BE=AB=BD，BEA=BAO，BEA=ECF，CF/BE，=，ECF=BAO，FEC=DEA=Rt， CEFAED，=， 而AD=2BE，=，即=，解得x1=，x2=ECF要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO，连结BE，得BE=AD=AB， BEA=BAO，ECF=BEA，CF/BE，=，又ECF=BAO，FEC=DEA=Rt， CEFAED，=， 而AD=2BE，=，=，解得x1=，x2=0（舍去），点E在x轴负半轴上，E4(，0)，综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，此时点E坐标为：E1(，0)、E2(，0)、E3(，0)、E4(，0).10（2011江西，21，8分）如图，已知O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。求BAC的度数；求ABC面积的最大值.（参考数据：sin60=，cos30=，tan30=.）【答案】（1）过点O作ODBC于点D, 连接OA.因为BC=，所以CD=.又OC=2，所以=，即=，所以DOC=60.又ODBC，所以BAC=DOC=60.（2）因为ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，ABC面积的最大值,即点A是的中点时，ABC面积的最大值.因为BAC=60，所以ABC是等边三角形，在RtADC中，AC=，DC=,所以AD=3.所以ABC面积的最大值为3=3.11. （2011湖南常德，25，10分）已知 ABC，分别以AC和BC为直径作半圆、P是AB的中点.（1）如图8，若ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分别取点E、F，使则有结论 四边形是菱形.请给出结论的证明；（2）如图9，若（1）中ABC是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；（3）如图10，若PC是的切线，求证：BD【答案】（1） 证明：BC是O2直径，则O2是BC的中点又P是AB的中点.P O2是ABC的中位线P O2 =AC又AC是O1直径P O2= O1C=AC同理P O1= O2C =BCAC =BCP O2= O1C=P O1= O2C四边形是菱形（2） 结论成立，结论不成立 证明：在（1）中已证PO2=AC，又O1E=AC PO2=O1E 同理可得PO1=O2FPO2是ABC的中位线PO2ACPO2B=ACB同理P O1A=ACBPO2B=P O1AAO1E =BO2FP O1A+AO1E =PO2B+BO2F即P O1E =F O2 P（3） 证明：延长AC交O2于点D，连接BD. BC是O2的直径，则D=90， 又PC是的切线，则ACP=90， ACP=D 又PAC=BAD，APCBAD又P是AB的中点AC=CD在RtBCD中，在RtABD中，12. （2011江苏苏州，26,8分）如图，已知AB是O的弦，OB=2，B=30，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交O于点D，连接AD.（1）弦长AB=_（结果保留根号）；（2）当D=20时，求BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.【答案】解：（1）2.（2）解法一：BOD是BOC的外角，BCO是ACD的外角，BOD=B+BCO，BCO=A+D.BOD=B+A+D.又BOD=2A，B=30，D=20，2A=B+A+D=A+50，A=50，BOD=2A=100.解法二：如图，连接OA.OA=OB，OA=OD，BAO=B，DAO=D，DAB=BAO+DAO=B+D.又B=30，D=20，DAB=50，BOD=2DAB=100.（3）BCO=A+D，BCOA，BCOD.要使DAC与BOC相似，只能DCA=BCO=90.此时，BOC=60，BOD=120，DAC=60.DACBOC.BCO=90，即OCAB，AC=AB=.13. （2011江苏苏州，27,8分）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.（1）如图，当PA的长度等于_时，PAB=60； 当PA的长度等于_时，PAD是等腰三角形；（2）如图，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把PAD、PAB、PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.【答案】解：（1）2；2或.（2）如图，过点P分别作PEAB，PFAD，垂足分别为E、F，延长FP交BC于点G，则PGBC.P点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4-a.在PAD、PAB及PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，AB是直径，APB=90.PE2=AEBE，即b2=a（4-a）.2S1S3-S22=4a（8-2a）-4b2=-4a2+16a=-4（a-2）2+16.当a=2时，b=2，2S1S3-S22有最大值16.14. （2011江苏泰州，26，10分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径【答案】解：(1)N是BC的中点。原因：AD与小圆相切于点M，OMAD，又ADBC，ONBC，在大圆O中，由垂径定理可得N是BC的中点(2)连接OB，设小圆半径为r，则有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,在RtOBN中，由勾股定理得OB2=BN2+ON2 ，即：（r+6）2=(r+5)2+52 ，解得r=7cm.小圆的半径为7cm.15. （2011四川成都，27,10分）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作0，O经过B、D两点，过点B作BKAC，垂足为K过D作DHKB，DH分别与AC、AB、O及CB的延长线相交于点E、F、G、H(1)求证：AE=CK； (2)如果AB=，AD= (为大于零的常数)，求BK的长；(3)若F是EG的中点，且DE=6，求O的半径和GH的长【答案】解：（1）DHKB，BKAC，DEAC，四边形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，EAD=KCB，RtADERtCBK，AE=CK.（2）在RtABC中，AB=，AD=BC=，=，SABC=ABBC=ACBK，BK=.（3）连线OG，ACDG，AC是O的直接，DE=6，DE=EG=6，又EF=FG，EF=3；RtADERtCBK，DE=BK=6，AE=CK，在ABK中，EF=3，BK=6，EFBK，EF是ABK的中位线，AF=BF，AE=EK=KC；在RtOEG中，设OG=，则OE=，EG=6，.在RtADFRtBHF中，AF=BF，AD=BC，BFCD，HF=DF，FG=EF，HF-FG=DF-EF，HG=DE=6.16. （2011四川宜宾,23，10分）已知：在ABC中，以AC边为直径的O交BC于点D，在劣弧上到一点E使EBC=DEC，延长BE依次交AC于G，交O于H（1）求证：ACBH；（2）若ABC=45，O的直径等于10，BD=8，求CE的长（23题图）【答案】证明：连接AD DAC=DEC EBC=DECDAC=EBC又AC是O的直径ADC=90DCA+DAC=90EBC+DCA=90BGC=180-(EBC+DCA)=180-90=90ACBHBDA=180-ADC=90ABC=45BAD=45BD=ADBD=8AD=8又ADC=90 AC=10（第23题解答图）由勾股定理，得.BC=BD+DC=8+6=14又BGC=ADC=90 BCG=ACD BCGACD 连接AE，AC是直径 AEC=90又EGACCEGCAE .17. （2011江西南昌，21，8分）如图，已知O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。求BAC的度数；求ABC面积的最大值.（参考数据：sin60=，cos30=，tan30=.）【答案】（1）过点O作ODBC于点D, 连接OA.因为BC=，所以CD=.又OC=2，所以=，即=，所以DOC=60.又ODBC，所以BAC=DOC=60.（2）因为ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，ABC面积的最大值,即点A是的中点时，ABC面积的最大值.因为BAC=60，所以ABC是等边三角形，在RtADC中，AC=，DC=,所以AD=3.所以ABC面积的最大值为3=3.18. （2011上海，21，10分）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA3，AC2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N（1）求线段OD的长；（2）若，求弦MN的长【答案】（1）CDAB， OAB=C，OBA=DOA=OB，OAB=OBAC=DOC=ODOA=3，AC=2，OC=5OD=5（2）过点O作OECD，E为垂足，连接OM在RtOCE中，OC=5，设OE=x，则CE=2x由勾股定理得，解得x1=，x2=（舍去）OE=在RtOME中，OM=OA=3，ME=2。MN=2ME=419. （2011湖北黄冈，22，8分）在圆内接四边形ABCD中，CD为BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E求证ABD为等腰三角形求证ACAF=DFFE第22题图BAFEDCM【答案】由圆的性质知MCD=DAB、DCA=DBA，而MCD=DCA，所以DBA=DAB，故ABD为等腰三角形DBA=DAB弧AD=弧BD又BC=AF弧BC=弧AF、CDB=FDA弧CD=弧DFCD=DF再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知AFE=DBA=DCA，FAE=BDECDA=CDBBD