第22章量子力学基础教案2007.doc

第二十二章 量子力学基础知识1924年 德布罗意提出物质波概念。1926年 薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程薛定谔方程，玻恩对波函数统计解释。1927年 海森堡提出著名的不确定关系。海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学，形成了完整的量子力学理论。 -教学要求： * 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义； * 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长；* 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，会简单计算粒子的概率密度及归一化常数；* 理解不确定关系并作简单的计算；* 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程* 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤，学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。教学内容：22-1 波粒二象性22-2 波函数22-3 不确定关系 22-4 薛定谔方程（简略， 一维定态薛定谔方程） 22-5 一维无限深势阱中的粒子 22-6 势垒 隧道效应 * 22-7 谐振子 *教学重点：实物粒子的波粒二象性及其统计意义；概率密度和发现粒子的概率计算；实物粒子波的统计意义概率波;波函数的物理意义及不确定关系。作业22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、22-17)、22-18)、-22-1 波粒二象性1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多，而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的对称性预言了实物粒子的波的频率和波长。一 德布罗意假设 一切实物粒子都具有波粒二象性（德布罗意按对称性及类比推论提出）。* 物质波或德布罗意波：其波频率和波长分别为： (22-1)式中：E实物粒子的能量P实物粒子的动量德布罗意关系式讨论1）实物粒子波与光的波粒二象性 (21-4)、(21-6)式完全一致，宏观物体质量大，物质波长极短，难以观测，微观粒子(如电子)，其质量小，物质波长可观测到。 2) (22-1) 式左边为描写“波”的物理量，右边为描写“粒子”的物理量。3）经电势差U加速后的电子(初速度忽略不计, 静质量)，将获得动能，由相对论动量与能量关系：可得电子动量为：由德布罗意关系式得波长： (22-2)4）如果经电势差U加速后电子的速率，可忽略相对论效应，直接由动量得到： (22-3)例221 计算电子经过 (1) ，(2) 电压加速后的德布罗意波长。解 (1) 电子经电场加速后的德布罗意波长可由(22-2)式计算： 代入，可得：（极短）（电子显微镜加速电子获得波长极短电子波，提高显微镜分辨率）(2) 加速电压为150V时（忽略相对论效应），采用非相对论波长公式(22-3)得： 可知：由加速电压为150V得动能电子的德布罗意波长 与X射线波长同数量级，因此观察电子衍射可采用与X射线衍射相同方法，例如用晶体作天然光栅实现衍射。例22.2 计算质量，速率的子弹的德布罗意波长。解： 根据(22-1)式得： 可见：宏观物体的德布罗意波长小到实验上难以观测，仅表现出粒子性。二 物质波的实验验证1、电子衍射实验（戴维逊和革末，1927年） 热阴极K发出电子，过狭缝D成很细电子射线束，以掠射角f投射镍单晶M上，集电器B收集反射电子，电流计G测电子流强度I。 保持掠射角f不变，改变加速电压U大小测量出不同电流强度I，绘制曲线如图所示。实验表明：随加速电压U增加，当电压取某些特定值时，电流呈现峰值，显示规律性（与X射线在晶体上衍射规律极为相似）。理论计算：按德布罗意波长公式： （忽略相对论效应）及电子波， f及晶格常数d的布拉格公式： （ k = 1,2,3,. ）有： 得电流峰值处对应的电压为： 实验结果与理论预期值符合相当好（实验还测量电子波长与德布罗意关系式计算一致）2、 电子衍射实验（汤姆逊，1927年，英国），高能电子束穿过多晶薄膜，照相底片上得到电子衍射环状图样。3、 电子的单缝、双缝和多缝衍射实验（约恩逊，1961年） 图为电子双缝衍射实验明暗衍射条纹，直接表现电子的波动性。* 对质子、中子及原子、分子等的有关实验：证实波动性，其波长也都和德布罗意关系相符合。三、物质波的统计诠释概率波粒子概念和波动概念代表仅有两种可能的不同的能量输送方式。经典波动代表某物理量周期性变化，可产生干涉、衍射现象。而粒子为颗粒性，其空间广延性却等于零，并在确定轨道上运行。（性质如此迥异的两概念如何互相联系统一到同一个客体上？）1、 概率波概念（波恩）（电子的双缝衍射实验说明这种波动性的意义）两种实验方法：1）射向双缝电子流强度很大，屏上出现衍射图样（图f）-电子波动性；2）控制电子流，电子一个个发射到屏，一个个感光点（图a、b）-电子粒子性；实验发现：1） 当到达屏电子数少，感光点分布无规则，随机性大。但电子数目不断增多，落点位置分布逐渐显出一定规律性，数目越多，规律性明显，（图cf）。2） 电子分布最集中地方正好是衍射明纹中心的位置，电子分布几乎为零的地方正好是衍射暗纹中心的位置。2） 在实验条件相同下，不管开始时电子落点分布多么不规则，最终大量电子落点形成衍射图样都一样。（大量电子不规则落点的群体行为遵从统计规律）2、 波恩统计观点解释：衍射明纹地方，到达电子多，电子在这些地方出现概率大；衍射暗纹地方，到达电子少，电子在这些地方出现概率小，衍射条纹明暗分布与到达该处电子数目成正比，实物粒子的波动性是一种统计行为，实物粒子波是概率波。（波恩统计解释不仅对电子波适用，其它微观粒子波动性也如此）* 注意：1）物质波不是指微观粒子以波形式在空间运动，而是指粒子在空间各处出现的概率分布服从波的规律。2）物质波是概率波的统计解释，不意味必须有大量粒子存在时才具有波动性，容易误解为波动性是粒子间相互作用的结果。3）单个电子具有波动性，电子自身与自身干涉形成衍射图样。波动性是微观粒子自身具有的特性。4）在量子力学的概念中实物粒子波与经典波有明显区别。实物粒子波不代表描述粒子某一物理量在时空中周期性变化，5）粒子在空间各处出现的概念分布呈现的波动表现概率波，保留波具有迭加性，不是经典波，是量子波。6）实物粒子不是经典粒子，经典粒子在运动过程中有确定的轨道，实物粒子具有波动性，没有明确轨道概念，只是一颗量子粒子。量子粒子与量子波是统一的。-22-2 波函数（实物粒子具有波动性，其运动状态由概率波描述）* 波函数：概率波的数学表达式。波函数通常以表示（一般是空间和时间的函数）： （不同的粒子，在不同的作用条件下，波函数的具体形式不同）1、 粒子一维自由运动的波函数：设：自由粒子沿x轴正方向运动，能量E和动量p恒定。按照德布罗意关系：德布罗意波长 德布罗意频率 （保持不变）在波动理论中频率和波长恒定波为单色平面波（一无限长的波列），有： 也可表示成复指数函数形式： 将波长和频率代入上式，并以表示波函数，表示波函数振幅，可得： （在一般情况下，表示实物粒子运动的波函数用复函数形式）2、实物粒子波的强度： 用波函数描述概率波是体现粒子在空间各处出现概率大小。（以电子双缝衍射为例理解两理论解释间关系）衍射明纹衍射暗纹波动理论解释衍射极大处，波的强度大。衍射极小处，波的强度小。统计理论解释到达电子数目多，电子出现概率大。到达电子数目少电子出现概率小。（由此可知粒子(电子)在某处出现概率大小正比于该处粒子(电子)波强度）可将实物粒子波的强度表示为：（波函数模的平方，为波函数的复共轭函数）3、 概率密度函数：考虑空间某点(x，y，z)附近的一个小体积元dV，若粒子出现在dV内的概率用表示，正比于该处粒子波的强度，即正比于波函数模的平方： （如果将比例常数包含在波函数中）则概率密度粒子出现在单位体积中概率为： (22-4) 概率密度函数（波函数模平方等于波函数描述粒子在t时刻出现在空间(x，y，z)处的概率密度）注意： 1）波函数意义：波函数在经典物理中没有相对应力学量，也不具可观察测量的直接物理意义，波函数意义体现在波函数模的平方上，给出了粒子出现的概率密度，并以概率的形式提供有关粒子运动的全部信息，所以：波函数又称为概率幅，其平方等于概率密度。 2）波函数的标准化条件：波函数必须保证粒子在任一时刻任一空间范围内出现的概率具有唯一性，并且不应在某处发生突变和变得无限大，这要求波函数满足单值，连续，有限的条件波函数的标准化条件。 3）波函数的归一化条件：任一时刻粒子在整个空间出现的总概率应该等于1， (22-5) 波函数的归一化条件 -例223 求沿x轴运动的自由粒子的概率密度函数。解 沿x轴运动的自由粒子的波函数为： （为一常数）概率密度函数为： （可见：概率密度为常数）表示：在x轴上各相同大小的区间内发现粒子的概率均相等。例224 一微观粒子沿x轴方向运动，描述其运动的波函数为(式中E为粒子能量，A为待定常量)试求： (1) 概率密度函数； (2) x轴上粒子出现概率密度最大地方及概率密度大小； (3) 粒子出现在0，1区间内的概率。解 ： (1) 概率密度函数 (待定常数A由波函数的归一化条件(22-5)式确定) 得: 故概率密度函数为： (本例中概率密度与时间无关，只由x坐标决定) (2) 由，看出处最大, 即: (3) (在某区间内粒子出现的概率为概率密度在该区间的积分)有粒子在x轴上0，1区间出现的概率为： -22-3 不确定关系实物粒子具有波粒二象性：对粒子性可谈论它的位置和动量；对波动性只能用波函数描述位置概率分布。1、 位置不确定量与动量不确定量：概率描述无法预言粒子确切位置位置不确定量，概率描述同样无法预言粒子确切动量动量不确定量，例如：考虑一个沿x轴运动的粒子。1）位置不确定量：由于单个粒子位置不可预言 (如电子双缝衍射单个电子落点位置)，粒子的波函数在x轴上一定有着某种伸展（如图） 可见：在范围内波函数不等于零，粒子在各处出现概率取决于波函数模的平方，代表在x轴上可能找到粒子的位置范围位置不确定量。2) 动量不确定量：图中波形只延伸在有限范围内的波波包(不是单色平面波图形)根据付立叶变换：波包是若干(直至无穷多)个不同波长的单色平面波迭加的结果，包含的波长不单一，有一定的波长分布范围。由德布罗意关系可知粒子动量不单一，有一分布范围动量不确定量。3）二者的关系：图示: 两个单粒子的波包，两个波包具有不同的。图(a)：粒子位置不确定量大_位置相当不确定，波包包含不同波长相对较少，粒子动量不确定量相对较小_动量较为确定。图(b)：粒子位置不确定量小_位置比较确定，波包包含不同波长相对较多，粒子动量不确定量相对较大_动量很不确定。可知：粒子波是概率波的性质决定粒子存在位置和动量不确定性，彼此关联制约。2、 海森堡不确定关系(原理)1）在一维运动情况下不确定关系式（以x方向为例）：粒子位置不确定量与动量不确定量乘积有一个最低极限值，即： (22-6) 海森堡不确定关系(原理) 式中： 普朗克常量 ( 普朗克常量)表明：（1）粒子的位置和动量不可能同时准确地确定。粒子位置确定越准确(小)，同方向粒子动量就越不能准确确定(大)；粒子动量确定越准确(小)，同方向粒子位置就越不能准确确定(大)。（2）如果其中一方完全确定，另一方将完全无法确定。例如: 粒子动量完全准确确定（允许），由 可知粒子的位置将完全无法确定，有。例22-1中沿x轴运动的自由粒子，波长完全确定的单色平面波，由德波 知粒子动量确定，粒子波函数弥漫在x轴全空间，在x轴上各处发现粒子的概率为一常数，粒子位置完全不能确定。2）在三维运动情况下不确定关系式： (22-7) 用于定性分析及数量级估计，常简化为： (22-8)3、量子力学中能量与时间的不确定关系式 (还存在多组不确定关系)： (22-9)式中：为粒子的能量保持在E能态所持续时间能态的寿命，为该能态能量的不确定量能量的宽度。例如：原子中电子可在基态能级经历任意长的时间，因此原子基态的能级原则上是完全确定的，但是原子各激发态寿命一般很短，平均寿命约为，因而各激发态的能级有一定的宽度。当原子在各能级之间跃迁发光时，光谱线就必须存在一定的宽度光谱的自然宽度或（见图）表明：原子所发射的光谱存在着频率的不确定量或波长的不确定量，直接决定光的单色性及光的相干性的好坏。 结束语：1) 不确定关系的重要性不确定关系源于物质波粒二象性，体现物质世界基本属性，量子力学核心内容。(费恩曼说：“现在描述原子及所有物质的量子力学都有赖于不确定原理的正确性。”)2)不确定关系是量子效应(数量级为或h)微观世界粒子质量和线度都很小，不确定关系起非常重要作用，量子效应凸显。而宏观粒子质量较之数量级大得多，可认为(或h)0，不确定关系成立，但不产生实际效果，可用经典力理论讨论。 （对应原理）例225 讨论电子单缝衍射实验，说明不确定关系的成立。 解 ：一束动量p电子垂直射向宽度a单缝，屏上形成衍射条纹。无法准确指出电子从缝中哪个位置通过，只能说“哪一点通过都有可能”。因此电子在x方向位置不确定量就是缝宽，有： （1）电子发生衍射（有电子改变运动方向），出现不为零的x方向动量分量。以衍射角为例，电子动量沿方向的x分量为： 由于电子绝大多数落在中央明纹范围内，这部分电子动量x分量分布范围为： （其中：是一级暗纹的衍射角）得x方向动量不确定量的大小为： 把德布罗意波长代入单缝衍射公式（一级暗纹衍射角）：有：故x方向动量不确定量的大小为： （2）比较 （1）式和（2）得到：考虑到一部分电子在中央明纹以外，有：可见：1）电子经狭缝时其位置限制在缝宽a内，动量分量发生变化，两结果相伴出现。 不可能限制电子位置同时又避免动量发生变化。2）若要电子位置尽可能准确确定，只有减小缝宽，而缝宽越窄，衍射图样就扩展越开，电子动量将越不确定；3）若要使电子动量尽可能准确，只有增加缝宽，从而电子位置越不确定。 例226 用不确定关系讨论以下问题：(1) 质量子弹从枪口射出，枪口直径，估算子弹射出枪口时的横向速度；(2) 威尔逊云室中显示高能电子径迹的液珠串的宽度为：，估算电子的横向速度； (3) 氢原子的线度约为，估算氢原子中电子速度的不确定量与电子速度大小的比值。解 (1) 取枪口直径为子弹出枪口时横向位置的不确定定量，即，由 有： (22-10)取等号进行估算： （与子弹飞行纵向速度每秒几百米微不足道，子弹宏观粒子波动性不影响它 “经典式”运动） (2) （忽略相对论效应）以为电子横向位置不确定量，以表示电子横向动量不确定量，并以表示电子的横向速度，由(22-10)式取等号： 可见：电子尽管是微观粒子，横向速度远小于纵向速度，仍看成经典粒子。(3) 氢原子电子位置不确定量即氢原子的大小，电子的速度不确定量为： 可借助波尔的氢原子理论估算氢原子中电子的速度，由角动量量子化假设，取基态n=1： 所以： 可见：此时电子速度不确定量与电子速度大小具有相同数量级。电子波动性明显，经典意义速度已没有实际意义。例227 波长为的光沿x轴正向传播，若光的波长的不确定量，即谱线宽度，试利用不确定关系求光子x坐标的不确定量。解 ：光子的波长不确定造成光子的动量不确定。由，可得光子动量不确定量与波长不确定量间关系： 代入并取等号，可得光子位置不确定量： 可见：由于在波动光学中等于光的相干长度（即光波列长度），得知光子位置的不确定量等于光的波列长度。例228 1974年丁肇中发现粒子时测出粒子静止能量为3097MeV，不确定量为0.063MeV，试用不确定关系估算粒子平均寿命。解 ： 由，取等号计算粒子的平均寿命为: -22-4 薛定谔方程经典力学粒子运动学方程由初始条件通过解牛顿方程得到。量子力学粒子运动波函数不同粒子系统处不同力学环境，波函数不一样。（怎样求解各种具体问题的波函数，找出波函数随时间空间演化的规律？）一、 薛定谔方程（1926年，奥地利）：-粒子波函数应遵从的微分方程其非相对论的一般形式为： (22-11)式中：， m粒子的质量 粒子所在外力场中的势(能)函数（力学环境）（结合粒子不同具体情况求解薛定谔方程，得粒子运动波函数量子力学中心问题）注：含时间的薛定谔方程粒子所在外力场中势函数随时间变化，通常相当复杂，一般在专门的量子力学课程中讨论。1、 定态薛定谔方程粒子所处外力场的势函数不随时间变化，若波函数可用分离变量方法，表示为含空间变量的与含时间变量的的乘积，即： 其时间部份（证明略）为： 式中： （包括动能和势能V在内的粒子总能量）则：波函数，代入（22-11），并移项得： (22-12) 定态薛定谔方程 又由： 可见：波函数与都描述粒子空间概率分布不随时间变化定态状态， 定态波函数（可由求解定态薛定谔方程得出）。* 一维定态薛定谔方程（简单情况）粒子在外力场中作一维运动，定态波函数为，需满足一维定态薛定谔方程： (22-13)结束语1）薛定谔方程是量子力学的基本方程，象牛顿运动方程是经典力学基本方程一样；2）波函数本身不是一个可观测的量，可以测量的是表示概率密度的；3）薛定谔方程本身不可能由实验总结出来，更不可能由经典理论推导出来。正确性已得到迄今为止所发生一切现象的证明。薛定谔承认粒子波动性，从一个描述波动的微分方程出发，把德布罗意关系式和一些明智猜测代入这个波动微分方程，从而得到了薛定谔方程。 （费恩曼说：“它来自薛定谔的心灵。”）-22-5 一维无限深势阱中的粒子（这是定态薛定谔方程能解决的最简单问题之一）一 势阱设质量为m的粒子在一维势场中沿x轴作一维运动，其势函数为：图 (a)的势能分布曲线形如深井势阱。 如果，势函数变为：图22-9 势阱曲线势能曲线变成图（b）的井深无限的势阱无限深势阱。* 无限深势阱（理想模型）：粒子在阱内势能V为常量(V=0)，不受外力作用，自由运动，在阱壁和处，势函数突增为无穷大，粒子受指向阱内的无限大力作用，“势能墙”阻止粒子向外运动，粒子局限在阱内。例如：金属中电子可近似认为是自由电子，不受力的作用，势能为零或为某一常量。当电子运动到金属表面处就要受到指向金属内部的引力作用，要逸出表面必须克服该引力做功势能墙阻碍逸出。一般：凡局限在一定区域内自由运动粒子都可采用势阱模型讨论。二 一维无限深势阱中运动粒子的波函数（定态问题）由一维定态薛定谔方程： (22-13)在和的阱外，由于，粒子波函数，发现粒子概率等于零。在阱内势函数V = 0，定态薛定谔方程为： 令： (22-14)可得： 该简谐振动微分方程的通解为： 式中：A、为一组待定常数 （常数应符合波函数标准化条件要求：波函数必须连续）讨论 1）在阱外波函数，阱内波函数在和边界处须与阱外波函数连续衔接，也必须为零，有： 显然A不等于零，否则阱内波函数恒等于零，与事实不符，只能是： (22-15)因此，波函数具体形式应为： 2）波函数还应满足归一化条件，由： 得： 3）一维无限深势阱中运动粒子定态波函数为： (22-16)三 能量量子化 概率密度函数1、粒子在一维无限深势阱中能量：由(22-14)式 和 (22-15)式 得其能量为： (22-17)令： （表示粒子的最低能量零点能）则粒子能量为： n只能是正整数，故粒子能量取离散值能量量子化。（量子力学将这些能量值称为能量本征值或本征能量） （粒子的能级图） 2、概率密度函数定态波函数为： 概率密度函数为： 可见：量子数n不同的粒子能量不同，不同位置出现概率分布也不相同。（上图实线为本波函数，虚线为概率密度函数）。注意：（上述量子力学结果与经典力学粒子行为截然不同）1）经典力学观点：自由运动(在阱内)的粒子在空间各处出现的概率是均等的，粒子若静止，且V = 0，最低能量应该为零。2）量子理论观点：+ 粒子在阱内各处出现概率不相同，粒子波在两壁间来回反射，相干迭加成驻波，干涉相长地方出现概率大，干涉相消地方出现概率小。+ 粒子在阱内不可能静止不动，否则位置完全确定，动量完全确定(p=0)，不符合不确定关系！因此粒子零点能不可能等于零(量子世界不允许粒子静止！)+ 当量子数n很大，概率密度函数极大值位置与极小值位置靠得很近，特别，其密集程度宏观上根本无法分辨，势阱内概率密度分布可认为常数 回到经典力学 。-例229 (1) 按照量子力学的观点，粒子在一维无限深势阱中作一维运动，粒子波在势阱两壁间来回反射形成驻波，试用：驻波分析方法求出粒子的能量公式。(2) 用海森堡不确定关系 估算一维无限深势阱中粒子的零点能。解 (1) 粒子局限在宽度a势阱中运动为定态，对应德布罗意波为稳定驻波，并在两端点形成波节。根据驻波条件，阱宽应是半波长的整数倍： 由德布罗意关系式： 得： 并注意到阱内势能V = 0，粒子的总能量为，再由非相对论动量与动能的关系： 可得粒子能量公式（量子化条件）： 令： 得： （与薛定谔方程解一样）(2) 粒子在势阱中运动，位置的不确定量约为阱的宽度，即：动量的不确定量为： 对于最低能态粒子的动量p应大于至少等于动量的不确定量，此外，粒子可能朝左或朝右运动，所以： 得粒子的零点势（最低能量）为： 例22.10 试求限制在一维“盒子”（盒宽）中自由运动电子的能量和速度大小的可能值。解 ：电子的运动可视为在阱宽为的一维无限深势阱中运动。由(22-17)式，电子可能具有的能量为： 电子在盒内自由运动，其能量就是它的动能，由：得电子速率为： 例22.11 已知一维无限深势阱中粒子波函数，当粒子处于的定态时，求：(1) 粒子出现概率最大的位置；(2) 粒子出现概率最小的位置；(3) 粒子出现在到之间的概率。解 ：由定态波函数： 当粒子处于的定态时的波函数和概率密度函数分别为： (1) 粒子出现概率最大位置应是概率密度函数为最大值地方，即： 于是有： 解得：当: 当: (其它k值因x超出阱外而舍弃)另外: 求概率分布最大的位置也可以采用求极值的方法，令 以及 即可。(2) 粒子出现概率最小位置是概率密度函数为最小值地方，即： 解得：当: 当: 当: 另外: 求概率分布最小位置也可令，得到。(3) 粒子出现在到间概率是概率密度函数在区间积分： ( 所得结果与上图概率密度曲线下面阴影面积表示概率大小一致 )-22-6 势垒 隧道效应 （仅作了解）一 单壁势垒的情况 （一维无限深势阱中粒子处于束缚态，其能量和动量具有离散的本征值）（势垒情况下的粒子处于非束缚态，本节重点讨论粒子的散射问题）设：能量为E的粒子沿x轴正方向射向一势垒，势垒函数为如图好象在x=0处突兀而起一个高度为V0的势能垒台直角单壁势垒 （其势函数与时间无关定态问题，可直接求解定态薛定谔方程）在I区：由一维定态薛定谔方程： (22-13)设波函数为，而 ， 则定态薛定谔方程为：令，有:波函数的解为:（其中: A、B为一组待定常数）可见：中的第一项代表沿x轴正方向向右传播的入射波，中的第二项代表沿x轴负方向向左传播的反射波。（反射波是入射波经势垒壁反射形成，从波动理论看是一个很自然结论）在II区：势函数为，设波函数为，定态薛定谔方程为:考虑粒子总能量，粒子越过势垒进入II区完全允许(不讨论)。讨论粒子的总能量的情况: 令，可得波函数的解为： （C为待定常数）只含一项进入区域II透射波，不是周期性的波，图22-12 粒子的波函数而是随进入深度指数式衰减隐失波。下图为波函数在两个区域分布的情况。 由于波函数的模的平方体现了粒子出现的概率，在II区，尽管粒子的总能量，粒子波函数却不为零，在II区是有找到粒子的概率的。此时粒子的动能将为一负值，这是经典力学无法设想的情况。但按上述薛定谔方程的解及波具有透射的性质，粒子确实是有可能进入II区的。二 势垒贯穿 隧道效应设：势垒有一定的宽度a（如图） 势函数为：在I区：情况与上述单壁势垒的I区情况相同，波函数含两项，向右的入射波和向左的反射波。在II区：除向右的呈指数衰减的透射波外，还应有一项由右壁向左的反射波。在 区：势函数V=0，与I区相同，波函数应为:区没有反射波，仅为一向右传播的周期性波。、在势垒的两壁处要满足波函数连续的条件，因此，的强度比弱得多（见图） 可见：粒子在势垒左边出现的概率高，在势垒内出现的概率小一些，在势垒右边出现的概率更小一些（但不等于零）。表明：在能量低于势垒高度（EV0）时，粒子仍可能穿透势垒到达势垒另一侧-势垒贯穿或隧道效应。（这是粒子具有波动性的合理结果，壁a越窄，隧道效应越明显；能量E越大，贯穿概率也越大）三 扫描隧道显微镜（量子隧道效应的辉煌应用） 1982年，美国IBM公司宾尼和罗雷尔研制成功。极细针尖与待测样品表面形成两个电极，加偏压Vb，当针尖与表面间距小到nm数量级，电子就会因量子隧道效应从一个电极经过空间势垒到达另一个电极，形成隧道电流。隧道电流对两极间距的变化极为敏感，距离变化0.1nm（原子数量级），隧道电流就变化10倍以上（通常有两种工作模式）。 1）恒电流工作模式 当针尖在样品表面作二维扫描时，通过电子反馈线路维持隧道电流恒定不变。由于样品的表面是起伏不平，因此，针尖必须随样品表面的起伏而起伏。针尖起伏情况经过计算机处理后还原在屏幕上，就给出了样品表面的三维图像。2）恒高度工作模式 针尖在样品表面作二维扫描时，保持针尖的绝对高度不变。针尖与样品表面距离随样品表面的起伏而