垂直于弦的直径.doc

新课标第一网（）-中小学教学资源共享平台垂直于弦的直径重点：垂径定理的证明和其推论的正确表述1 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2 垂径定理的推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧3 推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等难点：垂径定理的题设和结论的正确区分和应用典型例题：例1：已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：ACBD分析：作出弦心距 在大圆与小圆中分别使用垂径定理可证证明：过点O作OEAB 垂足为E则AEBE CEDE AECEBEOE即ACBD例1图 例2图例2：已知AB、CD为O的弦,且ABCD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离分析：作出O到AB的距离为弦AB的弦心距，如图ON即EM的长由已知的数据可以求出ME的长，解：作OMCD于M，ONAB于NCEED10MC5 EM2又ABCD 四边形ONEM为一矩形 ONME2cm例3：已知：O弦ABCD 求证：例3图分析：此题实际上是定理“圆中两条平行弦所夹的弧相等”的证明。首先由垂径定理得到弧等再用半圆分别减去两段弧，可证：证明：作OEAB于E 并延长OE交CD于F，交O于M、NABCD OECD 又 例4：已知：O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成13两部分,求：弦AB的长分析：连结AE，则在RtAOE中求AE，就可以得到AB的长,由已知的比例关系求出CE、ED的长，从而确定EO的长，用勾股定理可求AE解： CDAB AEEB连结OA， OA6cm又 CEED13 且CD2r12 CE3 OE3连结OA，在RtAOE中， AB例4图例5图例5：已知：AB为O的直径，CD为弦，CECD交AB于E DFCD交AB于F求证：AEBF分析：求出OEOF，可间接求证AEBF，可以作出CD弦的弦心距利用垂径定理，再用平行线等分线段定理可证证明：作OMCD于M CMMD ECCD， FDCD ECFD EOOF OAOB AEBF【同步达纲练习】1已知：ABC内接于O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交O于E、D两点，求证，1题图2已知：AB为O的直径，CD是弦，BECD于E，AFCD于F，连结OE，OF求证：OEOF CEDF2题图3在O中，弦ABEF，连结OE、OF交AB于C、D求证：ACDB3题图4已知如图等腰三角形ABC中，ABAC，半径OB5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长4题图5已知：O与O相交于P、Q，过P点作直线交O于A，交O于B使OO与AB平行求证：AB2OO5题图6已知：AB为O的直径，CD为弦，AECD于E，BFCD于F求证：ECDF6题图参考答案【同步达纲练习】1 AB为O的直径ACBC DE是BC的垂直平分线 且ACDE 2延长AF交O于G连结OGEBAAOGA连结BGBGA90BEGF又OBOG OBEOGF(SAS) OEOF MEMF作OMCD MCMD ECFD3作OMAB并延长交OM于N AMMB ABEF ONEF CMMD ACDB4连结OB BD4cm 延长DO交O于ABDDC A与A重合 ADAOOD538cm 5作OCAP于C，ODAB于D ABOOCD