《鸡兔同笼》教学案例分析.doc

借经典文化渗透数学思想-人教版五年级上册鸡兔同笼教学案例作者：叶志芳单位：武汉市东湖开发区光谷第二小学邮编：4300205案例背景：关于鸡兔同笼经典问题，在人教版新教材中四五六年级均已补充内容出现。在不同年段出现同一个内容，除了教学标准有所差异外，其间应该还有需要在各个年段均应达到的教学目标，那就是要借经典文化合理渗透数学思想。这里重点针对“极端假设”数学思想的渗透进行分析。摘要：人教版课程标准实验教科书五年级上册第129132鸡兔同笼。认识鸡兔同笼的数学趣题；尝试用不同方法解答鸡兔同笼问题，比较不同解法特点，并体会到有序列举和极端假设的数学思想。关键词：鸡兔同笼：尝试：猜测、有序、列表法、假设法、验证。一、案例过程描述一、刚才用列表法解决了本题，再看大屏幕，仔细观察表格，哪一种可能性比较特殊呢？生1：我发现第一列中鸡有8只、兔有0只很特殊，因为题目中说明既有鸡，又有兔，这里却只有鸡，所以我觉得很特殊；生2：老师，我还觉得最后一列也很特殊，这种猜测是把笼子里动物都看成了兔子，很极端！二、像这样假设全部是鸡或假设全部是兔，是一种极端的假设猜想，还真特殊。（板书：假设全部是 ）三、假设全部是鸡，该怎么解决本题呢？生1：假设全部是鸡，总腿数是82=16条，比题目中的26条腿少了10条；生2：因为1只兔比一只鸡多2条腿，所以我想如果把一些鸡换成一些兔子，那么就可以把少的腿数补回来。生3：用102=5,那么把5只鸡换成兔子，就可以补足少的10条腿，与题目中的总腿数就相符了。四、你能把刚才的想法用算术表示出来吗？学生板书：假设全部是鸡 ：82=16（条）2616=10（条）42=2（条）兔：102=5（只）鸡：85=3（只）五、他的推算过程合理吗？我们结合课件来检验一下吧。请看大屏幕，假设全身鸡，一只鸡有2条腿，8只鸡共有16条腿，比题目中的范26条腿少10条腿。我们知道1只兔比1只鸡多2条腿，所以可以把鸡换成兔来补足少的10条腿，10除以2等于5，相当于把5只鸡换成5只兔，也就是有5只兔，那么就有8-5=3只鸡。看来他的推想过程完全合理。六、再来看这个结果正确吗？生：老师，我来检验一下，5只兔共20条腿，3只鸡共6条腿，20+6=26条腿，与题目中鸡兔总腿数相符；3+5=8只，与题目中总头数也相符。所以经检验本题答案是正确的。七、这就是我们今天学习的一种新的解决问题办法-“假设法” 。（板书：“假设法”）在本题中，也可以假设全部是兔，你能用今天学校的假设法独立解决吗？试试看。二、案例评析和反思一、教学设计一：刚才用列表法解决了本题，再看大屏幕，仔细观察表格，哪一种可能性比较特殊呢？学生展示：生1：我发现第一列中鸡有8只、兔有0只很特殊，因为题目中说明既有鸡，又有兔，这里却只有鸡，所以我觉得很特殊；生2：老师，我还觉得最后一列也很特殊，这种猜测是把笼子里动物都看成了兔子，很极端！设计意图：小结前面的活动内容，既归纳出解决问题的办法，也为下面进一步探究提供学生思维的基础、找到深入探究的依托-回顾尝试猜测、调整、有序列表的过程，引导学生体会到探究解决问题策略的一般过程和思维方向，即逐步向规范、合理、简洁、高效的方向努力，从而寻找到解决问题的一般策略。二、教学设计二：像这样假设全部是鸡或假设全部是兔，是一种极端的假设猜想，还真特殊。板书：假设全部是鸡。设计意图：从学生观察到的特殊情况分析中，老师及时肯定学生的分析，然后自然地提炼出其中蕴含的数学思想，学生容易理解和接受。老师在课堂上注重渗透思想方法，关注学习过程，为学生的发展奠定了基础。三、教学设计三：假设全部是鸡，该怎么解决本题呢？先独立思考，再交流交流自己的想法。学生展示：生1：假设全部是鸡，总腿数是82=16条，比题目中的26条腿少了10条；生2：因为1只兔比一只鸡多2条腿，所以我想如果把一些鸡换成一些兔子，那么就可以把少的腿数补回来。生3：用102=5,那么把5只鸡换成兔子，就可以补足少的10条腿，与题目中的总腿数就相符了。设计意图：在前面尝试猜测和分析表格中数据特点的过程中，学生对鸡兔只数变化引起鸡兔总腿数变化的规律已经有了一定的了解，于是这里的教学设计中、充分尊重学生的知识和能力基础，把问题交给学生，提高学生的解决、分析问题能力。也是给学生提供思考、展示的空间。让学生经历、体会到探究过程的快乐！同时学习是一个教学相长的过程，孩子们在彼此交流中共同学习、分解思维难度，激发思维。事实上孩子们的分析也是逐层深入和有效的，而且这个过程也是轻松、快乐的！）四、教学设计四：你能把刚才的想法用算术表示出来吗？学生展示：学生板书：假设全部是鸡 ：82=16（条）2616=10（条）42=2（条）兔：102=5（只）鸡：85=3（只）设计意图：在前面轻松、快乐地交流后，学生已经顺利理解了本题的解决办法。知识的获取过程可以像这样在交流中相互学习，但知识的掌握终需自己静静地思考来内化。于是安排了将数学思维用数学算式表达出来的过程，让“数学表达能力” 和“数学思维能力”同步，也为孩子们展现“极端的假设猜想”提供数学模型！五、教学设计五：他的推算过程合理吗？我们结合课件来检验一下吧。请看大屏幕，假设全身鸡，一只鸡有2条腿，8只鸡共有16条腿，比题目中的范26条腿少10条腿。我们知道1只兔比1只鸡多2条腿，所以可以把鸡换成兔来补足少的10条腿，102=5，相当于把5只鸡换成5只兔，也就是有5只兔，那么就有8-5=3只鸡。看来他的推想过程完全合理。设计意图：学生对于极端猜测的假设法容易掌握解题模型，但是对每个算式含义的理解还是有一定的难度，通过检验推理过程的方法，借助课件的直观演示，给学生的抽象思维提供形象的演示过程。帮助学生理解每个算式的含义，对于个别学生难易理解的算式，通过课件请学生复述来强化理解！比如 “4-2”表示两种个体间相差的数量；102=5表示的是把5只鸡换成5只兔，从而共补足少的10条腿。在这个过程中，学生能进一步理解！六、教学设计六：再来看这个结果正确吗？学生展示：生：老师，我来检验一下，5只兔共20条腿，3只鸡共6条腿，20+6=26条腿，与题目中鸡兔总腿数相符；3+5=8只，与题目中总头数也相符。所以经检验本题答案是正确的。设计意图：针对学生比较浮躁的学习现状，引导学生通过检验的过程来反思自己的思考过程和答案，是一种重要的数学学习和思考习惯！七：教学设计七：这就是我们今天学习的一种新的解决问题办法-从特殊情况进行极端假设的“假设法” 。（板书：“假设法”）。在本题中，也可以假设全部是兔，你能用今天学校的假设法独立解决吗？试试看。设计意图：对本部分教学内容进行小结和提炼，既归纳出解决问题的方法，又渗透了“极端情况”下解决问题的策略和数学思想。同时也学生留下巩固的练习。三、附整个课时的教学设计教学内容：人教版课程标准实验教科书五年级上册第129132页内容。教学目标：1、了解“鸡兔同笼”问题，尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，并使学生体会假设法的一般性。2、培养学生的合作意识，在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力,感受到数学思想方法的运用与解决实际问题的联系。3、感受古代数学问题的趣味性，受到祖国优秀数学文化的熏陶和感染。教学重点： 用假设法来解决鸡兔同笼问题。教学难点：如何让绝大部份孩子理解、掌握用假设法来解决这一相关问题。教学过程：一、创设情境，引出问题 ：1、揭示课题：师：中华民族有上下五千年的文明史，今天我们一同走进数学著作孙子算经，借“鸡兔同笼”问题的探究，来感悟奇妙的数学思维和经典的数学思想。请看大屏幕。2、出示原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 师：（师领读“今有雉兔同笼”，生齐读。）这里的“雉”就是鸡。你能说说这道题是什么意思吗？ 出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各几只？ 3、这里“有35个头，94只脚”，数据较大，你有什么好办法调整一下，让我们研究更轻松吗？师：是的，为了便于研究，可以先从数据较小的问题人手。老师事先也做了这样的调整。请看大屏幕。二、自主探索，解决问题，感悟数学思想：（一）尝试猜想、图表法1、出示并自由读：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？ 2、理解题意：（1）从题目中，你获取了哪些数学信息？这些信息间有什么关系呢？（板书：鸡的只数+兔的只数=总只数8只 鸡的总腿数+兔的总腿数=26条） （2）此外你还知道哪些信息？（鸡有2条腿；兔有4条腿。）（老师用简笔画图示。）3、尝试猜想、列表 ： （1）师：根据刚才分析，你认为鸡、兔可能各有几只？你的猜测有什么依据？（预设：根据“有8个头”来猜。）（2）还有其他可能吗？（引导生再猜，老师板书完成表格。）（3）师：为了便于分析，我把你们的猜测用表格形式记录下来了，你能看出这个表格是按什么顺序记的吗？（可以说是按照鸡的只数逐渐减少的，也可以说是按照兔的只数逐渐增加的顺序）像这样记好吗？好在哪？（像这样有序思考，既快又避免遗漏或重复）师：像这样有序思考，是一种良好的数学素养，希望同学们能逐步养成哦！（3）师： 根据“有8个头”的猜测，能找到本题的答案吗？（不能）怎么办？（ 还要根据鸡兔共有的脚数来判断。）怎样求呢？（学生思考片刻后请2个学生分别口述“鸡8只、兔0只”和“鸡7只、兔1只”计算过程。）照此求法，你能快速算出鸡兔共有的腿数吗？（手指表格）（给学生一定时间完成）有结果了请举手示意。（4）老师请学生按顺序汇报，填写，其他人观察判断是否正确。（师引导学生这样说：假如有8只鸡，0只兔，则共有）（5）你能从表格中找到本题的正确答案吗？（可以，鸡有3只、兔有5只。）鸡876543210兔012345678脚1618202224262830324、小结：通过不断的尝试、猜测，终于解决了本题；用这种尝试法能解决孙子算经中的问题吗？（课件呈现题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各几只？）。合适吗？为什么？（二）极限猜想假设法 ：1、初步感悟规律。师：看来，还需要探究一般性的解决办法。（课件呈现：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？）师：刚才填空时（手指表格），你们轻松地就算出鸡兔共有的腿数，有什么窍门吗？（预设 生1：我发现每增加一只兔、减少一只鸡，总腿数就增加两只；生2：我发现每增加一只鸡、减少一只兔，总腿数就减少两只）师：大家的发现就是智慧的火花，我们就从这些规律中进一步探究。2、深入探究假设法。师：观察所有可能性（手指表格），你认为哪种情况比较特殊？分析这种特殊情况，你能很快找到正确答案吗？怎样找到的呢？2、观察第一列，问：8和0是什么意思？（假设笼子里全是鸡）这样共有几只脚？（用箭头指向对应列）这样少算了多少只脚？把谁的脚少算了？每只兔少算了几只脚？有几只兔呢？也就是说少算了的脚的只数除以每只兔少算的2只就得到兔的只数，对吧？那又有几只鸡呢？ 师：你能把我们刚才说的过程用算式表示出来吗？（学生列式，指名板演）引导学生检验。 图示，加深理解。3、观察第九列，问：0和8又是什么意思呢？（假设笼子里全是兔）这样共有 几只脚呢？这样多算了几只脚？把谁的脚多算了？每只鸡多算了几只脚？有几只鸡呢？是怎么求出来的呢？那又有几只兔呢？你能根据这种假设列出算式吗？（学生列式，指名板演） 图示，加深理解。 4、师：刚才用到的解法，就是在尝试猜测基础上从极限情况进行分析的“假设法”。（板书：“假设法”）（三）巩固运用：你会用假设法解决孙子算经这道题吗？（课件呈现题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各几只？）1、学生独立完成；2、小组交流，请生板书后全班交流。3、师：想知道古人在解答这道题时是怎么做的吗？（让学生看课本第131页的“阅读资料”，了解“抬脚法”。） 三、课堂小结交流，归纳方法 ：师：今天我们解决了一个什么问题？刚才我们在解决“鸡兔同笼”的问题时，用到了哪些方法？比较这些方法，你喜欢用哪种方法？为什么？你认为哪种方法一般都能适用？ 师小结：解决这类问题的方法很多，用猜测、列表法可以解决问题，但当数据较大时，过程就很繁琐了。假设法和代数法具有一般性，不管是数据较大时或数据较小时都可用到这两种方法。 四、汇报交流，总结归纳：通过本课的学习，你有什么收获？你有什么体会？ 五、推广应用，形成技能：1、你知道生活中哪些地方用到过鸡兔同笼问题？师：生活中像“鸡兔同笼”的情况是很多的，我们重在掌握其中的数学思想、方法来帮助我们解决类似的问题。 2、课堂巩固练习。（1）孙子算经中的“