2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题.doc

2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题一、 填空题（共10小题，每题6分，满分60分）1、已知集合满足条件：，则符合条件的集合共有 个。2、已知，则 3、已知符号函数，则函数的零点有 个。4、已知直四棱柱各棱长均为3，。长为2的线段的一个端点在上运动，另一个端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面围成的几何体的体积为 5、连接球面上两点的线段称为球的弦。半径为的球的两条弦、的长度分别等于、，、分别为弦、的中点，则的取值范围是 。6、已知平面直角坐标系中：、，一束光线从点出发射到直线上的点经直线反射后，再经直线反射，两次反射后落到线段上（不含端点），则直线斜率的范围是 。7、函数的值域是 。8、已知函数是定义在实数集上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。9、（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）（必修3）若，的方差是，、是常数，则，的标准差是 。（必修4）如图所示，在直角梯形中，动点在内运动（含边界），设（、），则的取值范围是 。10、已知集合。将中的自然数元素从小到大排列为：，。若，则正整数 。二、 （本题满分20分）如图2所示，圆为的外接圆，且，延长到，使，为的平分线与的交点，圆为的外接圆，为两圆的另外一个交点。证明：（1）、三点共线（2）三、 （本题满分20分）已知、，且。考察在平面直角坐标系的直线系：（1） 若点到中的任一条直线的距离都是定值，求点的坐标及的值（2） 若直线系中至多有一条直线经过点，求点的轨迹方程。四、 （本题满分20分）（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）（必修3）已知对任意的实数，都有（1） 长度为1的木棍任意的折成两段，较长的一段再随机折成两段，求所得的三段小木棍能组成三角形的概率；（2） 证明：，其中为（1）中所求的概率。（必修4）已知函数（1） 判断的奇偶性（2） 若仅有一个实数解，求的值五、 （本题满分20分）已知两条直线：和：，与函数的图像从左至右相交于点、，与函数的图像从左至右相交于点、。记线段和在轴上的投影长度分别为、。记、四点的横坐标分别为、。（1） 证明：；（2） 求的最小值2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题答案一、 填空题1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、7、； 8、； 9、（必修3）；（必修4）； 10、二、 证明：（1）延长交圆与，连接。由平分，结合，故，而，四点共圆因此也是两圆的交点，从而和重合，即， ，共线。（2）由，共线，平分，由对称性得出，故，因此为等腰三角形，由于为其外心，故即三、 （1）由点到直线的距离公式得：因是常数，故，即，从而（2）由（1）知，到直线系中任一条直线的距离都是，因此直线系中每一条直线都是以为圆心，以为半径的圆（圆）的切线由平面几何知识，圆内的每一点都不被其切线经过，圆上的每一点只能作出一条切线，而圆外的每一点均能作出该圆的两条切线，故点的轨迹是圆及其内部，即四、 （必修3）解：设较长的一段长度为，将分成的两段长为，若长度为，的三段能构成三角形，则，画出图形计算出（2）由以上各式相加得：，即（必修4）（1）注意到函数的定义域是，故为偶函数（2）由于仅有一个实数解，且,故其有唯一解或（i）当时，原方程化为，仅有一个解，符合题意（i