高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 习题课1 椭圆方程及性质的综合应用课件 北师大版选修21.ppt

习题课 椭圆方程及性质的综合应用 一 二 一 焦点三角形问题 3 求解焦点三角形问题时 通常要利用椭圆的定义并结合正弦定理 余弦定理等知识进行求解 一 二 二 直线与椭圆的位置关系1 直线与椭圆一共有三种位置关系 相交 相切 相离 2 判断直线与椭圆位置关系的方法 将直线方程ax by c 0与椭圆方程 a b 0 联立 消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程 记该方程的判别式为 那么 若 0 则直线与椭圆相交 若 0 则直线与椭圆相切 若 0 则直线与椭圆相离 一 二 解析 由已知得a 2 b c 1 所以 mf1f2的周长等于2a 2c 4 2 6 答案 b 一 二 做一做2 已知两定点f1 1 0 f2 1 0 且 f1f2 是 pf1 与 pf2 的等差中项 则动点p的轨迹方程是 解析 因为 f1f2 是 pf1 与 pf2 的等差中项 所以 pf1 pf2 2 f1f2 4 f1f2 点p的轨迹是以f1 f2为焦点的椭圆 这里c 1 a 2 故轨迹方程为 1 答案 c 一 二 做一做3 直线y 3x 1与椭圆 1的公共点的个数是 a 0b 1c 2d 无数个 得11x2 6x 7 0 所以 0 故直线与椭圆相交 有2个公共点 答案 c 一 二 做一做4 已知斜率为1的直线l过椭圆 y2 1的右焦点 交椭圆于a b两点 则弦ab的长度等于 探究一 探究二 思想方法 与椭圆有关的轨迹问题 例1 已知两圆c1 x 4 2 y2 9 c2 x 4 2 y2 169 动圆p与c1外切 与c2内切 求圆心p的轨迹 思维点拨 根据动圆与圆c1 c2的位置关系 得到动圆圆心p满足的条件 即p与圆c1 c2的圆心的距离的和等于常数 从而结合椭圆的定义得出轨迹为椭圆 进而求出轨迹方程 探究一 探究二 思想方法 解 由条件 两圆半径分别是3和13 消去r 得 pc1 pc2 16 即点p到两定点c1 c2的距离之和为定值16 又16 c1c2 8 所以点p的轨迹是椭圆 探究一 探究二 思想方法 反思感悟解决轨迹问题时 如果在题目的条件中 出现了定点 m 0 m 0 或 0 m 0 m 当然也可以是某定圆的圆心 时 就要重点考察动点所满足的条件 特别是考察动点到两个定点的距离之和是否是一个定值 如果是一个定值 并且这个定值大于两个定点之间的距离 那么动点的轨迹就是椭圆 或椭圆的一部分 探究一 探究二 思想方法 变式训练1设a 2 0 b 2 0 abc的周长为10 则动点c的轨迹方程为 解析 由 abc的周长为10 ab 4知 cb ca 6 ab 4 根据椭圆的定义知 顶点c是在以a b为焦点的椭圆上 且2a 6 c 2 所以b2 a2 c2 5 又因为a b c三点构成三角形 所以点c不能在x轴上 探究一 探究二 思想方法 直线与椭圆的位置关系问题 例2 已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m 1 当直线和椭圆有公共点时 求实数m的取值范围 2 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 思维点拨 1 将直线方程与椭圆方程联立 根据判别式 的符号 建立关于m的不等式求解 2 利用弦长公式建立关于m的函数关系式 通过函数的最值求得m的值 从而得到直线方程 探究一 探究二 思想方法 2 设直线与椭圆交于点a x1 y1 b x2 y2 由 1 知 5x2 2mx m2 1 0 当m 0时 d最大 此时直线方程为y x 探究一 探究二 思想方法 反思感悟解决直线与椭圆的位置关系问题 一般采用代数法 即将直线方程与椭圆方程联立 通过判别式 的符号决定位置关系 同时涉及弦长问题时 往往采用设而不求的办法 即设出弦端点的坐标 利用一元二次方程根与系数的关系 结合弦长公式进行求解 探究一 探究二 思想方法 变式训练2已知椭圆c的焦点分别为f1 2 0 f2 2 0 长轴长为6 设直线y x 2交椭圆c于a b两点 1 求线段ab的中点坐标 2 求 oab的面积 因为该一元二次方程的 0 所以点a b不同 设a x1 y1 b x2 y2 则 探究一 探究二 思想方法 探究一 探究二 思想方法 函数与方程思想 椭圆中的最值问题 典例 如图 点a b分别是椭圆 1长轴的左 右端点 点f是椭圆的右焦点 点p在椭圆上 且位于x轴上方 pa pf 1 求点p的坐标 2 设m是椭圆长轴ab上的一点 m到直线ap的距离等于 mb 求椭圆上的点到点m的距离d的最小值 分析 1 设出点p坐标 然后根据点p在椭圆上以及pa pf 建立方程组求解 2 根据两点间的距离公式 将椭圆上的点到点m的距离d表示为点的坐标的函数 借助函数方法求得最值 探究一 探究二 思想方法 解 1 由已知可得a 6 0 f 4 0 设点p的坐标是 x y 探究一 探究二 思想方法 又 6 m 6 解得m 2 设椭圆上的点 x y 到点m的距离为d 探究一 探究二 思想方法 方法点睛与椭圆有关的最值问题均具有较强的综合性 涉及数学知识的多种知识点 如几何 三角 函数等 亦与椭圆的定义 方程紧密联系 解决此类问题可利用函数最值的探求方法 将其转化为函数的最值问题来处理 另外应充分注意椭圆中x y的范围 常可化为闭区间上的二次函数的最值来求解 探究一 探究二 思想方法 1 求椭圆c的标准方程 探究一 探究二 思想方法 12345 答案 c 12345 答案 b 12345 3 若点o和点f分别为椭圆 y2 1的中心和左焦点 点p为椭圆上的任意一点 则 op 2 pf 2的最小值为 a 1b 2c 3d 4 解析 依题意可得f 1 0 设p x y 则 op 2 pf 2 x2 y2 x 1 2 y2 2x2 2x 1 2y2 因为 y2 1 所以 op 2 pf 2 x2 2x 3 x 1 2 2 故当x 1时 op 2 pf 2的最小值等于2 答案 b 12345 的内切圆周长为 a b两点的