高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4 曲线与方程 3.4.1 曲线与方程课件 北师大版选修21.ppt

3 4 1曲线与方程 一 二 思考辨析 一 曲线与方程一般地 在平面直角坐标系中 如果某曲线c 看作满足某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 那么 这条曲线叫作方程的曲线 这个方程叫作曲线的方程 名师点拨 曲线的方程 和 方程的曲线 的概念中包含了双重性 即纯粹性和完备性 所谓纯粹性 即曲线上点的坐标都是这个方程的解 所以要剔除曲线上不合题意的点 所谓完备性 即以方程的解为坐标的点都在曲线上 所以对方程进行变形时要注意等价变形 防止漏解 一 二 思考辨析 表示的是不在直线x y 1 0的左下方且在圆x2 y2 4上的部分 表示的是直线x y 1 0 因此结合各选项可知c正确 答案 c 一 二 思考辨析 二 点在曲线上的充要条件如果曲线c的方程是f x y 0 那么点p x0 y0 在曲线c上的充要条件是f x0 y0 0 做一做2 求证 以坐标原点为圆心 以5为半径的圆的方程是x2 y2 25 并判断点m1 3 4 m2 3 2 是否在这个圆上 由 1 2 可知 方程x2 y2 25是以坐标原点为圆心 半径等于5的圆的方程 分别将m1 3 4 m2 3 2 代入圆的方程检验可知 点m1在圆上 m2不在圆上 一 二 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 若以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线c上 则方程f x y 0即为曲线c的方程 2 若曲线c上的点满足方程f x y 0 则坐标不满足方程f x y 0的点不在曲线c上 3 方程x y 2 0是以a 2 0 b 0 2 为端点的线段的方程 4 在求曲线方程时 对于同一条曲线 坐标系的建立不同 所得到的曲线方程也不一样 5 化简方程 x y 为 y x 是恒等变形 6 按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验 探究一 探究二 探究三 曲线与方程的概念 例1 1 若命题 曲线c上的点的坐标都是方程f x y 0的解 是正确的 则下列命题正确的是 a 方程f x y 0的曲线是cb 方程f x y 0的曲线不一定是cc 方程f x y 0是曲线c的方程d 以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线c上 2 设方程f x y 0的解集非空 如果命题 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线c上 是不正确的 那么下列命题正确的是 a 坐标满足方程f x y 0的点都不在曲线c上b 曲线c上的点的坐标都不满足方程f x y 0c 坐标满足方程f x y 0的点有些在曲线c上 有些不在曲线c上d 一定有不在曲线c上的点 其坐标满足f x y 0 探究一 探究二 探究三 解析 1 本题重在考查曲线和方程的定义 只有正确地理解曲线与方程的定义 才能准确作答 易知a c d错误 2 本题考查命题形式的等价转换 所给语句不正确 即 坐标满足方程f x y 0的点不都在曲线c上 是正确的 不都在 包括 都不在 和 有的在 有的不在 两种情况 故a c错 b显然错 答案 1 b 2 d反思感悟判断曲线和方程的对应关系 必须注意两点 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 即直观地说 点不比解多 称为纯粹性 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 即直观地说 解不比点多 称为完备性 只有点和解一一对应 才能说曲线是方程的曲线 方程是曲线的方程 探究一 探究二 探究三 变式训练1判断下列命题是否正确 并说明理由 1 过点a 3 0 且垂直于x轴的直线的方程为x 3 2 abc的顶点a 0 3 b 1 0 c 1 0 d为bc中点 则中线ad的方程为x 0 解 1 正确 满足曲线方程的定义 故结论正确 2 错误 因为中线ad是一条线段 而不是直线 所以其方程应为x 0 3 y 0 故结论错误 3 错误 由方程可得x2 y2 4或x y 1 0 x2 y2 4 所以该方程表示的是一个圆或两条射线 探究一 探究二 探究三 判断 或证明 方程是曲线的方程 例2 证明 圆心为p a b 半径等于r的圆的方程是 x a 2 y b 2 r2 综上可知 x a 2 y b 2 r2是圆心为p a b 半径等于r的圆的方程 反思感悟证明方程的曲线或曲线的方程须证明两点 1 曲线上的坐标都是方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 探究一 探究二 探究三 变式训练2证明以点c 0 3 为圆心 以2为半径的圆的方程为x2 y 3 2 4 并判断点m 4 n 1 3 p 0 1 q 1 0 是否在圆上 证明 设m x0 y0 是圆上的任一点 则 m c 2 故点m x0 y0 到c点的距离等于2 即点m 在以c为圆心 2为半径的圆上 综上可知 以点c 0 3 为圆心 2为半径的圆的方程为x2 y 3 2 4 探究一 探究二 探究三 把点m的坐标代入方程x2 y 3 2 4 左右两边相等 即 4 是方程的解 所以点m在这个圆上 同理可判断点n 点p在圆上 而点q 1 0 不在这个圆上 探究一 探究二 探究三 求曲线的方程 例3 设圆c x 1 2 y2 1 过原点o作圆的任意弦 求所作弦的中点的轨迹方程 解法一 直接法 设oq为过o的一条弦 p x y 为其中点 由圆的范围知0 x 1 探究一 探究二 探究三 解法二 定义法 opc 90 解法三 代入法 2x 1 2 2y 2 1 0 x 1 探究一 探究二 探究三 解法四 参数法 设动弦oq的方程为y kx 代入圆方程得 x 1 2 k2x2 1 即 1 k2 x2 2x 0 探究一 探究二 探究三 反思感悟求动点的轨迹方程主要方法有直接法 定义法 代入法 待定系数法 参数法等 1 直接法 建立平面直角坐标系 把动点满足的几何条件转化为x y间的关系 即得轨迹方程 2 定义法 当已知条件适合圆锥曲线的定义时 可直接写出方程 3 代入法 若动点p x y 依赖于已知曲线上另一个点q x y 而运动时 可用x y来表示x y 再代入已知曲线方程 即可求出轨迹方程 4 待定系数法 若由题设条件易于确定方程的类型 可先设出方程 再由条件确定方程中的参数 即 先定型 再定量 5 参数法 当直接建立x y间的关系较困难时 可通过选适当的参数 找出x y间的间接关系 即参数方程 然后消去参数化为普通方程 探究一 探究二 探究三 变式训练3已知动点m到点a 2 0 的距离是它到点b 8 0 的距离的一半 求 1 动点m的轨迹方程 2 若n为线段am的中点 试求点n的轨迹 解 1 设动点m的坐标为 x y 则由两点间距离公式及题意易得 整理 得x2 y2 16 即为动点m的轨迹方程 探究一 探究二 探究三 2 设动点n的坐标为 x y m的坐标是 x1 y1 由a 2 0 且n为线段am的中点 所以有x1 2x 2 y1 2y 由 1 知m是圆x2 y2 16上的点 将 代入 并整理 得 x 1 2 y2 4 所以n的轨迹是以 1 0 为圆心 2为半径的圆 12345 1 已知定点a 1 0 b 1 0 动点p满足直线pa pb的斜率之积为 1 则动点p满足的方程是 答案 b 12345 2 一条线段长为10 两端点a b分别在x轴和y轴上滑动 m点在线 a x2 16y2 64b 16x2 y2 64c x2 16y2 8d 16x2 y2 8 整理得16x2 y2 64 答案 b 12345 3 由动点p向圆x2 y2 1引两条切线pa pb 切点分别为a b apb 60 则动点p满足的方程为 解析 设p x y 圆x2 y2 1的圆心为o apb 60 圆o的半径为1 op 2 x2 y2 4 答案 x2 y2 4 12345 4 设p为双曲线 y2 1上一动点 o为坐标原点 m为线段op的中点 则点m的轨迹方程是 答案 x