集合中元素的个数.ppt

阅读材料集合中元素的个数 例1学校先举办了一次田径运动会 某班有8名同学参赛 又举办了一次球类运动会 这个班有12名同学参赛 两次运动会都参赛的有3人 两次运动会中 这个班共有多少名同学参赛 分析 设A为田径运动会参赛的学生的集合 B为球类运动会参赛的学生的集合 那么A B就是两次运动会都参赛的学生的集合 试分析A B A B A B中元素个数的关系 解 设A 田径运动会参赛的学生 B 球类运动会参赛的学生 那么 A B 两次运动会都参赛的学生 A B 参赛的学生 card A B card A card B card A B 8 12 3 17 答 两次运动会中 这个班共有17名同学参赛 用图来求解 例2 某班学生参加数学课外小组的人数是参加物理课外小组的人数的2倍 同时参加两个课外小组的人数是5人 至少参加一个课外活动小组的人数为25人 试求参加数学小组 物理小组的人数各是多少 参加数学小组20人 参加物理小组10人 card A B card A card B card A B 即25 2x x 5x 10 card A B card A card B card A B 能否推广 试写出三个集合类似公式 例3 某校高三学生共249人 毕业考试成绩优秀的人数及科目如下表 表中 两科优秀者包括里包括三科全优者 单科优秀者里也包括两科以上的优秀者 有人说上面的统计表有误 你认为呢 由统计表计算高三年级共有131 117 152 61 79 62 53 251 人 所以统计表有误 例4 在100个学生中 有美术爱好者63人 音乐爱好者75人 并非每个学生都有爱好 对美术和音乐都爱好的学生最多有多少人 最少有多少人 最多63人 最少38人 问题的提出 无限集中元素的个数 是不是所有的无限集都有相同的个数呢 1 无限 1 初识无限 2 在有限集中 如何比较元素个数的多少 理解无限的关键 一一对应 3 无限集中元素的个数 基数与此相关的一个定义 若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应 则称这个集合是可数的 4 几个令人吃惊的例子 全体正整数和全体有理数一样多吗 全体正整数和全体整数一样多吗 部分 整体 5 问题的提出是不是所有的无限集都有相同的基数呢 康托在1973年11月29日给戴德金的信中提出 11月29日 12月7日 康托给无限的理论奠定了基础 他创造了一种适用于无限集的新数体系 超限数 以解决无限集的基数比较问题 实数集 0 1 是不可数的 无理数集是不可数的 有理数集可数 是不是还存在数量上多于实数集的集合呢 实数集是不可数的 实数 一直线上的点 平面上的点及高维空间的任一部分的点的基数 若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应 则称这个集合是可数的 数学中的无穷无尽 其诱人之处在于它的最棘手的悖论能够盛开出美丽的理论之花 E KasnerandJ Newman 集合论危机重重 2 罗素悖论 大多数集合不包含它自身为元素 这样的集我们称之为 普通的 有许多集可能包含它自身为元素 例如集S定义如下 凡是可以用不超过三十个字来定义的集合是S的元素 可以看到 S是包含它自身为一元素的 这样的集我们称之为 非普通集 我们考查 所有普通集组成的集 称它为C 那么C本身是普通集还是非普通集 如果C是普通集 由于C定义为包含所有普通集 它包含了它本身作为一个元素 这样的话 C必须是非普通集 这是一个矛盾 因此C必须是非普通集 但这时C包含了一个非普通集 即C本身 为其元素 这与C只包含普通集的定义相矛盾 因此 无论那一种情形 仅仅是C的存在 就已经使我们陷入矛盾 罗素的理发师悖论 其他一些悖论 1 芝诺悖论1 二分法悖论2 阿基里斯和乌龟 代数悖论 数理逻辑诞生 数理逻辑这门学科在第三次数学危机运动的过程中诞生 在十七世纪 算术因符号化促使了代数学的产生 代数使计算变得精确和方便 也使计算方法系统化 费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化 大大扩展了几何的领域 而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤 这反映了代数学作为普遍科学方法的效力 于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化 与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质 不过他并没有系统地发展这种思想 现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹 他的目的是选出一种 通用代数 其中把一切推理都化归为计算 实际上这正是数理逻辑的总纲领 他希望建立一套普遍的符号语言 这样就可以象数字一样进行演算 他的确将某些命题形式表达为符号形式 但他的工作只是一个开头 大部分没有发表 因此影响不大 真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔 他在1847年出版了 逻辑的数学分析 给出了现代所谓的 布尔代数 的原型 布尔确信符号化会使逻辑变得严密 他的对象是事物的类 1表示全类 0表示空类 xy表示x和y的共同分子所组成的类 运算是逻辑乘法 x y表示x和y两类所合成的类 运算是逻辑加法 布尔看出类的演算也可解释为命题的演算 当x y不是类而是命题 则x 1表示的是命题x为真 x 0表示命题x为假 1 x表示x的否定等等 显然布尔的演算构成一个代数系统 遵守着某些规律 这就是布尔代数 非数值运算的推广 集合运算 语句运算 康托的最大基数悖论 布拉里 福蒂悖论 罗素悖论 动摇了整个数学的基础 给数学提供一个可靠的基础