高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.1 数乘向量课件 北师大版必修4(1).ppt

2 3 1数乘向量 1 通过实例 掌握数乘向量的定义 并理解其几何意义 2 了解向量的线性运算及其几何意义 3 了解向量共线的判定定理和性质定理 并能灵活运用 1 2 3 1 向量的数乘 1 定义 一般地 实数 与向量a的积是一个向量 这种运算叫作向量的数乘 记作 a 2 规定 a a 当 0时 a的方向与a的方向相同 当 0时 a的方向与a的方向相反 当 0时 a 0 方向任意 名师点拨1 实数与向量可以进行数乘运算 但不能进行加减运算 如 a a无法运算 3 a 0 0或a 0 1 2 3 3 几何意义 将表示向量a的有向线段伸长或缩短 当 1时 表示向量a的有向线段在原方向 0 或反方向 0 或反方向 0 上缩短为原来的 1 2 3 a 0b 1c 2d 2答案 c 答案 2 1 2 3 2 向量数乘的运算律设a b为向量 为实数 向量的数乘运算满足下列运算律 1 a a 2 a a a 3 a b a b 1 2 3 做一做2 1 下列叙述中不正确的是 a a a r b a a a r c a b a b r d a和a的方向与 无关 r 解析 当 0时 a与a的方向相同 当 0时 a与a的方向相反 当 0时 a 0 方向任意 答案 d 1 2 3 做一做2 2 有下列四个命题 对于实数m和向量a b 恒有m a b ma mb 对于实数m n和向量a 恒有 m n a ma na 若ma mb m r 则有a b 若ma na m n r 则m n 其中正确命题的序号为 解析 由向量数乘的运算规律知 命题 正确 命题 当m 0时也成立 故 错误 命题 当a 0时也成立 故 错误 答案 1 2 3 3 向量共线的定理 1 判定定理 a是一个非零向量 若存在一个实数 使得b a 则向量b与非零向量a共线 2 性质定理 若向量b与非零向量a共线 则存在一个实数 使得b a 1 2 3 名师点拨1 向量共线的条件 当向量a 0时 a与任一向量b共线 当向量a 0时 对于向量b 如果有一个实数 使得b a 那么由实数与向量的积的定义知b与a共线 反之 已知向量b与a a 0 共线 且向量b的长度是向量a的长度的 倍 即 b a 那么当b与a同方向时 b a 当b与a反方向时 b a 3 如果向量a与b不共线 且 a b 那么 0 1 2 3 做一做3 1 已知向量a e1 2e2 b 2e1 e2 则a 2b与2a b a 一定共线b 一定不共线c 仅当e1与e2共线时共线d 仅当e1 e2时共线解析 由a 2b 5e1 2a b 5e2可知 当且仅当e1与e2共线时 a 2b与2a b共线 答案 c 做一做3 2 已知向量a 2e1 3e2 b e1 2e2 其中e1和e2是不共线向量 且ma b与a 2b平行 则实数m 解析 ma b 2m 1 e1 3m 2 e2 a 2b 4e1 e2 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 已知a b为两个非零向量 试判断下列说法的正误 并说明理由 1 2a与a的方向相同 且2a的模是a的模的2倍 3 2a与2a是一对相反向量 4 a b与 b a 是一对相反向量 分析 对于数乘向量的运算 要把握好方向 任意实数 与任意向量a的乘积 a仍是向量 另外 弄清楚数乘向量的模之间的关系是判断本题的关键 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 正确 2 0 2a与a的方向相同 且 2a 2 a 2 正确 5 0 5a与a的方向相同 且 5a 5 a 而 2 0 2a与a的方向相反 且 2a 2 a 3 正确 根据相反向量的定义可以判断 4 错误 b a 与b a是一对相反向量 而a b与b a是一对相反向量 a b与 b a 为相等向量 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解决此类问题时 首先要意识到数乘向量的结果仍是向量 然后要明确判断两个向量的关系 应从两个方面入手 一是方向 二是长度 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 已知 r 且a 0 则在以下各命题中 正确命题的个数为 当 0时 a与a的方向一定相同 当 0时 a与a是共线向量 当 0时 a与 a的方向一定相同 当 0可得 同为正或同为负 所以 a和 a或者都与a同向 或者都与a反向 所以 a和 a是同向的 所以 正确 对于 由 0可得 异号 所以 a和 a是反向的 所以 是正确的 故选d 答案 d 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 利用向量的加法 减法及向量的数乘运算法则 运算律计算 题型一 题型二 题型三 题型四 反思数乘向量的运算律在形式上与实数的加 减法与乘法满足的运算律类似 当然向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的 因此 在实数运算中的去括号 移项 合并同类项等变形技巧在向量的线性运算中都可以使用 在去括号时 要注意符号的变化 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 计算 1 7 6a 2 4 a b 3 a b 8a 解 1 7 6a 7 6 a 42a 2 4 a b 3 a b 8a 4a 4b 3a 3b 8a 4a 3a 8a 4b 3b 7a 7b 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 2 解 ka b与a kb共线 且a kb 0 存在实数 使ka b a kb 即ka b a kb k a k 1 b a b是不共线的两个非零向量 k k 1 0 k2 1 0 k 1 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两个向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 2 要注意当两个向量共线时 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量 要注意待定系数法的运用和方程思想的运用 题型一 题型二 题型三 题型四 2 解 a与b是共线向量 且b 0 a b 2e1 e2 ke1 e2 2 k e1 1 e2 0 又e1 e2不共线 2 k 0 1 0 k 2 故实数k的值为 2 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点未正确理解向量共线定理而致误 例4 判断向量a 2e b 4e是否共线 错解 a 2e b 4e b 2a 存在实数 2 使b 2a a与b共线 错因分析 上述解法不全面 出现这种情况的原因是对向量共线的判定定理理解不透彻 忽略了对e的讨论 正解 当e 0时 a 0 b 0 a与b共线 当e 0时 b 2a 存在唯一的实数 2 使b 2a a与b共线 综上所述 a与b共线 1