变分迭代法求解积分微分方程.pdf

第 18 卷第 2 期 江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报 JOURNAL OF JIANGSU TEACHERS UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Vol 18 No 2 Apr 20122012 年 4 月 0引言 1978 年 Inokcuti 提出了求解非线性方程的广义拉氏乘子法 1 He 对该方法作了改进 2 3 并发展成为 一种新的非线性分析方法 变分迭代法 这种方法可以有效地解决各种线性 非线性和具有初值 边界 值条件的问题 是一种有效地 逐步提高近似解精度的方法 近年来 变分迭代法已被广泛地应用到各种微分方程问题中 如 高阶边界值问题 4 5 发展型方 程 6 7 时滞微分方程 8 积分微分方程 9 10 用该方法求解积分微分方程近似解比较常见 但对于求解积分微 分方程的精确解目前研究较少 本文用三个例子具体讨论了如何用变分迭代法求解一类积分微分方程的 精确解 1变分迭代法 为了阐明变分迭代法的思想 以下面形式的非线性微分方程为例说明 1 其中 L 为线性算子 N 为非线性算子 g x 为连续函数 方程 1 的校正泛函可表示为 上式中 s 为拉氏乘子 它可以用校正泛函取驻值条件来确定 yn x 为方程 1 的 n 阶近似解 y 軇n为 yn的 限制变分量 即 y 軇n 0 选择 y0 x 为初始近似解 它可以含有未知常数或未知函数 但是 y0 x 必须满足初值或边值条件 利 用 的值和选择的初始近似解 y0 x 根据迭代公式 2 可以逐步求得方程 1 的近似解序列 y1 x y2 x 变分迭代法在求解积分微分方程中的应用 姜 兆 敏 周 友 明 李 晓 静 江苏技术师范学院 数理学院 江苏 常州213001 收稿日期 2011 10 08 修回日期 2012 03 12 基金项目 江苏技术师范学院青年科研基金项目 KYY11086 作者简介 姜兆敏 1977 女 山东临沂人 讲师 硕士 主要研究方向为微分方程及其应用 摘要 讨论了如何将变分迭代法应用于求解积分微分方程 对于线性积分微分方程 通过选取恰当的初始近 似值 应用该方法只需迭代一次就得到了方程的精确解 关键词 变分迭代法 积分微分方程 精确解 中图分类号 O175 6文献标识码 A文章编号 1674 8522 2012 02 0069 04 2 70第 18 卷江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报 y3 x 且近似解的阶数越高 近似解精度越高 本文主要考虑应用变分迭代法求解具有下面形式的积分微分方程 初值条件 这里 f x w x t 为已知的连续函数 m n 为整数 且 m n 若选取恰当的函数为初始近似解 y0 x 其中 y0 x 中含有待定常数 然后利用变分迭代公式和初始 条件可以求得方程 3 满足初值条件的精确解 下面三个具体的例子来说明具体的求解过程 2举例 例 1考虑一阶线性积分微分方程 方程 4 的校正泛函可表示为 其中 F 軌 yn s 为 F yn s 的限制变分量 即 F 軌 yn s 0 对 5 式进行变分 得 6 得到驻值条件 于是可以识别拉氏乘子 1 将 1 代入 5 式 得到以下迭代公式 根据方程 4 选取初始近似解 y0 x aex 将其代入迭代公式 7 经过一次迭代计算得 y1 x aex a 1 ex 1 a 1 x 再由初值条件 y 0 1 求得 a 1 则 y1 x ex 此为方程 4 的精确解 例 2考虑文 11 中的二阶积分微分方程 方程 8 的校正泛函可表示为 其中 3 4 5 7 8 9 第 2 期姜兆敏 周友明 李晓静 变分迭代法在求解积分微分方程中的应用71 对 9 式进行变分 得以下驻值条件 可以识别拉氏乘子 s x 将其代入 9 式 得到以下迭代公式 根据方程 8 选取初始近似解 y0 x aex b 将其代入迭代公式 10 经过一次迭代计算得 y1 x aex b a 1 x ex 1 1 6 x3 1 a 1 2 b 再由初值条件 y 0 1 y 0 1 求得 a 1 b 0 则 y1 x ex 此为方程 8 的精确 解 例 3考虑文 11 中的三阶积分微分方程 方程 11 的校正泛函可表示为 其中 对 12 式进行变分 得以下驻值条件 可以识别拉氏乘子 1 2 s x 2 将其代入 12 式 得到以下迭代公式 根据方程 11 选取初始近似解 y0 x acosx bsinx c 将其代入迭代公式 12 经过一次迭代计算得 y1 x acosx bsinx c 1 2 a 1 x2 2cosx 2 b x sinx 1 24 a 1 1 2 b x4 再由初值条件 y 0 1 y 0 0 y 0 1 求得 a 1 b 0 c 0 则 y1 x cosx 此为方程 11 的精确解 3结论 本文应用变分迭代法求解了一类积分微分方程的精确解 从求解过程中可以明显得出变分迭代法有 以下优点 1 应用广义泛函限制变分的概念 拉氏乘子很容易识别 2 对于初始近似解 y0 x 的选择有很大自由 y0 x 可以含有任意常数 且任意常数可以由初值条件 确定 3 对于线性积分微分方程 应用迭代公式迭代一次就可得到方程的精确解 10 11 12 13 72第 18 卷江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报 Application of the Variational Iteration Method for Solving Integro differential Equations JIANG Zhao min ZHOU You ming LI Xiao jing School of Mathematics and physics Jiangsu Teachers University of Technology Changzhou 213001 China Abstract The paper discussed how to solve the integro differential equations by the variational iteration method If we select the initial approximations correctly the exact solutions of the integro differential equations can be obtained byusingthe variational iteration formula onlyonce Key words variational iteration method integro differential equation exact solution 责任编辑张志钊 文 11 对于例 2 例 3 运用了同伦摄动法分别求得相应方程的十阶近似解 十五阶近似解 计算量明 显比本文所使用的方法大很多 且只是求得方程的近似解 这里需要指出的是本文所举例子均为线性 积分微分方程 应用变分原理 拉氏乘子可以求得精确值 只需应用迭代公式迭代一次就可得到方程的 精确解 但对于非线性问题 拉氏乘子是近似识别的 可以通过继续迭代得到较高精度的近似解 另外需要指出的是 本文所举例子也可以将初始近似解直接代入原积分微分方程 得到一个常微分 方程 再由初始条件确定出初始近似解中的待定常数来求精确解 若选取的初始近似解中不含任意常 数 而是满足初值条件的确定的函数 仍可以用相同的迭代公式求更高阶的近似解 而且迭代的次数越 多 近似解的精度越高 对例 2 例 3 文 10 取初始近似解为常数函数 应用变分迭代法求得了的十五阶近 似解 本文主要是通过这几个例子来说明运用变分迭代法求积分微分方程的精确解是很有效很方便的一 种方法 参考文献 1 Inokati M General Use of the Lagrange Multiplier in Nonlinear Mathematical Physica In Variational Method in the Mechanics of Solide ed bySNemat Nasser M Pergamon Press 1978 156 162 2 何吉欢 求解摄动问题的一种新方法 J 上海大学学报 自然科学版 1998 4 3 323 327 3 He J H Variational iteration method Some recent results and newinterpretations J Journal ofComputational and Applied Mathe matics 2007 207 3 17 4 Noor MA Mohyud Din ST An efficient method for solvingfourth order boundaryvalue problems J Computer and Mathematics with Applications 2007 54 1101 1111 5 ZhangJ The numerical solution offifth order boundaryvalue problems bythe variational iteration method J Computer and Math ematics with Applications 2009 58 2347 2350 6 Ganji D D Tari H Jooybari MB Variational iteration method and homotopy perturbation method for nonlinear evolution equations J Computer and Mathematics with Applications 2007 54 1018 1027 7 Liu ZH Anti periodic solutions tononlinear evolution equations J Journal ofFunctional Analysis 2010 258 2026 2033 8 王吉安 赵新主 利用变分迭代技术解时滞微分方程 J 数学的实践与认识 2010 40 208 212 9 Wang S Q He J H Variational iteration method for solving integro differential equations J Physics Letters A 2007 367 188 191 10 ShangXF Han DF Application ofthe variational iteration method for solvingnth order integro differential equations J