高中数学 第四章 函数应用 1 函数与方程课件 北师大版必修1.ppt

第四章函数应用 1函数与方程 1 利用函数性质判定方程解的存在 1 函数零点 函数y f x 的图像与横轴的交点的称为这个函数的零点 其就是方程的解 横坐标 f x 0 核心必知 2 函数零点的判定定理 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是曲线 并且在区间端点的函数值符号 即 0 则在区间 a b 内 函数y f x 至少有零点 即相应的方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数解 连续 相反 f a f b 一个 2 利用二分法求方程的近似解 1 二分法 在区间 a b 上f x 的图像是一条连续的曲线 且f a f b 0 通过不断地把方程的解所在区间一分为二 使区间的两个端点逐步方程的解 进而得到一个近似解 像这样每次取区间的中点 将区间一分为二 再经比较 按需要留下其中一个小区间的方法称为 逼近 二分法 2 用二分法求方程近似解的过程 如图 其中 初始区间 是一个两端函数值 的区间 m 的含义 取新区间 一个端点是 另一端点是 新区间两端点的函数值 n 的含义 方程解满足要求的 异号 原区间的中点 原区间两端点中 的一个 反号 精确度 1 函数的零点是一个点吗 2 函数的零点 相应方程的根 相应函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何关系 提示 不是 是一个使f x 0的x的取值 提示 等价关系 函数有几个零点 相应方程有几个根 相应函数的图像与x轴有几个交点 问题思考 3 如果函数y f x 在区间 a b 上的图像是一条连续的曲线 并且有f a f b 0 那么在 a b 上零点的个数是多少 什么情况下在 a b 上有且只有一个零点 若f a f b 0 在区间 a b 上就没有零点吗 提示 若函数y f x 在区间 a b 上的图像是连续不断的一条曲线 当f a f b 0时在 a b 上一定有零点 但是零点的个数不能确定 当 a b 是f x 的单调区间时只有一个零点 当f a f b 0时也不一定没有零点 1 求函数f x 的零点的方法 令f x 0 解方程f x 0即可 2 判断函数零点的个数 常用的方法有 解方程法 当能直接求解零点时 就直接求出进行判断 用定理法 用零点存在性定理并结合函数的单调性 利用图像的交点法 有些题目可先画出某两个函数y f x y g x 的图像 其交点的横坐标是函数y f x g x 的零点 3 判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题 当方程f x 0无法解出时 常用函数零点的判定定理 函数图像的连续性 区间端点函数值的符号相反 若将本例中根的存在情况变为一根小于1 另一根大于1 则a的取值如何 解决该类问题 有两种常用途径 1 利用零点的判定定理构建不等式求解 2 画出符合题意的草图 转化为函数问题 数形结合构建关于参数的方程或不等式 从而求解 3 求方程lgx 3 x的近似解 精确到0 1 求方程近似解的步骤 构造函数 利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间 通常限制在区间 n n 1 n z 利用二分法求出满足精确度的方程解所在的区间m 写出方程的近似解 4 求函数f x x3 2x2 3x 6的一个正数零点 精确到0 1 答案 d 2 下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是 解析 选c当且仅当函数f x 在区间 a b 上连续且f a f b 0时 才能用二分法求其零点 观察函数的图像知