拉氏变换及反变换方法.ppt

补充内容 拉普拉斯变换及反变换 2 1拉普拉斯变换 Laplace 2 2常用函数的拉普拉斯变换 2 3拉普拉斯变换的基本性质 2 4拉普拉斯反变换 2 1拉普拉斯变换 拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具 把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换 经求解再还原为时间函数 一 拉氏变换 Laplacetransformation 的定义 Laplacetransformation inverseLaplacetransformation f t 和F s 是一对拉普拉斯变换对 Laplacepairs f t t 0 称为原函数 originalfunction 属时域 timedomain 原函数f t 用小写字母表示 如i t u t F s 称为象函数 transformfunction 属复频域 complexfrequencydomain 象函数F s 用大写字母表示 如I s U s 称为复频率 complexfrequency 积分下限从0 开始 称为0 拉氏变换 积分下限从0 开始 称为0 拉氏变换 0 拉氏变换和0 拉氏变换的区别 为了把0 0 时冲激函数的作用考虑到变换中 以下拉氏变换定义式中积分下限从0 开始 1 求解方程得到简化 拉氏变换将 微分 变换成 乘法 积分 变换成 除法 即将微分方程变成代数方程 2 初始条件自动包含在变换式里 二 拉氏变换的优点 应用拉氏变换 拉氏变换已考虑了初始条件 终值 初值 三 拉氏变换的物理意义 拉氏变换是将时间函数f t 变换为复变函数F s 或作相反变换 时域f t 变量t是实数 复频域F s 变量s是复数 变量s又称 复频率 拉氏变换建立了时域与复频域 s域 之间的联系 看出 将 频率变换为复频率s 且 只能描述振荡的重复频率 而s不仅能给出重复频率 还给出振荡幅度的增长速率或衰减速率 四 拉氏变换存在条件 不同的f t 0的值不同 称 0为复平面s内的收敛横坐标 由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单 在下面的讨论中一般不再写出其收敛范围 拉氏变换收敛域举例 5 不收敛信号 除非 2 2常用函数的拉普拉斯变换 1 例求图示两个函数的拉氏变换式 解由于定义的拉氏变换积分下限是0 两个函数的拉氏变换式相同 1 15 3拉普拉斯变换的基本性质 一 线性 linearity 性质 二 微分 differentiation 定理 原始值为r 0 及r 0 原始值为e 0 0 求r t 的象函数 解 设r t e t 均可进行拉氏变换即有E S L e t R S L r t 对方程两端进行拉氏变换 应用线性组合与微分定理可得 S2R s Sr 0 r 0 a1 SR s r 0 a0R s b1 SE s e 0 b0E s 整理合并得 S2 a1S a0 R S S a1 r 0 r 0 Sb1 b0 E s b1 0 例3某动态电路的输入 输出方程为 反变换得r t L 1 R s 三 积分 integration 定理 例 积分上限也应为0 四 时域平移 timeshift f t f t t0 平移 例1求图示函数的拉氏变换式 例3周期函数 periodicfunction 的拉氏变换 设f1 t 为第一个周期的函数 例1 例2 例3 五 复频域平移 frequencyshift 六 初值 initial value 定理和终值 final value 定理 初值定理若 f t F s 且f t 在t 0处无冲激 则 终值定理f t 及其导数f t 可进行拉氏变换 且 则 例1 例2 例3 例4 已知F s 解 由初值定理和终值定理可得 求f 0 和f 例5 已知F s 求f 0 和f 由于s ja是sF s 的极点 位于虚轴上 不能应用终值定理 即f 不存在 解 由初值定理得 例右图所示电路中 电压源为 试用时域卷积定理求零状态响应电流i t 七 解 令激励电压为单位冲激电压 t 则初值为 冲激响应电流为 h t 零状态响应电流为卷积积分 i t u t h t u t 进行拉普拉斯变换L i t U s H s U s L h t 八 九 表2 1拉普拉斯变换的基本性质 表2 2拉普拉斯变换表 2 4拉普拉斯反变换 一 由象函数求原函数 2 经数学处理后查拉普拉斯变换表 f t L 1 F s 象函数的一般形式 二 将F s 进行部分分式展开 partial fractionexpansion 等式两边同乘 s s1 ki也可用分解定理求 等式两边同乘 s si 应用洛比达法则求极限 例1 例2 用分解定理 例3 m n 用长除法 得 k1 k2也是一对共轭复数 假设只有两个根 可据前面介绍的两种方法 设 求出k1 k2 例 法一 部分分式展开 求系数 法二