对方向导数几个问题的探讨2.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2011届毕业论文对方向导数几个问题的探讨作者：郑冉 指导老师：马宗立摘 要 方向导数是多元函数微积分中的一个基本概念, 本文介绍了不同元函数的方向导数的定义以及方向导数在数学领域尤其是方程领域的重要应用. 这里面有个关键的问题是方向导数在目前的教材中存在不同的定义, 而在不同的定义下, 偏导数与方向导数的关系也不尽相同. 本文主要探讨了方向导数与偏导数、连续的关系, 以及用方向导数求函数极值. 关键词 方向导数 偏导数 连续 函数极值1 引言方向导数在数学领域占有重要地位, 如果对关于方向导数的几个问题没有搞清, 在解决数学问题时, 就可能出现这样那样的问题, 因此对方向导数的定义、方向导数与偏导数的关系、方向导数与连续的关系、用方向导数解决函数极值等相关问题的探讨具有极其重要的意义. 2 方向导数的定义2.1 一元函数方向导数的定义定义1 设函数在点的某邻域内有定义 , , 令, 若存在, 称此极限为函数在点沿方向的方向导数, 记作. 一元函数在点的方向导数只有两种情况, 当时, 是轴负向, =；当时, 是轴正向, . 2.2 二元函数方向导数的定义定义2 设函数在点的某一邻域内有定义, 自点引有向直线, 轴正向与直线夹角为, 在上任取一点, 若沿着趋近于时, 即当时, 极限 存在则称此极限值为函数在点沿着方向的方向导数记作：定义3 设是面上以为始点的一条射线, 是与同方向的单位向量, 为上的另一点, , 若极限存在, 则称此极限为函数在点沿着 方向的方向导数, 记作：. 定义4 设是面上以为始点的一条射线, 是与同方向的单位向量, 为上的另一点, , 若极限存在, 则称此极限为函数在点沿着 方向的方向导数, 记作：. 以上两个定义的主要区别是还是, 由此产生了偏导数与方向导数的不同关系. 2.3 三元函数方向导数的定义定义5 三元函数在空间一点沿方向 (设方向的方向角为)的方向导数, 定义为 其中, 若函数在点可微分, 则在该点方向导数计算公式为其中是与同方向的单位向量例1求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数解 因为, , 所以, 而且, , 于是 , 从而3 方向导数与偏导数的关系3.1二元函数定义2下偏导数与方向导数的关系定理1 若函数在点可微分, 那么函数在点沿任一方向的方向导数都存在, 且有计算公式 其中为轴到方向的转角, 是与同方向的单位向量证明：因为函数在点可微分, 所以有 , 上式两边同除以, 得 , 则 例2求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数解 这里方向即向量的方向, 因此轴到方向的转角,又因为, , 所以在点处, , , 于是方向导数为另一方法例3. 设由原点到点的向径为, 轴到的转角为, 轴到射线的转角为, 求, 其中 解 因为, 所以, 讨论：当时, ,即沿着向径本身方向的方向导数为1, 当时, ,即沿着与向径垂直的方向导数为零3.2二元函数定义3下偏导数与方向导数的关系3.2.1 函数在点沿任何方向的方向导数都存在, 但偏导数未必存在. 例4. 令, 则=在点沿任何方向的方向导数存在, 但在点关于偏导数不存在. 3.2.2 函数在点的偏导数存在, , 则；又若, 则, 但在点沿任何其它方向的方向导数未必存在. 事实上, 这时若, 有又, 有如果, 这时易得. 例5 设 易得, 当时, 以上极限不存在, 即方向导数不存在. 3.3 二元函数定义4下方向导数与偏导数的关系 这里本质上把偏导数看成是方向导数的特例 3.3.1 设函数在点的某邻域内有定义, , . 若方向导数, 存在, 则有, . 事实上, 这时同样易证也成立对于3.2.2中的结论在这里也成立. 3.3.2 设函数在点的偏导数存在, , , 则有, 但这时在点处沿任何其它方向的方向导数未必存在, 其理由与前面基本相同. 从以上讨论可知道, 偏导数与方向导数的关系因方向导数的不同定义而出现不同的差异, 这是在学习相关内容时应注意的一个问题. 4 方向导数与连续的关系4.1二元函数在某点连续不能保证方向导数存在例6 则, 即函数在点处连续即函数在点处沿任意方向导数均不存在上面的例子说明函数在某点连续, 不能保证这个函数在该点的方向导数存在. 4.2函数在某点处的方向导数存在也不能保证二元函数在该点处是连续的 例7 设, 其中, 则, 但因, , 所以不存在, 即函数在原点处不连续. 这个例子说明函数在一个定点沿任意方向的方向导数存在, 并不能保证函数在此点连续, 同时我们也可以看到, 一个函数即使沿任一直线连续也不能就此断言函数在此点连续. 5 用方向导数判别函数极值5.1一元函数极值的方向导数判别法 定理2 设在点某邻域内连续, 在内可导 , 以表示方向, (i)若0, 则在点取得极大值；(ii)若0, 则在点取得极小值. 证明：只证明(i) , (ii)类似. 当时, 为x轴正向, 故, 在内递增；当时 , 为x轴负向, 故 , 在内递减, 又在处连续, 故, 恒有0, 在内沿方向= 是递增在点连续, 必在点取极大值. (ii)可作相应解释. 5.2二元函数极值的方向导数判别法定理3 设二元函数在点的某的某邻域内连续, 在内可微, , 用表示方向 (i)若0, 则在点取得极大值； (ii)若0, 则在点取得极小值. 证明：因在内可微, 故, 在沿=方向的方向导数存在且, 其中, 为的方向余统, 则, , 不妨设是以为心的圆形邻域, 由二元函数的中值定理知, 存在某, 使得：由条件(i) 知有, 即在取极大值 同样可证(ii)成立 此定理中(i)的几何意义是：, 在内任一点P处沿方向=总是递增的, 在点连续, 故在取极大值 (ii)的意义可类似说明由定理3易得如下推论：推论：设二元函数在某邻域内连续, 在内可知, , (i)若, 则在取极大值；(ii)若, 则在取极小值定理 3及推论很容易推广到多元函数的情形. 例 8 求的极值点. 解 令；得稳定点为, 又为时, 由推论(ii)知为极小值点. 例 9 求的极值点. 解 令；解得稳定点为, 当时由推论(i)知为极大值点 6 梯度在数量场中引入方向导数之后，为了研究在某一点沿哪个方向的变化率最大，因而引入了梯度的概念在同济大学应用数学系编教材中，梯度是这样定义的： 定义6 设函数在点可偏导，称向量为 函数在点处的梯度，记作，即.在南开大学编数学分析教材中是如下定义： 定义7 设是上的开域，在内可微在一点的梯度是一个向量， 如果在沿任意方向的方向导数均为0，则，否则，使得取值最大，且. 而在同济大学应用数学系编的另一本教材中，梯度是这样定义的： 定义8 设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定义出一个向量，这向量称为函数在点的梯度分析上述三个定义，发现对梯度向量存在的条件是非常不一样的定义6只要求在点处可偏导，定义7要求在内可微，定义8要求在区域有一阶连续偏导数显然定义8的条件最强，定义7次之，定义6条件最弱究竟什么定义最好呢?我们来看下面的定义： 定义9 在标量场中的一点处， 其方向为函数在点处变化率最大的方 向，其模又恰好等于最大变化率的矢量，称为标量场在点处的梯度定义9给出的梯度概念似乎隐含着如果函数在某一点沿任意方向的方向导数都存在，则其方向导数必然取得最大值否则梯度向量就不存在！但事实上方向导数存在最大值是有条件的我们有熟知的下述定理：定理4 若函数在点可微，则在点处沿任一方向的方向导数都存在，且， 其中，为的方向余弦由定理4及柯西不等式，即， 且当与一致时与的夹角 为0因此得到如下的定理：定理5 如果在点可微，则梯度存在且的方向是的变化率最大的方向，为方向导数的最大值我认为定义6作为梯度的定义比较合适，因为只要在可偏导，我们就可以构造出向量，这个向量称不称作梯度?我们总不能说该向量在某种情况下叫作梯度，而在另外的情况下又不能叫作梯度. 于是，按照定义6, 只要函数在点的偏导数存在时，则梯度就存在，但梯度并不表示在的变化率最快的方向，也不是方向导数的最大值了 事实上， 仅仅是偏导数，存在，还不能保证沿任意方向的方向导数存在，也不一定成立方向导数的计算公式：例10 设解 ，例11 设解 ，没有最大值 只有当函数在点可微时，梯度的方向才 是的变化率最大的方向，为方向导数的最大值. 结 束 语通过对不同定义下的方向导数与偏导数的联系的探讨, 了解到方向导数的定义不同, 它与偏导数的关系也是不同的. 然后运用其相关知识对方向导数能够用来求函数极值进行了证明, 了解到方向导数在数学领域尤其是方程领域的重大作用. 参考文献1华东师范大学数学系,数学分析M, 北京高等出版社, 19812宣本金 变分法,理论与应用, 中国科学技术大学出版社, 2006.83郇中丹 黄海洋,偏微分方程, 高等教育出版社, 2004.74陈纪修 金路 於崇华,数学分析上册M, 高等教育出版社, 19795孙本旺汪浩, 数学分析中的典型例题和解题方法M, 长沙湖南科学技术出版社, 19816Tom M.Apostol,Mathematical AnalysisM, 机械工业出版社, 2004The discussion for some questions of directional derivativeAuthor: ZHENG Ran Supervisor: MA ZongliAbstract: Directional derivatives is a basic concept in Multivariate function points This passage introduces the definition of directional derivatives of different yuan function and important application in Math field, especially equation field.The key point lied in this is that directional derivatives have different definitions in different teaching material and because of this,the relationship between Partial derivative and directional derivatives is different.This passage discussed the re