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非惯性系中的“弹簧双振子模型” 浙江省海盐元济高级中学（314300） 王建峰 魏俊枭 一、“弹簧双振子模型”的含义AB（图一）如图一所示，质量分别为mA和mB的两物块A和B，A、B可视为质点，用一根劲度系数为k的轻质弹簧连接起来，放在光滑水平面上，弹簧原长为。可以将A、B和弹簧组成的系统装置称为“弹簧双振子模型”。 该模型在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现，从反馈情况来看失分是相当严重的。究其原因它不但涉及力与运动、动量与能量等物理知识，而且物理过程复杂、运动情景难以想象，对学生分析、解决问题的能力提出了较高的要求。因此，帮助学生认清该模型的特点，掌握分析该模型的一般方法，并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。二、非惯性系中的“弹簧双振子模型”牛顿运动定律不成立的参照系称为非惯性系。非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。为了使牛顿运动定律在非惯性中也能使用，可人为地引入一个惯性力。如果非惯性系相对惯性系有平动加速度，那么只要认为非惯性系中的所有物体都受到一个大小为、方向与的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可成立。如果非惯性系相对惯性系有转动加速度，也可引进惯性离心力和科里奥利力，这两个力不仅与非惯性系的转动角速度有关，还与研究对象的位置和运动速度有关，在此对转动情况不作讨论。下面就“弹簧双振子模型”在非惯性系（只有平动加速度）中的运动规律作一些简单探讨。 情景：如图二所示，在一个劲度系数为 k的轻质弹簧（两端绝缘）分别拴着荷质比为与荷质（图二）ECBAX1XOO1比为的两个带正电的小球，且=，系统置于光滑水平面，处在水平的匀强电场中，电场强度为E，A端用细线拴住，系统处于静止状态，此时弹簧长度为，弹簧原长。现将细线烧断，试确定A、B在任意时刻的所处位置。（A、B两球的相互作用力忽略不计）解析：以质心为参考系（质心系），则质心C是静止的，连接A、B的弹簧仍可以看成两断，左边一段原长为，劲度系数为；右边一段原长为，劲度系数为；振动周期都是。对B球有 以地面为参考系，建立如图二所示的坐标系，即以为坐标原点，向右为正方向。质心做匀加速运动，加速度，在t = 0 时刻，即细线刚烧断时刻，A位于Ox轴的原点O处，即；B的坐标。质心的坐标为，在细线烧断以后，任意时刻t质心的位置 在非惯性参考系中，A、B还受惯性力作用，建立如图二所示的坐标系，即以质心o1为坐标原点，坐标轴向右为正方向。原点与质心固定，当小球B在这参考系中的坐标为时，作用于B的合力 令有由上式可知在质心系中，B的平衡位置的坐标且作用于B的合力具有弹性力的性质，故在FB作用下， B将在平衡位置附近作简谐振动，离开平衡位置的位移，AB为振幅，为初相位。在t = 0时刻， B是静止的，振幅AB就是此时B离开其平衡位置的距离又因t = 0，XB =AB，且XB是正的，故由此得 所以t时刻B在质心系中的坐标 （1）在地面参考系的坐标 （2）同理得t时刻A在地面参考系的坐标为 （3）ABkxOl（图三）三、非惯性系中的“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用 （第22届全国中学生物理竞赛复赛第七题）如图所示，在一个劲度系数为 k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球A和质量为 2m的小球BA用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与此时A球的位置重合如图三所示试求任意时刻两球的坐标解析：细线烧断后，整个系统在重力场中作匀加速运动，A、B处在非惯性系中。由前面分析可知：A、B相对质心作简诣运动，质心做自由落体运动。A、B振动的周期；t时刻B在质心系中的位置坐标（代入1式）得：在地面参考系中的位置坐标（代入2式）得：t时刻A在质心系中的位置坐标（代入3式）得： “弹簧振子模型”在近几年的全国物理竞赛中以各种情景频频亮相。如第20届复赛中的“人造卫星受地球引力作用下的卫星单振子”、第21届复赛中的“电磁感应中的惯性系双振子”、第22届复