Poisson分布的参数估计.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2011届毕业论文Poisson分布的参数估计作者：高晨 指导老师：戴林送摘要 泊松分布是概率统计学科中一种重要的离散分布，在参数估计这块，对点估计，矩估计，最大似然估计以及近似的区间估计等，该文中对泊松分布的相关知识，包括其性质，参数的相关估计，研究了泊松分布的一些性质，参数的估计，以及一些在生活中的简单应用。关键词 分布 参数估计 性质 简单应用1 引言Poisson分布是离散型随机变量作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型，其中可能取值为0，1，2，而取各个值的概率为： 其中是常数，称服从参数为的泊松.1.1相关定义1. 离散型随机变量的函数分布律，若级数绝对收敛，称级数为随机变量的数学期望，=.2. 定理：是随机变量的函数，是连续函数），是离散型随机变量，若绝对收敛，则=.3. 随机变量，若存在，则称为的方差，记为或，即=.（与有相同的量纲），称为标准差或均方差。注记：是刻画取值分散程度的一个量，也可以看成是函数=的数学期望。离散型随机变量，=.其中是的分布律。=2 性质2.1.Poisson分布中具有即满足我们知道，无论是离散型或是非离散型的随机变量都可以借助分布函数 来描述，落在任意区间的概率.2.2 数字特征2.21 数学期望Poisson分布：=2.22 方差Poisson分布： ，的方差.由上知，Poisson分布的数学期望为参数，= Poisson分布=，也就是说在Poisson分布中只含有一个参数，只要知道一个Poisson分布的数学期望或者方差就能够完全确定它的分布。3 相关定理 定理【1】 随机变量服从二项分布，其分布律为又设是常数，则.证明 由得：=显然当k=0时,故。当且时，有，从而，故.定理 2 设是服从参数为的泊松分布的随即向量,则:证明 已知的特征函数为,故的特征函数为：对任意的t,有.于是从而对任意的点列，有.但是是分布的特征函数,由于分布函数列弱收敛于分布函数的充要条件是相应的特征函数列收敛于的特征函数.所以成立;又因为是可以任意选取的,这就意味着成立.4 参数估计4.1 Poisson分布参数的点估计 。 为估计母体的参数值的大小，具体抽取样本值。再把样本值放入原来的样本。构造统计量。把代入得的统计值用作的近似值，用来计算参数的估计值的统计量称为参数 的估计量。 4.2 参数的两个最大似然估计 0为未知参数设为子样一组观测值似然函数是的可导函数，用导数求极值得得使达到极大值，从而得的极大似然估计量。设的函数具有单值反函数，又设是的概率分布中参数的最大似然估计，则为最大似然估计。易知，由的单调性，得的一个最大似然估计为在讨论估计量的性质之前，给出该参数的另一个最大似然估计量。对样本做如下变换：这样得到来自总体的样本，其中服从两点分布，其中，这正是待估计的参数。容易知道的最大似然估计为的样本均值，其中为示性函数。这样我们就得到同一个参数的两个最大似然估计量：由于前者利用了泊松分布的信息，而后者没有利用分布信息，所以称前者为“参数的最大似然估计”，后者为“非参数的最大似然估计”。4.3 参数的无偏估计当总体为泊松分布时，即未知参数，可以证明样本均值和样本方差都是总体参数的无偏估计。推广到一般情况，对任意的实数也都是的无偏估计，即或或。引理1 设是来自该总体泊松分布的一个样本，则。证明 因为，且和相互独立， 的概率分布为即.由归纳法得到.结论1 设函数，可以证明的无偏估计为，而不是.证明 有引理1，.而 .结论 2 已知函数可以证明的无偏估计为（取偶数值时为1，取奇数值时为-1），而不是.证明 令估计量，而 结论 3 再考虑也是未知参数的一个函数，但它的无偏估计不是而是.证明 而 结论 4 已知函数，可以证明的无偏估计为而不是。证明 。令估计量，而.一般性结论命题1 无偏估计不一定存在。比如，设样本来自二项分布总体，样本量为1，已知，而未知，函数的无偏估计不存在。命题 2 设和分别是未知参数的可估函数和的无偏估计量，则是的无偏估计量。这里，为任意实数。证明 因为，又因为，所以是的无偏估计量。命题 3 无偏估计量不一定唯一。样本均值和样本方差都是总体参数的无偏估计。命题 4 能借助的无偏估计来求的无偏估计。 设总体服从指数分布总体，从总体中抽取一组样本，设是的无偏估计量。的概率密度为，记，这里为未知参数。的无偏估计是。今由的无偏估计构造的无偏估计，为此取为修正系数，要使成立，而故取系数。此时成立，故的无偏估计为。4.4 参数的区间估计泊松分布的区间估计，一般是利用中心极限定理来实现。对于大容量样本，这种估计是可行的，然而，对于同样的置信水平，这种近似估计的误差会随着容量的减小而增大。可以通过建立分布和分布的某种联系给出一种较为理想的区间估计，实际表明这种计较用中心极限定理效果好。设总体服从参数为（）的分布，则的分布函数为对于固定的，把视为的函数，则易证具有下述性质1 当时；2 当时；3 是关于的连续可导函数。对于前两项性质，还可以描述为 当 当性质会使我们意识到对固定的，关于应具备分布函数的性质，为得到这一结论，先给出下面引理：引理 设为任意实数，为正整数，则下式成立 证明 取只需证明式便成立。显然 是定义在内的连续可导函数，且有 所以在内恒为常数，而故即（*）式成立。特别地当时，（*）式仍成立。定理 设为泊松总体的分布函数，为参数，若把固定，视为随机变量，则的分布函数为，则服从，其中。证明 由于所以从而由引理知 故 由此可知，当固定时，是变量的分布函数，且为分布，利用泊松分布与分布的这种内在联系，通过计算固定的观察值，注意到分布与分布的关系，可以构造出参数的置信区间。设是取自泊松总体（参数为）的简单子样，由泊松分布的可加性知仍为泊松分布，且参数为，对于给定的一组观测值为定值，由上面结论可知，服从分布。于是的置信度为的置信上下限可由下面两式确定注意到等式 上式右边为分布的分布函数。从而可以用分位数表示，即有于是从而有.由此便得到的置信度为的置信区间为.5 贝叶斯框架下的参数估计人们通常是在给定的损失函数下对其进行研究，设是容量为的一个泊松简单随机样本，其联合概率分布为，其中为样本的一组实现值，本文对给定的泊松样本，在对称损失函数 （1）意义下考虑参数的估计问题，由分析问题知，损失函数（1）关于估计量是凸的，且关于在处取得最小值。在贝叶斯框架下，利用损失函数（1）来研究参数的贝叶斯估计的一般形式。下面给出参数的一般形式。定理 1 令，在损失函数（1）下，对于任何先验分布，参数的贝叶斯估计为证明 设为的任意估计，对应的贝叶斯风险为，这里等号左端表示关于和的联合分布取数学期望。欲使贝叶斯风险达到最小，只需要极小化即可。记，对关于求导，易知是关于的凸函数,并且在处取得唯一极小值，从而参数的贝叶斯估计为.下面考虑在给定的先验分布后，参数的贝叶斯估计的精确形式。定理 2 若参数的先验分布为，则的贝叶斯估计为并且是可容许的。证明 由于的先验分布为伽玛分布，从而的后验分布为于是有从而.由于参数在损失函数（1）下关于先验密度的贝叶斯估计是唯一的，因此该估计也是可容许的。定理 3 在先验分布，下，对给定置信概率，参数的最大后验区间估计为.证明 由于参数的后验密度为，所以对于给定置信概率，参数的最大后验区间估计满足：对于总有不等式.下面求参数的最大后验区间估计的精确形式。由于，所以对给定的，有.记，则对，总有不等式。于是参数的最大后验区间估计为.6 简单应用研究1) 二项分布泊松近似常常被应用于研究稀有事件，即每次试验中的事件出现的概率很小而贝努里试验的次数很大时，事件才会发生。例1 通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为假设在某段时间内有1000辆汽车通过此路口，试求在次时间内发生事故次数的概率分布和发生2次以上事故的概率。分析 首先在某段内发生事故属于稀有事件，观察通过路口的1000辆汽车发生事故与否，可视为是次伯努里试验，出现事故的概率为，因此服从二项分布的，即.由于很大，且很小，上面的式子计算工作量很大，则可以用：来求近似。注意到有2) 泊松分布可以计算大量试验中稀有事件出现频数的概率.这里的频数是指在相同条件下进行大量的试验，在这大量试验中，稀有事件发生的次数。例2 一直患色盲者占0.25%，试求：为发现一例色盲者至少要检查25人的概率;为使发现色盲者的概率不小于0.9，至少要对多少人的辨色力进行检查？分析 设表示恰好发现一例色盲者所需要的检查人数，则。解 设至少对个人的辨色力进行检查，于是。从而：由得。因此至少要检查920人。结束语目前关于Poisson分布的性质及其应用的研究已经取得丰富的成果，在参数估计这块，对点估计，矩估计，最大似然估计以及近似的区间估计等，文章中对泊松分布的相关知识，包括其性质，参数的相关估计，还有一些简单的应用一些整理和论述，希望能有一些帮助。还有一些简单的应用一些整理和论述在实际中有着广泛的应用，它常与单位时间或者单位面积及单位产品上的计数过程相联系。参考文献【1】魏宗舒等。概率论与数理统计教程.北京：高等教育出版社，1983.【2】茆诗松等。概率论与数理统计教程.北京：高等教育出版社，2004.【3】周概容.概率论与数理统计M.北京：高等教育出版社，1984.【4】王梓坤.概率论基础及其应用 M.北京：科学教育出版社，1976.【5】蒋福坤，刘玉春.指数分布参数的最短区间估计J.数理统计与管理，2004，23（3）.【6】Ash.R.B. Real Analysis and ProbabilityM.New York：Academic Process.Inc,1972.【7】RICHARDLB，FAIRESJ D. Numerical AnalysisM.Bejing:Higher Education Press.Thomson Learning Inc.2001.【8】刘彬清.关于一些数值的求积公式的渐近性J.应用数学与计算数学学报，2000,14（2）：83-87.Estimation of Parameter in Poisson DistributionAuthor: Gao chen Supervisor: Dai linsongAbstract：Poisson distribution is an important subject in probability and statistics of discrete distribution, parameter estimation this, in for point estimates, moment estimators, maximum likelihood estimation and approximate interval estimation, the paper in such relevant to poisson distribution, including its nature, knowledge, estimates that the related parameters was studi