幂函数与反函数.doc

高一数学秋季班讲义幂函数与反函数【知识要点】1.幂函数的定义：一般地，把形如的函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.2.幂函数的图像定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇偶单调性增增减增增减减减增定点3.图像性质总结： （1）图像都过点和；（2）函数在区间上都是增函数；（3）当时，指数大的图像在上方；当时，指数大的图像在下方. （1）图像都过点和；（2）函数在区间上都是减函数；（3）在第一象限内，图像向上无限地接近轴，向右无限地接近轴；（4）当时，指数大的图像在上方；时，指数大的在下方. 总之，无论指数正负如何，它们都有共同的性质：（1）图像都过点；（2）时，指数大的图像在上方；时，指数大的在下方.3.反函数（1）定义及写法（2）性质：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 若函数的图像上有一点，则必在其反函数的图像上；反之，在反函数的图像上，则点必在原函数的图像上； 函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； 严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（3）反函数的求法：1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； 2、反解，也就是用来表示； 3、改写和，交换位置，也就是把改成，把改成； 4、写出原函数及其值域即反函数的解析式和定义域。【典型例题】例1 设，则（ ）.A. B. C. D. 例2 已知幂函数，且互质）的图像如图所示，则（ ）.A. 均为奇数，且B. 为奇数，为偶数且C. 为奇数，为偶数且D. 为奇数，为偶数且例3 已知点在幂函数的图像上，则的解析式是（ ）.A. B. C. D. 例4 求函数的单调区间，并比较和的大小.例5已知幂函数的图像关于轴对称，且在上函数值随的增大而减小，求满足的的取值范围.例6 函数的反函数是（ ）.A. B. C. D. 例7 函数的反函数是（ ）.A. B. C. D. 例8 设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过点（ ）.A. B. C. D. 【课堂练习】1. 函数的图象是（ ）A B C D2. 下列命题中正确的是（ ）A当时函数的图象是一条直线B幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D幂函数的图象不可能出现在第四象限3. 如右图所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小，有（ ）.A B C D4. 对于幂函数，若，则，大小关系是（ ）A B C D 无法确定5. 函数的反函数为，则= .6.的解析式是.7.函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ）.A. B. C. D. 8.已知函数为偶函数，且.（1）求的值，并确定的解析式；（2）若，是否存在实数，使得在上为增函数？9. 由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成（即上涨率为），涨价后，商品卖出个数减少成，税率是新定价的成，这里均为正常数，且，设售货款扣除税款后，剩余元，要使最大，求的值.【课后作业】1.若不等式恒成立，求实数的取值范围.2. 是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 .3. 函数，满足（ ）A是奇函数又是减函数 B是偶函数又是增函数C是奇函数又是增函数 D是偶函数又是减函数4. 下列函数中既是偶函数又是（ ）ABCD 5.函数和图象满足（ ）A关于原点对称 B关于轴对称C