量子信息学引论第5讲.pdf

清华大学 2012 10 17 量子信息学引论 Introduction to Quantum Information Science 第五讲 1 内容回顾内容回顾 复习复习 量子力学假定 把物理概念与数学概念联系起来 状态空间状态空间 HilbertHilbert空间空间 时间演化时间演化 酉变换酉变换 测量测量 测量算子测量算子 复合系统复合系统 张量积空间张量积空间 超密编码 Alice Alice 和和BobBob各拥有量子纠缠对的一半各拥有量子纠缠对的一半 Alice Alice 可用超密编码送给可用超密编码送给BobBob两个经典位两个经典位 而只使用一而只使用一 个量子位的通信和这个事先制备的纠缠态个量子位的通信和这个事先制备的纠缠态 4 第一位经Alice变换后系统的状态 左 与Bell态 右 的比较 0011 00 2 0011 01 2 1001 10 2 1001 11 2 I Z X iY 5 如何实验实现 参阅 如何实验实现 参阅 Phys Rev Lett 76 4656 1996 密度算子密度算子 The density operatorThe density operator 量子力学的形式化语言 态矢量 量子力学的形式化语言 态矢量 State vector State vector 密度密度 算子 或密度矩阵算子 或密度矩阵 density matrixdensity matrix 此二方法在数学上等价 但密度算子对思考一些量此二方法在数学上等价 但密度算子对思考一些量 子力学中常见的现象更方便 子力学中常见的现象更方便 用量子态系综的概念引入密度算子用量子态系综的概念引入密度算子 发展密度算子的一般性质 发展密度算子的一般性质 6 量子态系综 Ensembles of quantum states ii p i i ii p 系统密度算子系统密度算子 密度矩阵密度矩阵 密度算子密度算子 密度矩阵密度矩阵 在描述状态不完全已知在描述状态不完全已知 的系统时很有用 设系统处于的系统时很有用 设系统处于 态的概率态的概率 为为p pi i 则纯态的系综定义为 则纯态的系综定义为 i 量子力学的假定都可以用密度算子的语言重量子力学的假定都可以用密度算子的语言重 新描述 新描述 7 例子 测量结果丢失后系统状态 m m mm mm m mm mm m p m MM tr M M tr M M MM 测量结果测量结果m Mm 丢失后 我们仅知道系统丢失后 我们仅知道系统 处在处在 m m的概率为的概率为p m 这时的系统可以用下面这时的系统可以用下面 密度算子描述 密度算子描述 8 量子力学引论 II 2 2 1 2 2 1 状态空间状态空间 2 2 2 2 2 2 量子状态演化量子状态演化 2 2 3 2 2 3 量子测量量子测量 2 2 4 2 2 4 区分量子态区分量子态 2 2 5 2 2 5 投影测量投影测量 2 2 6 2 2 6 POVMPOVM测量测量 2 2 7 2 2 7 相位相位 2 2 8 2 2 8 复合系统复合系统 2 2 9 2 2 9 量子力学量子力学 总览总览 2 3 2 3 超密编码超密编码 2 4 2 4 密度算子密度算子 密度算子的一般性质 General properties of the density operator 一个算子是与某个系综相联系的密度算一个算子是与某个系综相联系的密度算 子 当且仅当子 当且仅当 1 1 其迹为 其迹为1 1 2 2 算子为正定的 算子为正定的 10 密度算子性质的应用 可以不依赖状态矢量的语言可以不依赖状态矢量的语言 用密度算子可以对量子力学的假定重新陈用密度算子可以对量子力学的假定重新陈 述述 11 与任何孤立物理系统相联系的是一个具与任何孤立物理系统相联系的是一个具 有内积的复矢量空间有内积的复矢量空间 即即HilbertHilbert空间空间 称为系统称为系统 的状态空间的状态空间 系统由其密度算子完备描述系统由其密度算子完备描述 此密度算子此密度算子 为正定的且迹为为正定的且迹为1 1 作用于系统的状态空间上作用于系统的状态空间上 如果一个量子系统以概率如果一个量子系统以概率 处于处于 则系统的则系统的 密度算子为密度算子为 假定1 系统状态 i p i i ii p 12 假定2 状态演化 UU 一个封闭量子系统的演化是由一一个封闭量子系统的演化是由一 个酉变换来描述的 即系统在时刻个酉变换来描述的 即系统在时刻t t1 1的的 状态状态 与系统在时刻与系统在时刻t t2 2的状态的状态 是由只依是由只依 赖于时刻赖于时刻t1和和t2的酉算子的酉算子U U 来描述的来描述的 13 如果测试前系统的状态为如果测试前系统的状态为 则测得结果则测得结果m的的 概率为概率为 量子测量由一组测量算子的集合量子测量由一组测量算子的集合 来描述 来描述 这些是作用在被测系统的状态空间上的算子 这些是作用在被测系统的状态空间上的算子 索引索引m 指的是实验中可能发生的测量结 指的是实验中可能发生的测量结 假定3 量子测量 m M mmM Mtrmp 且测量后系统的状态为且测量后系统的状态为 mm mm MMtr MM 测量算子满足完备性方程测量算子满足完备性方程 m mm IMM 14 一个复合物理系统的状态空间是组元物理一个复合物理系统的状态空间是组元物理 系统的状态空间的张量积系统的状态空间的张量积 进一步地进一步地 拥有编号从拥有编号从1到到n的系统 且第的系统 且第i号号 系统被制备到状态系统被制备到状态 假定4 复合系统 i n 21 则全系统的联合状态则全系统的联合状态 joint state 是 是 15 密度算子的两个重要应用 描述状态未知的量子系统描述状态未知的量子系统 描述一个复合量子系统的子系统描述一个复合量子系统的子系统 16 密度算子的两个值得注意的问题 1 1 密度矩阵的本征值和本征向量对量子态密度矩阵的本征值和本征向量对量子态 系统是否的特殊意义系统是否的特殊意义 2 2 什么样的系统给出一个特定的密度矩阵什么样的系统给出一个特定的密度矩阵 17 密度矩阵的本征值和本征向量对量子 态系综是否有特殊意义 无 例 18 什么样的系综产生一个特定的 密度矩阵 定义定义 集合生成算子集合生成算子 设集合设集合 生成算子生成算子 与普通密度算子系综的关系由与普通密度算子系综的关系由 来描述 来描述 定理定理2 6 2 6 在密度矩阵的系综中的酉自由在密度矩阵的系综中的酉自由 两个集合两个集合 和和 生成相同的密度矩阵生成相同的密度矩阵 当且仅当当且仅当 其中其中 是具有复数元素的酉阵是具有复数元素的酉阵 具有索引具有索引i和和j 并且我们对于矢量集合并且我们对于矢量集合 或或 小的那个附加另外的矢量小的那个附加另外的矢量0 使得这两个集合具有同样数目使得这两个集合具有同样数目 的元素的元素 i j j jiji u ij u i i i iii p i i j 19 20 1 2 sin0 2 cos ii ee 10 对于任意迭加态 用角度来表示 i e 整体相因子可以略去 纯态量子比特 21 单比特的几何表示 Bloch球面 此图不能表示多量子位 multiqubit 0 1 1 2 sin0 2 cos i e 和 确定了三维单位球面上 的一个点 这个球面通常称 作Bloch球面 11 sincos 22 11 sinsin cos 22 x yz I 泡利矩阵 01 10 x 010 001 yz i i 22 量子位的几何表示 Bloch球面 0 1 1 01 2 0 2 例子 对应 练习 如果是混合态那么表示练习 如果是混合态那么表示Block矢量的点应位矢量的点应位 于球面还是在球内 于球面还是在球内 约化密度算子约化密度算子 The reduced density operatorThe reduced density operator 密度算子的一个最重要的应用是作为描述密度算子的一个最重要的应用是作为描述 复合系统的子系统的工具复合系统的子系统的工具 这个描述是由约化密度算子提供的这个描述是由约化密度算子提供的 约化密度算子在分析复合量子系统时不可约化密度算子在分析复合量子系统时不可 缺少缺少 23 约化密度算子的定义 24 假设由系统假设由系统A A和和B B组成了复合系统 它的密度算子是组成了复合系统 它的密度算子是 AB AB 则系统则系统A A的约化密度算子就定义为的约化密度算子就定义为 AB BA tr tr trB B是一算子映射 称为系统是一算子映射 称为系统B B上的偏迹上的偏迹 partial trace 21212121 bbtraabbaatr B 其中其中 和和 为为A A状态空间的两个矢量状态空间的两个矢量 和和 为为B B状态空间的两个矢量 状态空间的两个矢量 1 a 2 a 1 b 2 b 偏迹的说明 上式右端的迹操作上式右端的迹操作 是对系统是对系统B B的通常的迹操的通常的迹操 作作 所以所以 以上只在以上只在ABAB上的一个特殊子类上定义了偏迹上的一个特殊子类上定义了偏迹 的操作的操作 通过要求偏迹还满足对于其输入为线通过要求偏迹还满足对于其输入为线 性的条件性的条件 可完成整个定义可完成整个定义 25 1221 bbbbtr 21212121 bbtraabbaatr B 复合系统外积的一个恒等式 已知 1 a 和2 a 为系统A的状态空间中的矢量 1 b 和2 b 为系 统B的状态空间中的矢量 求证 21212211 bbaababa 证明 设 ab 为张量积空间 BA 中的任意矢量 则 1122 2211 2211 2211 babbaa bbaaba abbaba abbaba 1122 1122 2121 2121 2121 babbaa babbaa bbbaaa bbbaaa abbbaa 得证 21212211 bbaababa 26 为什么要采用约化密度算子 约化密度算子提供了对子系统测量约化密度算子提供了对子系统测量 时的正确的测量统计时的正确的测量统计 下面的例子可以帮助理解约化密度下面的例子可以帮助理解约化密度 算子算子 27 例 乘积态的约化密度算子 设一个量子系统处于乘积态设一个量子系统处于乘积态 其中其中 为系统为系统A A的密度算子的密度算子 为系统为系统B B的的 密度算子密度算子 则则 28 AB B B A trtr Bell态及其子系统的状态是否为纯态 BellBell态是纯态 因为我们可以知道系统精确地处在态是纯态 因为我们可以知道系统精确地处在 这一状态 这一状态 29 2 1100 Bell态态 Bell态的密度算子 30 21100 2 1111110000110000 2 1100 2 1100 对第二个量子位进行迹运算 得到第一个量子位的约化密度算子 tr I 2 2 1 2 1 此态为一混合态此态为一混合态 31 22 1100 2 1111101001010000 2 1111110000110000 2222 2 I trtrtrtr tr Bell态及其子系统的状态 Bell Bell 态子系统为一混合态态子系统为一混合态 32 tr I 2 2 1 2 1 Bell Bell 态为纯态 因其状态精确已知 态为纯态 因其状态精确已知 21100 联合系统的状态完全已知 为一纯态 而其子系联合系统的状态完全已知 为一纯态 而其子系 统却处于混合态 这是量子纠缠的一个重要特点 统却处于混合态 这是量子纠缠的一个重要特点 量子隐形传态量子隐形传态 1 0011 2 01 Nature 390 575 1997 量子传态与约化密度算子 约化密度算子的一个重要应用约化密度算子的一个重要应用 分析量子传态分析量子传态 量子传态是从量子传态是从AliceAlice到到BobBob传送量子信息的步骤传送量子信息的步骤 其其 中中AliceAlice与与BobBob共用一个共用一个EPREPR对对 且可通过经典信道且可通过经典信道 传送经典信息 传送经典信息 34 量子传态能否超光速传送信息 初看起来初看起来 似乎量子传态能用来作超光速通似乎量子传态能用来作超光速通 信信 但这根据相对论是不可能的但这根据相对论是不可能的 在在1 3 71 3 7节中推测节中推测 阻止超光速通信的是需要阻止超光速通信的是需要 AliceAlice把测量结果传送给把测量结果传送给Bob Bob 约化密度算子允许我们将此推测严格化约化密度算子允许我们将此推测严格化 35 在Alice测量前三个量子位的状态 36 01111010 01011000 2 1 2 Alice在计算基上测量后系统的状态 37 0111 1010 0101 1000 的概率得到的概率得到 的概率得到的概率得到 的概率得到的概率得到 的概率得到的概率得到 Alice测量时所用的测量算子 B B B B m I I I I M 1111 1010 0101 0000 38 Alice测量后 系统的密度算子 39 01011111 10101010 01010101 10100000 4 1 将Alice的系统求迹 得到Bob系统的约化密度算子 40 22 1100 4 112002 01011010 01011010 4 1 2222 I B Bob 得到信息了吗 在在AliceAlice测量后测量后 而而BobBob尚不知其测量结果时尚不知其测量结果时 BobBob的系统处于状态的系统处于状态 I 2I 2 此状态此状态 I 2 I 2 不依赖于被传输的状态不依赖于被传输的状态 因而因而 阻止了阻止了AliceAlice以超光速传递信息 以超光速传递信息 41 SchmidtSchmidt分解与纯化分解与纯化 The Schmidt decomposition and purificationThe Schmidt decomposition and purification 复合量子系统是量子信息学的核心复合量子系统是量子信息学的核心 研究复合量子系统的重要工具研究复合量子系统的重要工具 密度算子密度算子 偏迹偏迹 SchmidtSchmidt分解分解 纯化纯化 42 Schmidt 分解 43 SchmidtSchmidt基基 基基 和和 分别称为分别称为A A 和和B B 的的SchmidtSchmidt 基基 Schmidt bases Schmidt bases SchmidtSchmidt数数 非零值非零值 的个数称为的个数称为 SchmidtSchmidt数数 Schmidt number Schmidt number Schmidt Schmidt 数是一个复合系统的重要性质数是一个复合系统的重要性质 它在某种它在某种 意义上对系统意义上对系统A A 和和B B之间的纠缠之间的纠缠 量 量 进行了量进行了量 化 只有当化 只有当SchmidtSchmidt数为数为1 1时 复合系统是乘积态 时 复合系统是乘积态 Schmidt基与Schmidt数 A i B i i 44 例子 练习练习 2 79 2 79 考虑由双量子位组成的一个复合系统考虑由双量子位组成的一个复合系统 求出求出 以下状态的以下状态的SchmidtSchmidt分解分解 45 如何进行Schmidt分解 从定理从定理2 72 7的证明可知 对距阵进行奇异值的证明可知 对距阵进行奇异值 分解即可 分解即可 猜猜 46 Schmidt 分解 SchmidtSchmidt数为数为2 2 此复合系统处于纠缠态 此复合系统处于纠缠态 Schmidt 分解 SchmidtSchmidt数为数为1 1 此复合系统处于乘积态 此复合系统处于乘积态 Schmidt数的性质 SchmidtSchmidt数对于系统数对于系统A A 或或B B的单独酉的单独酉 变换操作守恒变换操作守恒 49 B i Ai ii B i Ai iiU 是是 的的SchmidtSchmidt分解分解 是是 的的SchmidtSchmidt分解分解 U 定义定义 给定一个量子系统给定一个量子系统A A 的状态的状态 可以引入另 可以引入另 一个系统一个系统R R 且定义一个纯态 且定义一个纯态 对联合系统 对联合系统ARAR使得使得 亦即亦即 当我们只看系统当我们只看系统A A时时 纯态纯态 约化到约化到 这 这 是一个纯粹的数学步骤是一个纯粹的数学步骤 称为纯化称为纯化 纯化允许我们把纯态与混合态联系起来纯化允许我们把纯态与混合态联系起来 称称R R为参考系统 它是一个虚构的系统 无直接的物为参考系统 它是一个虚构的系统 无直接的物 理意义 理意义 纯化 purification 50 A AR ARARtr R A AR A 纯化对任意态都可以做纯化对任意态都可以做 以下解释对于以下解释对于 如何构造如何构造 一个系统一个系统R R和纯化和纯化 为纯化为纯化 引入系统引入系统R R 它具有与系统它具有与系统A A相同的状态空相同的状态空 间间 具有正交归一基具有正交归一基 且对联合系统定义一个纯态且对联合系统定义一个纯态 纯化的方法 51 A AR A i AA i A iip 设设 具有一个正交归一分解具有一个正交归一分解 A R i i RA i iipAR 所以所以 是是 的纯化的纯化 纯化的方法 续 52 ij RRAA jiR jitrjippARARtr ij ij AA ji jipp i AA i iip A AR A 因为因为 Schmidt分解与纯化的关系 注意注意SchmidtSchmidt分解与纯化的密切关系 分解与纯化的密切关系 用来纯化一个系统用来纯化一个系统A A混合态的步骤是混合态的步骤是 1 1 定义一个纯态 定义一个纯态 2 2 该纯态对于系统 该纯态对于系统A A的的SchmidtSchmidt基恰好将基恰好将 混合态对角化 混合态对角化 3 3 该纯态的 该纯态的SchmidtSchmidt系数是被纯化的密度系数是被纯化的密度 算子的本征值的平方根 算子的本征值的平方根 53 经典世界和量子世界的不同 经典世界 测量仅仅揭示物体的物理特性 经典世界 测量仅仅揭示物体的物理特性 测量不影响物体的特性 测量不影响物体的特性 量子世界 物体的特性是和测量相关的 量子世界 物体的特性是和测量相关的 其物理特性是作为测量结果出现的 其物理特性是作为测量结果出现的 EPREPR与与BellBell不等式不等式 EPR and the Bell inequality EPR and the Bell inequality EPREPR质疑量子力学的完备性质疑量子力学的完备性 BellBell不等式给出经典与量子力学的判据不等式给出经典与量子力学的判据 1964 1964 年年 推导推导BellBell不等式的实验装置不等式的实验装置 BellBell不等式的经典推导不等式的经典推导 BellBell不等式的两个假设不等式的两个假设 BellBell不等式的量子检验不等式的量子检验 55 EPR Einstein Podolsky RosenEPR Einstein Podolsky Rosen 19351935 Bell不等式的两个假设 1 1 假设物理性质在测量前有不依赖于观察的假设物理性质在测量前有不依赖于观察的 定值 定值 实在性 实在性 realismrealism 2 2 如果两次测量之间的四维时空间隔是类空如果两次测量之间的四维时空间隔是类空 的 则两个事件之间不存在因果关系 或的 则两个事件之间不存在因果关系 或 假设假设AliceAlice进行她的测量不影响进行她的测量不影响BobBob的测量的测量 局域性 局域性 localitylocality 合起来称为 局域实在性假设 合起来称为 局域实在性假设 56 测试Bell不等式的实验装置 57 Alice Q 1 R 1 Bob S 1 T 1 1 particle 1 particle CharlieCharlie制备两个粒子 送给制备两个粒子 送给AliceAlice和和BobBob各一个 各一个 AliceAlice测量粒子的两个特性 测量粒子的两个特性 P PQ Q和和P PR R 其值其值Q Q和和R R的的 测量结果为测量结果为 1 1或或 1 1 同样 同样BobBob测量测量P PS S和和P PT T 得到得到S S和和T T 的值的值 1 1或或 1 1 Q Q R R S S T T是通过测量得到的客观是通过测量得到的客观 性质 性质 Bell不等式的经典推导 QS QS RS RS RT RT QTQT 注意 上式的每一项都分别包含了注意 上式的每一项都分别包含了AliceAlice与与BobBob双方双方 的观察量 因此 上式是一个关联函数 的观察量 因此 上式是一个关联函数 QS QS RS RS RT RT QT QT Q RQ R S S R R Q Q T T 因为 因为 R R Q Q 1 1 所以所以 Q Q R R 0 0或或 R R Q Q 0 0 S S T T 1 1 故 故 QS QS RS RS RT RT QTQT 2 2 58 Bell 不等式 设测量前系统处于设测量前系统处于Q q R r S s T tQ q R r S s T t的概率的概率 是是p q r s t p q r s t 令令E E 为量的均值 则有 为量的均值 则有 Bell 不等式 称为 CHSH John Clauser Michael Horne Abner Shimony and Richard Holt 不等式 1969年 Bell不等式的量子检验 61 2 1001 2 2 22 22 1 1 XZ T XZ S XR ZQ 粒子状态 粒子状态 测量测量 这是观察量这是观察量 即投影测量即投影测量 投影测量 Projective measurement 62 投影测量由一个观察量投影测量由一个观察量 observable observable MM描述 它是作描述 它是作 用在待测系统状态空间上的一个用在待测系统状态空间上的一个HermitianHermitian算子 观算子 观 察量具有谱分解 察量具有谱分解 m m mPM 其中其中P Pm m为到为到MM的具有本征值的具有本征值m m的本征空间上的投影算子 的本征空间上的投影算子 测量结果对应于观察量的本征值测量结果对应于观察量的本征值m m 测量状态 测量状态 得到结果得到结果m m的概率为 的概率为 m Pmp mp P m 得到测量结果得到测量结果m m后 量子系统的状态为 后 量子系统的状态为 投影测量的平均值与方差 平均值 方差 M M mP Pm mmpME m m m m m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 MM MMMM MMMM MM MMM 63 量子力学中观察量的平均值 64 量子力学满足Bell不等式吗 65 2 1001 2 2 22 22 1 1 XZ T XZ S XR ZQ 粒子状态 测量 这是观察量 即投影测量 2 1 10100101 22 1 110010011001 22 1 100110011001 22 1 10011001 22 1 10011001 22 1 2 1001 22 1001 2222 22 221 22 1 XXZZ XZ XZZ XZ Z QSQS 量子力学满足Bell不等式吗 2 1 10100101 22 1 011000111001 22 1 001100111001 22 1 00111001 22 1 10011001 22 1 2 1001 22 1001 2222 22 221 22 1 XXZZ XZ XZX XZ X RSRS 量子力学满足Bell不等式吗 2 1 10100101 22 1 011000111001 22 1 001100111001 22 1 00111001 22 1 10011001 22 1 2 1001 22 1001 2222 22 221 22 1 XXZZ XZ XZX XZ X RTRT 量子力学满足Bell不等式吗 2 1