量子力学习题4.pdf

量子力学习题 4 一 选择题 1 1 自由粒子具有的守恒量有 2 处于立方体势阱中 即无限高三维方势阱 的粒子具有的守恒量有 3 在线性谐振子势 V r 2r2 2 中运动的粒子守恒量有 4 在势场 V r Ar2 Br3中运动的粒子 其中 A B 是非零实数 守恒量有 a 位置 b 动量 c 动能 d 势能 e 角动量的 x 分量 f 角动量的 z 分量 g 角动量的平方 h 宇称 i 能量 2 Schr dinger 方程在量子力学中的地位与 Newton 方程在经典力学中的地位相当 它具有 下列性质 a Schr dinger 方程是量子力学中的一个基本假定 它的正确性只能靠实践来检验 b 态迭加原理要求 Schr dinger 方程必须是一个线性方程 c Schr dinger 方程是一个偏微分方程 d Schr dinger 方程给出了量子态随时间演化的因果关系 e 满足 Schr dinger 方程的解都可以描述微观体系的状态 是物理上可以接受的解 3 关于定态叙述正确的有 设势能为实函数 a 定态波函数是不含时间的 Schr dinger 方程的能量本征态 和时间没有关系 b 如果 是定态 Schr dinger 方程的一个解 对应的能量本征值为 E 那么 也是定态 Schr dinger 方程的解 对应的能量本征值也为 E 因此 必定是个实函数 c 在一维的规则势场中运动的单个粒子 如果存在束缚定态 则必定是非简并的 d 如果体系的哈密顿量在空间反射变换下保持不变 则定态 Schr dinger 方程的解必定 具有确切的宇称 e 处于定态的粒子在空间的几率密度和几率流密度不随时间而改变 f 不显含时间的力学量在定态中的可能测量值出现的几率分布不随时间而改变 g 不显含时间的力学量在定态中平均值不随时间而改变 h 定态波函数的线性叠加还是定态 4 下列哪些现象是只有用量子力学才能解释的 a 当粒子能量 E 大于势垒高度时 粒子可以穿过势垒 b 当粒子能量 E 大于势垒高度时 粒子有一定的几率被势垒反射回来 c 隧道效应 d 零点能的存在 e 原子的线性光谱 5 关于波函数的自然条件 理解正确的有 a 连续性指的是一个物理的波函数可以有无穷阶的微商 b 连续性指的是在边界处波函数及其一阶微商连续 与势场的形式没有关系 c 有限性指的是波函数必须是能够归一化的 d 有限性指的是粒子在空间各点的几率是有限的 e 单值性指的是如果波函数给定 则粒子在空间各点的几率分布是确定的 f 单值性指的是描述体系状态的波函数是确定的 唯一的 g 单值性指的是 波函数是坐标和时间的单值函数 二 填空题 1 称为隧道效应 它是微观粒 子具有 的表现 2 一维谐振子的第一激发态波函数是 其宇称是 其节点的个数是 相应的谐振子能量是 能级的简并度是 几率最大的位置是 此时 x2的平均值是 3 假定粒子处于一维无限深势阱 则粒子的基态波函数是 其宇称是 相应的能量是 粒子的第三激发 态波函数是 其宇称是 相应的能级是 粒子出现 几率最大的位置是 假定在 t 0 时刻 粒子的状态可以用波函数 ax ax xV 0 a x C a x C 2 sin 2 cos 21 来描写 其中 C1和 C2是常数 则粒子处于基态的几率是 该 波 函 数 是 否 定 态 为 什 么 因 为 该波函数的宇称是 粒子的能量平 均 值 是 经 过 一 段 时 间 t 后 描 写 粒 子 状 态 的 波 函 数 是 粒子处于基态的几率是 4 波函数 t r r 和 t p r 描述的是同一个粒子的状态 它们之间互为傅立叶变换 变换 关系是 t r r t p r 5 处于球谐函数 Yl m Y5 2 状态的粒子 其轨道角动量平方的测量值是 轨道角动量在 z 轴方向的取值是 轨道角动量在 x 轴方向的可能测量值 是 lx ly 三 证明题 1 课后习题 2 4 2 对于教材中的一维无限深势阱 见教材第 26 28 页 试证明处于 n态时 a 粒子的出现平均位置0 x x b 6n n3 a x x 22 22 2 22 c 粒子的平均动量是0 p p d 2 222 22 a4 n p p h 3 利用厄密多项式的递推关系 见教材第 31 页 2 712 和 2 713 式 证明一维线性谐振子的波 函数满足下列递推关系 说明 这些关系需要熟练掌握 a 2 1 2 1 11 x n x n xx nnn b 2 1 2 11 x n x n x dx d nnn 4 教材第 45 页习题 2 6 提示 首先证明一维势场中的束缚定态是非简并的 再证明体 系所处的势场在空间反演变化下不变时 则该定态波函数具有确切的宇称 四 计算题 1 教材第 39 页例 1 教材第 39 页例 2 2 设粒子处在二维无限深势阱中 势阱形式是 0 求阱壁处的反射系数和透射系数 0 E 0 00 0 xV x xV 6 设体系处于 202111 YcYc 态 求 1 的可能测值及其相应的几率 平均值 z l 2 的可能测值及相应的几率 平均值 3 的可能测值及其相应的几率 平均值 2 l x l 7 荷电 q 的谐振子 受到外电场 的作用 其中势场的形式是xqxmxV 22 2 1 求能量本征值和本征函数 8 如果一维谐振子所处的势场为半壁无限高 即 0 2 1 0 22 xxm x xV 则体系的能级是什么 相应的波函数是什么 波函数是否具有确切的宇称 9 教材第 91 92 页习题 3 1 3 6 3 7 3 8