平面向量的内积_杨关顶.doc

73 平面向量的内积江门市第一职业高级中学 杨关顶【教学背景】向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，特别是向量的内积运算，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.【教材分析】两个向量的数量积区别于乘法，是以往教学内容中未出现过的运算法则。要理解数量积的定义有较大的难度，采用从特殊到一般的类比方法，因为学生熟知的功的概念，所以采取从向量内积的物理意义引出向量的数量积定义。在讲述向量内积时要补充说明：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.例题设计难度一般，重在理解内积的概念；练习设计有针对性，既巩固对内积公式的理解，又为引出向量的重要性质作铺垫。内积的三个运算律与一般的运算规律相同，举例验证即可.对于内积相乘的结合律暂且不讲，在以后的练习中补充说明.【教学目标】知识目标：（1）理角平面向量的内积的概念及其物理意义.（2）掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.能力目标：注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括，培养学生的思维能力.情感目标：通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识.【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念教 学 过 程教学环节教师活动与教学内容学生活动教具、仪器设备备注创设情境 引入新课动脑思考探索新知讲练结合巩固知识主动探索归纳结论知识应用激发兴趣一、引入水平地面上有一辆车，某人用100 N的力朝着与水平线成角方向拉小车, 使小车前进了10m那么，这个人做了多又少功？FsOF1WFS =Fcoss10010500注：力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积。观看深圳宝安高级中学陆春老师的视频教学平面向量内积的引入。网址：/show/3_VWIUKyVxKOtpgEuHM5FA.html?st=1_1_2_1二、内积定义两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作ab, 即 aba|b|cos 定义说明：1、 向量的夹角：向量a与向量b的夹角记作，取值范围0，180。2、 向量的内积是一个数量，所以内积又叫数量积3、 ab不能写成ab，ab是外积，ab=a|b|sin三、例题与练习例1 已知|a|3,|b|2, ,求ab解： ab|a|b| cos 32cos3练习：1、 已知|a|7，|b|4，a和b的夹角为，求ab2、 已知|c|3，|d|5，c和d的夹角为，求cd3、 已知|c|3，|d|5，c和d的夹角为，求cd4、 已知|a|3，|b|5，a和b的夹角为，求ab5、 已知|a|7,求aa例2 已知|a|b|,ab,求解： cos.由于 0，得四、内积性质与运算律（一）向量内积的四个重要结果：（1）当0时，ab|a|b|；当时，ab|a|b|.（2）aa|a|a|a|2，即|a|.（3）对于非零向量a，b有：ab0ab. （4）cos（二）向量的内积满足下面的运算律：（1） 交换律：abba（2） 对数乘的结合律：(a)b(ab)a(b)（3）分配律：(ab)cacbc例3、已知|a|2,|b|3, ，求(2ab)b解：(2ab)b=2ab+bb=2|a|b| cos+|b|2 =6+9练习：已知|a|3,|b|4, ，求(a+3b)a五、向量内积的应用介绍：平面向量的数量积ab是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等.如证明勾股定理：证明： =由C=90，得所以= = 即有关向理内积应用的详细介绍，布置学生课后登陆豆丁网浏览/p-488996822.html六、作业布置1、上网阅读内积应用的资料2、教材习题7.3A组学生观看视频，回答老师的提问朗读定义，熟记公式小组讨论积极提出疑问听老师解释定义 听讲例题，讨论求解互相讨论，完成练习动脑思考，在老师引导下归纳结论验证运算律听讲例题完成练习听老师介绍内积的应用，积极思考内积在以往所学知识中有哪些结论可用向量内积工具证明 记录网址投影仪、计算机、无线上网设备通过物理学中的力做功引入向量的内积定义，有利于激发学生的学习兴趣，帮助对内积定义的理解借助名师教学视频短片能提高学生的学习兴趣内积定义是本节的重点内容，采取全班朗读和个别背读方式引导学生提出对于内积定义的疑问，逐个解析，消除理解误区例题与练习环节既巩固学生对内积定义的理解，又为探讨内积性质做好准备注重对学生思维能力的培养，对性质的处理设计成由学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳实数乘法相类比得到内积运算律通过内积运算律的例题与练习，加深对运算律的认识介绍向量在数学知识中的应用 ，突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导在有限的课堂时间上不能对内积应用详尽介绍，在这里只是作抛砖引玉，推荐学生利用豆丁网站资源认真学习教学反思本节课内容完整，思维严谨，有以下5个环节：物理模型概念性质运算律应用。借助名师教学视频“力对物体做功”，引入内积概念；分小组讨论和教师分析理解内积的定义；通过例题与练习，巩固向量的数量积的定义；然后在练习的基础上引导学生探讨向量的重要性质；再通过和实数乘法相类比得到运算规律，并且举例验证，培养了学生类比创新的意识和以实例检验结论的思维方法；最后介绍向量内积的应用。通过这节课的教学，我有以下几点体会：1、对内积的性质要重点分析。内积的性质十分重要，是考试的重点，也是向量应用的主要工具，教学过程中采取引导归纳的方式，既要使学生明白性质，又要点到即止，不必讲得太多，在后面的课堂中再通过练习深入分析。2、要培养学生自主学习、主动探索的精神。在教学过程中引导学生积极思考，得出定义，鼓励学生质疑，积极思考、动手实践、自主探索等。教学过程的例题、练习、性质探究，要尽可能地让所有学生都能主动参与，互相交流，提出各自的见解，探索