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文档简介
第二章 波函数与Schrdinger方程2.1设质量为的粒子在势场中运动。（a）证明粒子的能量平均值为 ， （能量密度）（b）证明能量守恒公式 （能流密度） 证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化） （1） （势能平均值） （2）其中的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此 （3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度 （4） 且能量平均值 。（b）由（4）式，得 （ ：几率密度） （定态波函数，几率密度不随时间改变）所以 。2.2考虑单粒子的Schrdinger方程 （1）与为实函数。（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为证：（a）式（1）取复共轭， 得 （2） （1）-（2）,得 （3）即 ，此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积积分，得上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（ ） ，而第二项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.3 设和是Schrdinger方程的两个解，证明。证： （1） （2）取（1）之复共轭： （3）（3）（2）,得 对全空间积分：，（无穷远边界面上，）即 。2.4）设一维自由粒子的初态， 求。解： 2.5 设一维自由粒子的初态，求。提示：利用积分公式 或 。解：作Fourier变换： ， （） （指数配方）令 ，则 。2.6 设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后，式中 是的Fourier变换。提示：利用 。证：根据平面波的时间变化规律 ， ，任意时刻的波函数为 （1）当时间足够长后（所谓） ，上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取 ， ， （2）参照本题的解题提示，即得 （3） （4）物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在处的主要成分为，即，强度，因子描述整个波包的扩散，波包强度。设整个波包中最强的动量成分为，即时最大，由（4）式可见，当足够大以后，的最大值出现在处，即处，这表明波包中心处波群的主要成分为。2.7 写出动量表象中的不含时Schrdinger方程。解
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