善于洞察和思考问题的本质.doc

善于洞察和思考问题的本质看这样一个问题：在经全国中小学教材审定委员会2002年审查通过的全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）人民教育出版社中学数学室编著的教材中第100页的例4：点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数，求点的轨迹。解：设d是点F（c,0）到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P=M由此得将上式两边平方，并化简，得设，就可化成这就是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴长分别为、的椭圆由例4可知，当点M与定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心。对于椭圆，相应于焦点F(c,0)的准线方程是，根据椭圆的对称性，相应于焦点的准线方程是，所以椭圆有两条准线。这是大家众所周知的椭圆的第二定义了，也是本例的第一个目的，但这其中所蕴含的不仅是第二定义本身，还有一个隐藏的关系，那就是在相应条件下如果焦点的横坐标除以准线上点的横坐标等于离心率的平方，那么这个椭圆的方程是相应的标准方程，并且焦点的横坐标就等于半焦距。也就是说如果相应情形下焦点横坐标除以准线上点的横坐标不等于离心率的平方，那么这个椭圆的方程一定不是标准方程，所以此时焦点的横坐标也不等于半焦距，我个人以为这一点是该例的第二个意图。 例如，习题9.2的第9题：点P与定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1：2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？显然由椭圆的第二定义可得轨迹是一个椭圆,且2/8=,所以很快可以判定其方程是标准方程，半焦距c等于2，,用待定系数法很容易求得椭圆方程为,但是如果将本题变为:点P与定点F（3，0）的距离和它到定直线x=9的距离的比是1：2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？此时3/9,半焦距c不等于3,不能用待定系数法求该椭圆的方程，那么怎样求其方程呢？当然可以用直接法求：解法一，设P（x,y）,d为P到定直线x=9的距离,则,从而有,化简得,可化为，但是除此之外呢？我们其实可以从得到的最后结果的形式中得到启示：所求的椭圆只是将标准方程下的椭圆向右平移即可得到，因此我们可以将变式中的焦点和准线作相应平移使之回到标准方程下的椭圆，则有解法二：设标准方程下的椭圆的焦点为、则准线方程为x=9+t,由，可求得t=-1, 从而可知所求椭圆是将“半焦距为2、离心率为的标准方程下的椭圆”向右平移1个单位可得，从而所求方程为。陈述以上做法并不是要说明这个方法是如何的简便和奇妙，而是抛砖引玉地想表明一点：对待任何一个问题，如果带着探个究竟的态度将会得到你曾经没有想到的意外的收获，一个问题的解决会变得广阔而明朗，此时我们能感觉到数学的美妙的意境带给我们的快乐是其它任何快乐都无法替代的快乐，这对每个人的人生又何尝不是一种启示呢？ 其实，数学上一个问题的多种解法就象人们走向成功时所走的不同的道路一样，每条道路上都有着不同的独有的风景。一个人所走的路越多，看到的风景也就更多，也就有更多的领悟。如果人永远只走一条固定不变的路而不去思索，那他永远也体会不到世界的丰富多彩，他永远只有一个视角，那就是只有他心中的那种颜色才能描绘出美丽的图画，其实还有许多别的颜色也能描绘出不一样的但同样美的图画；他永远只喜欢一种味道，那就是他一直在恋恋不忘从不愿放弃的味道，可是他固执地没有品尝到其它的同样让人回味无穷的味道。所以我们要让学生走学会大胆地走不同的路，而不是在一条道路上徘徊，才能有各种各样的视觉，才可能品尝到更多更可口的味道，才能在比较中成长，才能在社会上立于不败之地。教师在学生投入地学习数学的过程中抓住一题多解的契机就能让学生悟出这样的受用一生的道理，这