湖南省邵东县第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）习题解答.pdf

湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 文科 文科 1 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 2 2018018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 数数 学学 文科 文科 教师卷教师卷 本试题卷分为选择题和非选择题两部分 共 4 页 时量 120 分钟 总分 150 分 考生务必将答案答在答题 卡上 在试卷上作答无效 一 选择题一 选择题 共 12 小题 每小题只有一个选项正确 每小题 5 分 共 60 分 1 已知 n a为等差数列 其公差为2 且 7 a是 3 a与 9 a的等比中项 n S为 n a的前n项和 nN 则 10 S的值为 A 110B 90C 90D 110 答案 D 解析 由题意得 2 739 aaa 又公差2d 2 333 812aaa 3 16a 11038 1033 10 10 5 5 22 aaaa Saad 5 16 16 10 110 故选 D 2 设等差数列 n a的公差为d 若数列 1 2 n a a 为递减数列 则 A 0d B 0d C 1 0a d D 1 0a d 答案 D 解析 设 1 2 n a a n b 则 11 1 2 n a a n b 由于 1 2 n a a 是递减数列 则 1nn bb 即 111 22 nn a aa a 2xy 是单调增函数 111nn a aa a 11 0 nn a aa ad 1 0 nn a aad 即 1 0ad 1 0a d 3 如果命题 非p或非q 是假命题 给出下列四个结论 命题 p且q 是真命题 命题 p且q 是假命题 命题 p或q 是真命题 命题 p或q 是假命题 其中正确的结论是 A B C D 答案 A 解析 命题 非p或非q 是假命题 非p 非q均为假命题 p q均为真命题 故命题 p且q p或q 均为真命题 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 文科 文科 2 4 若实数x y满足 10 0 0 xy xy x 则 2 3x y z 的最小值是 A 0B 1C 3D 9 答案 B 解析 作出不等式对应的平面区域 易知2mxy 在经过 0 0 点时取得最小值 0 故 20 331 xy z 故选 B 5 一个凸多边形的内角成等差数列 其中最小的内角为120 公差为5 那么这个多边形的边数n等于 A 12B 16C 9D 16或9 答案 C 解析 由题意得 1 120151802 2 nn nn 化简整理 得 2 251440nn 解得9n 或16n 当16n 时 最大角为 12016 15195180 不合题意 16n 故选 C 6 设点 P x y 其中 x yN 满足3xy 的点P的个数为 A 10B 9C 3D 无数个 答案 A 解析 作 3 xy x yN 的平面区域 如图所示 符合要求的点P的个数为10 故选 A 7 已知平行四边形ABCD的三个顶点为 1 2 3 4 4 2ABC 点 x y在平行四边形ABCD的内 部 则25zxy 的取值范围是 A 14 16 B 14 20 C 12 18 D 12 20 答案 B 解析 如图 由平行四边形ABCD的三个顶点 1 2 3 4 4 2ABC 可知D点坐标为 0 4 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 文科 文科 3 由25zxy 知 2 55 z yx 当直线 2 55 z yx 过点 3 4B时 min 14z 当直线 2 55 z yx 过点 0 4D 时 max 20z 点 x y在平行四边形ABCD的内部不包括边界 z的取值范围为 14 20 8 已知1 1xy 且16xy 则 22 loglogxy A 有最大值 2B 等于 4C 有最小值 3D 有最大值 4 答案 D 解析 1 1xy 22 log0 log0 xy 又 16xy 由基本不等式得 2 222 22 logloglog loglog 4 22 xyxy xy 当且仅当4xy 时取等号 故选 D 9 已知命题 2 1 2 0pxxa 命题 2 220qxR xaxa 若命题pq 是真命题 则实 数a的取值范围是 A 2a a 或1 a B 1a a C 2a a 或12 a D 21aa 答案 A 解析 对于命题p 当 1 2x 时 2 0 xa 恒成立 所以1a 对于命题q 方程 2 220 xaxa 有实数解 所以 2 4480aa 解得1a 或2a 由于pq 是真命题 所以2a 或1a 故选 A 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 文科 文科 4 10 设椭圆C 22 22 1 xy ab 0 ab 的左 右焦点分别为 1 F 2 F P是C上的点 212 PFFF 12 30PFF 则椭圆C的离心率为 A 3 6 B 1 3 C 1 2 D 3 3 答案 D 解析 本题考查的是椭圆的定义与性质 解三角形的有关知识 如图 在 12 tRPFF 中 12 2FFc 设 2 PFx 则 1 2PFx 由 2 12 3 tan30 23 PFx FFc 得 2 3 3 xc 由椭圆的定义得 12 23PFPFax 3 3 2 axc 3 33 cc e ac 故选 D 11 设定点 1 0 3F 2 0 3F 动点P满足条件 12 9 0PFPFaa a 则点P的轨迹是 A 椭圆B 线段C 不存在D 椭圆或线段 答案 D 解析 0a 9 6a a 当 12 9 6aFF a 时 由点P满足条件 1212 9 a PFPFFF a 得 点P的轨迹是线段 12 FF 当 12 9 6aFF a 时 由点P满足条件 1212 9 PFPFaFF a 得 点P的轨迹是以 1 F 2 F为焦点的椭圆 综上 点P的轨迹是线段 12 FF或椭圆 故选 D 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 文科 文科 5 12 中心在原点 焦点坐标为 0 5 2 的椭圆被直线320 xy 截得的弦的中点的横坐标为 1 2 则椭圆 方程为 A 22 22 1 2575 xy B 22 22 1 7525 xy C 22 1 2575 xy D 22 1 7525 xy 答案 C 解析 由题意 可设椭圆方程为 22 22 10 xy ab ab 且 22 50ab 即方程 22 22 1 50 yx bb 将直线 320 xy 代入 整理成关于x的二次方程 由 12 1xx 可求得 2 25b 2 75a 二 填空题二 填空题 共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 在等差数列 n a中 n S是它的前n项的和 若 1 0a 16 0S 17 0S 则当n 时 n S 最大 答案 8 解析 116 1689 117 179 16 80 2 17 170 2 aa Saa aa Sa 8 0a 而 1 0a 数列 n a是一个前8项均为正 从第9项起为负值的等差数列 从而8n 时 n S最大 14 若0 0 2abab 则下列不等式对一切满足条件的 a b恒成立的是 写出所有正确 命题的编号 1ab 2ab 22 2ab 33 3ab 11 2 ab 答案 解析 两个正数 和为定值 积有最大值 即 2 1 4 ab ab 当且仅当ab 时取等号 故 正确 2 2224abababab 当且仅当ab 时取等号 得2ab 故 错误 由于 222 1 24 abab 故 22 2ab 成立 故 正确 332222 2 abab abababab 1ab 又 22 2ab 22 1abab 33 2ab 故 错误 1111 11 12 222 abab ababba 当且仅当ab 时取等号 故 正确 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 文科 文科 6 15 已知实数 x y满足不等式组 20 40 250 xy xy xy 目标函数 zyax aR 若取最大值时的唯一最优解 是 1 3 则实数a的取值范围是 答案 1 解析 如图所示 依题意直线40 xy 与20 xy 交于 1 3A 此时取最大值 故1a 16 已知椭圆 22 1 94 xy C 点M与C的焦点不重合 若M关于C的焦点的对称点分别为A B 线段 MN的中点在C上 则ANBN 答案 12 解析 解法一 由椭圆方程知椭圆C的左焦点为 1 5 0F 右焦点为 2 5 0F 则 M m n关于 1 F的对称点为 2 5 Amn 关于 2 F的对称点为 2 5 Bmn 设MN的中点为 x y 所以 22 22 5222 52ANBNxyxy 22 255xyxy 故由椭圆定义可知2 612 ANBN 解法二 根据已知条件画出图形 如图 设MN的中点为P 12 F F为椭圆C的焦点 连接 12 PF PF 显然 12 PF PF分别是 MANMBN 的中位 线 1212 222 2 612 ANBNPFPFPFPF 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 文科 文科 7 三 三 解答题解答题 本大题共 7 小题 满分 70 分 17 10 分 已知等比数列 n a中 1 1 3 a 公比 1 3 q 1 n S为 n a的前n项和 证明 1 2 n n a S 2 设 31323 logloglog nn baaa 求数列 n b的通项公式 答案 1 证明 因为 1 111 333 n n n a 11 1 1 1 33 3 1 2 1 3 n n n S 所以 1 2 n n a S 2 因为 31323 logloglog nn baaa 1 12 2 n n n 所以 n b的通项公式为 1 2 n n n b 18 12 分 已知椭圆的离心率为 其中左焦点为 1 求椭圆的方程 2 若直线与椭圆交于不同的两点 且线段的中点在圆上 求 的值 答案 1 由题意 得解得 椭圆的方程为 2 设点 的坐标分别为 线段的中点为 由消去 得 点在圆上 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 文科 文科 8 19 12 分 已知p 2 290 xxa q 2 2 430 680 xx xx 且q 是p 的必要条件 求实数a的取值范 围 答案 由 2 2 430 680 xx xx 得 13 2 4 x x 即23x q 23x 设 2 290Axxxa 23Bxx pq qp BA 即23x 满足不等式 2 290 xxa 设 2 29f xxxa 要使23x 满足不等式 2 290 xxa 需 20 30 f f 即 8 180 18270 a a 9a 故所求实数a的取值范围是 9a a 解析 20 12 分 经过多年的运作 双十一 抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴 为迎 接 2018 年 双十一 网购狂欢节 某厂家拟投入适当的广告费 对网上所售产品进行促销 经调查测算 该促 销产品在 双十一 的销售量p万件与促销费用x万元满足 2 3 1 p x 其中0 xa a为正常数 已知生产该产品还需投入成本102p 万元 不含促销费用 产品的销售价格定为 20 4 p 元 件 假定厂家 的生产能力完全能满足市场的销售需求 1 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数 2 促销费用投入多少万元时 厂家的利润最大 并求出最大利润的值 答案 1 由题意知 20 4102ypxp p 将 2 3 1 p x 代入化简得 4 160 1 yxxa x 2 14 171172113 11 yxx xx 当且仅当 4 1 1 x x 即1x 时 上式取等号 当1a 时 促销费用投入 1 万元时 厂家的利润最大 当1a 时 4 171 1 yx x 在 0 a上单调递增 所以xa 时 函数有最大值 即促销费用投入a万元时 厂家的利润最大 综上 当1a 时 促销费用投入 1 万元 厂家的利润最大 当1a 时 促销费用投入a万元 厂家的利润最大 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 文科 文科 9 21 12 分 已知数列 n a满足 11 1 1 1 4 n n aa a 其中 nN 1 设 2 21 n n b a 求证 数列 n b是等差数列 并求出 n a的通项公式 2 设 4 1 n n a c n 数列 2nn c c 的前n项和为 n T 是否存在正整数m 使得 1 1 n mm T c c 对于 nN 恒成立 若存在 求出m的最小值 若不存在 请说明理由 答案 1 1 1 22 2121 nn nn bb aa 22 211 2 11 4 n n a a 42 2 2121 n nn a aa 常数 数列 n b是等差数列 1 1a 1 2b 因此 2122 n bnn 由 2 21 n n b a 得 1 2 n n a n 2 由 41 12 n nn an ca nn 得 2 n c n 2 411 2 2 2 nn c c n nnn 1111111 2 1 324352 n T nn 111 2 13 212nn 依题意要使 1 1 n mm T c c 对于 nN 恒成立 只需 1 1 3 mm c c 即 1 3 4 m m 解得3m 或4m 又m为正整数 所以m的最小值为3 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 文科 文科 10 22 12 分 椭圆C 22 22 1 xy ab a b 0 的左 右焦点分别是 12 F F 离心率为 3 2 过 1 F且垂直于x 轴的直线被椭圆C截得的线段长为1 1 求椭圆C的方程 2 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 连接 1 PF 2 PF 设 12 FPF 的角平分线PM交C的长轴于点 0M m 求m的取值范围 3 在 2 的条件下 过点P作斜率为k的直线l 使得l与椭圆C有且只有一个公共点 设直线 1 PF 2 PF的 斜率分别为 12 k k 若0k 试证明 12 11 kkkk 为定值 并求出这个定值 答案 1 由于 222 cab 将xc 代入椭圆方程 22 22 1 xy ab 得 2 b y a 由题意知 2 2 1 b a 即 2 2ab 又 3 2 c e a 所以2 1ab 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 2 方法一 设 000 0 P xyy 又 1 3 0F 2 3 0F 所以直线 12 PF PF的方程分别为 1 000 330 PF ly xxyy 1 000 330 PF ly xxyy 由题意知 0000 22 22 0000 33 33 myymyy yxyx 由于点P在椭圆上 所以 2 2 0 0 1 4 x y 所以 22 00 33 33 22 22 mm xx 因为33m 0 22x 可得 00 33 33 22 22 mm xx 所以 0 3 4 mx 因此 33 22 m 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 文科 文科 11 方法二 设 00 P xy 当 0 02x 时 当 0 3x 时 直线 2 PF的斜率不存在 易知 1 3 2 P 或 1 3 2 P 若 1 3 2 P 则直线 1 PF的方程为4 330 xy 由题意得 3 3 7 m m 因为33m 所以 3 3 4 m 若 1 3 2 P 同理得 3