嘉陵二中圆和圆的位置关系-数学习题及答案.doc

圆和圆的位置关系1、定义：（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。 外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。（图（1） 内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5）。两圆同心是两圆内含的一个特例。（图（6）（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切 外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（2）内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（4）（3）两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交。（图（3）注意：（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素。两圆外切与内切也有这样的比较。（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）。提问：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交。除以上关系外，还有其它关系吗？可能不可能有三个公共点？答：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”判断出这两个圆是同一个圆。即重合。结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系。2、两圆位置关系的数量特征设两圆半径分别为R和r。圆心距为d，用电脑或投影再次出示两圆的五种位置关系，让学生观察R，r和d之间有何数量关系？学生很可能只说出dR-r，则应向学生说明，这时两圆还可能外切或外离，如果只说出dR+r，则还可能内切或内含。结合上图会发现R，r和O1O2构成AO1O2的三边。所以只有R-rdR+r时。才能判定两圆相交。反过来也成立，于是有：为了方便记忆，将这五种数量关系用数轴表示为：例：如图，O的半径为5厘米，点P是O外一点，OP=8厘米。求：（1）以P为圆心作P与O外切，小圆P的半径是多少？（2）以P为圆心作P与O内切，大圆P的半径是多少？解：（1）设小圆P与O外切于点A，则PA=OPOA=85=3cm 所以P1的半径是3cm （2）设大圆P与O内切于点B，则 PB=OP+OB =8+5 =13cm 所以P2的半径是13cm3、相切两圆的性质。P109思考观察发现：相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆圆心的直线叫连心线，是它们的对称轴相切两圆的连心线的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。（轴对称来说明，证明可用反证法，不作要求）例：如图，已知，O1和O2外切于P，并且O和O1、O2分别内切于M、N， O1O2O的周长为18cm。求：O的半径长。解：设O、O1、O2的半径分别为R、r1、r2O1和O2相外切O1O2=r1+r2又O和O1、O2分别相内切 O1O=Rr1，O2O=Rr2。O1O2O的周长为18cm即O1O2+O1O+O2O=（r1+r2）+（Rr1）+（Rr2）=18。R=9（cm）例：O1与O2相交于A、B两点，求证：直线O1 O2垂直平分AB。证：连接O1A、O1B、O2A、O2BO1A= O1BO1在AB的垂直平分线上 O2 A=O2BO2在AB的垂直平分线上直线O1 O2垂直平分AB总结：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。例：已知：两个等圆O1和O2相交于A，B两点，O1经过点O2。求O1AB的度数解：圆O1经过O2O1AO2=60O1A=O1B，O2A=O2BO1AB=O1AO2=30在解决有关相交两圆的问题时，常常添加以下几种辅助线：连心线、公共弦、连结交点与圆心。从而可以把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到同一个三角形中，利用三角形的有关知识加以解决。例：如图，已知O1和O2相交于点A、B，O1在O2上，AC是O1的直径，CB与O2相交于点D，连结AD。（1）求证：AD是O2的直径。（2）求证：DA=DC。证明：（1）连结AB，AC是O1的直径，ABC=90，ABD=90，AD是O2的直径。（2）连结O1O2，AO1O1C，AO2=O2D，O1O2CD，C=AO1O2。又O2A=O2O1，O2AO1=AO1O2，C=O1AO2，DA=DC。例：相交两圆的公共弦长为6，若两圆半径分别为8和5，则两圆的连心线为_？解：圆心在公共弦两侧为AB的垂直平分线AB，AC=CBAO1=8，AC=3圆心在公共弦同侧同例：已知：圆O1与圆O2是等圆，相交于A、B，O2在圆O1上，AC是圆O2的直径，直线CB交圆O1于D，E为AB延长线上一点。（1）证明：AD是圆O1的直径；（2）若E=60，求证：DE是圆O1的切线。*两圆相交，通常连公共弦，把两圆中的边和角连接起来。证：（1）AC是圆O2的直径ABDCABD=90AD为圆O1的直径。（2）法一：AD是圆O1的直径点O1为AD中点，连O1O2点O2在圆O1上，圆O1与圆O2的半径相等是等边三角形AO1O2=60由中位线ADB=AO1O2=60ABDC，E=60BDE=30ADE=ADB+BDE=60+30=90AD直径DE是圆O1的切线法二：连O1O2点O2在圆O1上，圆O1与圆O2的半径相等点O1在圆O2上O1AO2=60AB公共弦ABO1O2O1AB=30E=60ADE=180（E+O1AB） =180（60+30）=90AD是直径，DE是切线例：已知，如图所示，圆O1与圆O2相交于A、B两点，圆心O1在圆O2上，过B点作两圆的割线CD，射线DO1交AC于E点。求证：OEAC证：连结AB、作圆O1的直径AC1AC1为直径BAC1+AC1B=90C=C1C1AB=DC+D=90DEAC例：已知，如图所示，圆O1与圆O2相交于A、B两点，过A点的弦分别交两圆于C、D，弦CE/DB，连结EB，试判断EB与圆O2的位置关系，并证明你的结论。证：连结BO2并延长交圆O2于F，BF为直径1+2=90EC/DBE+EBD=180E+EBO2+3=1802=E，1=32+1+EBO2=180EBO2=90，O2BEB，EB与圆O2相切。【模拟试题】（答题时间：25分钟） 1. 若两圆无公共点，则两圆的位置关系为_。 2. 若两圆有公共点，则两圆的位置关系为_。 3. 已知两圆半径为12.4cm和7.3cm，则两圆相切时，圆心距等于_。 4. 已知两圆的半径之比为3：5，若两圆内切时圆心距等于6cm，则两圆的半径分别为_；若两圆无公共点，则圆心距d的取值范围为_。 5. 若两圆半径为r和R，圆心距为d，且dr），其圆心距为d，且有，则两圆的位置关系为_。 10. 若两圆半径分别为R和r，圆心距为d，且，则两圆位置关系为_。 11. 已知圆O1和圆O2相切，这个图形是_对称图形，它的对称轴是_，切点与对称轴的位置关系为_。 12. 两个半径相等的圆的位置关系有_种。 13. 已知两圆的半径R、r（）是方程的两根，两圆的圆心距为d。（1）若d=5，试判定两圆的位置关系；（2）若d=2，试判定两圆的位置关系；（3）若两圆相交，试确定d的取值范围；（4）若两圆相切，求d的值。 14. 已知，如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1m的水泥管两两相切摞在一起，求其最高点到地面的距离。【试题答案】 1. 外离或内含 2. 外