工程数学 标量场及其梯度.pdf

CQU 对于区域对于区域V 内的任意一点内的任意一点r 若有某种 若有某种 物理量的一个确定的数值或标量函数物理量的一个确定的数值或标量函数 r 与与 之对应 我们就称这个标量函数之对应 我们就称这个标量函数 r 是定义是定义 于于V 内的标量场 内的标量场 o r f r V 标量场有两种 标量场有两种 与时间无关的恒稳标量场 用与时间无关的恒稳标量场 用 r 表示 表示 与时间有关的时变标量场 用与时间有关的时变标量场 用 r t 表示 表示 1 2 11 2 1 标量场定义及图示标量场定义及图示 1 2 标量场及其梯度标量场及其梯度 CQU 标量场的图示标量场的图示 等值线等值线 面面 f x y zC 其方程为其方程为 f 0 f 1 f 1 f 2 f 3 等值线等值线 作图原则作图原则 1 1 等值线 等值线 面面 不能相交 不能相交 2 2 相邻等值线 面 差值为常数 相邻等值线 面 差值为常数 沿什么方向场变化最快 沿什么方向场变化最快 1 2 标量场及其梯度标量场及其梯度 CQU 点位移导致点位移导致 的改变的改变 x y z x dx y dy z dz d dl y z x o 位移用线元矢量表示 位移用线元矢量表示 dl dx ex dy ey dz ez 1 1 梯度的导出梯度的导出 下图中 由下图中 由 x y z 点到邻近的点到邻近的 x dx y dy z dz 点的微分点的微分 位移位移dl 将导致场函数有一微分增量将导致场函数有一微分增量d f 1 2 2 梯度与方向导数梯度与方向导数 1 2 标量场及其梯度标量场及其梯度 CQU 标量场的相应微增量标量场的相应微增量d 则为 则为 z z f y y f x x f fdddd d d xyz fff f xyz eeel zyx z f y f x f fgradfeee 标量场标量场 x y z 在在 x y z 点的点的梯度梯度 gradient 定义为定义为 ddff l因此因此 d zyx z f y f x f feee dx ex dy ey dz ez 1 2 标量场及其梯度标量场及其梯度 CQU 讨论讨论 上式的表达形式与坐标系无关 它是标量场的上式的表达形式与坐标系无关 它是标量场的梯度的定义式梯度的定义式 梯度是矢量梯度是矢量 它有的大小和方向 它有的大小和方向 ddff l cosdddlfff l 在在dl为定长的条件下 当为定长的条件下 当 0 0即即d dl的取向与的取向与 f 的方向一致时 的方向一致时 d 才具有最大值才具有最大值d max lf d 或是 或是 max max l f l f f d d d d 可见梯度的模是标量场可见梯度的模是标量场 f x y z 在点在点 x y z 的的最大变化率最大变化率 梯 梯 度的方向是度的方向是获得这个最大变化率应沿着的方向获得这个最大变化率应沿着的方向 1 2 标量场及其梯度标量场及其梯度 CQU 2 2 方向导数与梯度的关系方向导数与梯度的关系 偏导数偏导数 分别叫做分别叫做 在在x y z 方向方向 上的上的方向导数方向导数 用梯度表示为 用梯度表示为 x f y f z f zz yy xx ff z f ff y f ff x f e e e 推广到推广到 x y z 在某点沿任意矢量在某点沿任意矢量 l 方向的方向导数方向的方向导数 则应则应 表示为表示为 ll ff l f e 式中式中 el是是l 的单位矢量 的单位矢量 1 2 标量场及其梯度标量场及其梯度 方向导数表示场沿某方向的空间变化率方向导数表示场沿某方向的空间变化率 CQU 3 3 梯度的物理意义 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量 是空间坐标的函数 是空间坐标的函数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向 即与等即与等 值线 面 值线 面 相垂直相垂直的方向 它指向函数的增加方向 的方向 它指向函数的增加方向 梯度的大小为该点标量梯度的大小为该点标量函数函数 f 的最大变化率 的最大变化率 即该点即该点最大方向导数最大方向导数 CQU 电位场的负梯度电位场的负梯度 与过该点的等位线垂直与过该点的等位线垂直 数值等于该点的最大方向导数 数值等于该点的最大方向导数 指向电位减小的方向 指向电位减小的方向 CQU 4 4 哈密顿算子 哈密顿算子 读作 读作del或或nabla 直角坐标系中的具体形式为直角坐标系中的具体形式为 zyx zyx eee 使用使用算符时注意几点 算符时注意几点 单独存在没有任何意义 单独存在没有任何意义 算符虽然不是一个真实矢量 但在运算中 必须视为矢算符虽然不是一个真实矢量 但在运算中 必须视为矢 量 并令它具有矢量的一般特性 量 并令它具有矢量的一般特性 即即 在不同坐标系中 在不同坐标系中 算符有不同的表达形式 算符有不同的表达形式 2 0 CQU 5 5 梯度的基本运算公式 梯度的基本运算公式 0 c c 为常数 为常数 fccf gfgf gffggf 2 ggffggf uufuf CQU 6 6 梯度运算的几个基本关系式 梯度运算的几个基本关系式 相对坐标标量函数相对坐标标量函数 f r r ff 证明证明 在直角坐标系中 在直角坐标系中f r r f x x y y z z zyxzyx z f y f x f z f y f x f eeeeee z f z f y f y f x f x f 令令 x x X y y Y z z Z 应用复合函数求导法则可得应用复合函数求导法则可得 X XXX fffxxf xxx X X X X f x xxf x f x f 即有即有 x f x f 上式重写为上式重写为 等式若成立 则应有等式若成立 则应有 同理可得同理可得 ffff yyzz ff CQU 相对位置矢量相对位置矢量R r r 的模的模 R r r R R R R e 23 1 RR R R eR 证明证明 在直角坐标中 在直角坐标中 zyx zzyyxxeeeR 1 2222 zzyyxxR R xx R xx zzyyxx x zzyyxx x R 2 2 1 222 1 2222 2 1 则则 R zz z R R yy y R 同理有同理有 CQU 根据算符的微分特性可得根据算符的微分特性可得 222 111 R R RRRRR eR R 0 于是于是 Rzyx zyx R zzyyxx R z R y R x R R e R eee eee 1 CQU 例例 1 求求 f 4e 2x y z 在点在点P1 1 1 1 处的由该点指向处的由该点指向P2 3 5 6 方向上的方向导数 方向上的方向导数 22 22 4e 4 e 4e 2 4e 2 x y zx y z x y zx y z xyz f xyz eee 4 2 24e 112 1 zyxzyx P feeeeee 9 744 81 744 744 1 6 1 5 13 1 2222 12 12 12 zyxzyx zyx R eeeeee eee R e 解 解 CQU 于是 于是 f 在在P1 处沿处沿R12 方向上的方向