排列组合的综合应用.doc

排列组合的综合应用一、明确复习目标1.加深对排列、组合意义理解;2.掌握有关排列、组合综合题的一些常用解法;3.学会分类讨论的思想,提高分析问题和解决问题的能力. 二建构知识网络解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,透过问题的表面现象,看出问题的数学本质.然后,要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1.优限法:优先解决带限制条件的元素或位置，或说是“先解决特殊元素或特殊位置”.2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.如：5人站成一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 =156种排法。3.排除法.从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4.捆绑法:某些元素必相邻的排列.可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列，然后再再给那“一捆元素”内部排列.5.插空法:某些元素不相邻的排列.可以先排其它元素然,再让不相邻的元素插空;6.插板法：n个 相同元素,分成m(mn)组,每组至步一个的分组问题把n个元素排成一的排,从n-1个空中选m-1个空,各插一个隔板,有.例如:n个相同的小球分给m个人,每人至少一个小球的分法有种分法.如果没有“每人至少一个”的限制,则需设想“每人先献出一个小球”,再对n+m个小球用“插板法”,有种.7.分组、分配法：分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别。一般地平均分成n堆（组），必须除以n!, 如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m！例如：6本不同的书分成三组，分别是1本、2本、3本，共有 =60种分法；6本不同的书分成三组，每组2本，共有3！=15种分法；6本不同的书分成三组，分别是1本、1本、4本，共有2！=15种分法；分配问题(有序分组):逐个分给.例如:7本不同的书,分给甲、乙、丙三个人,依次得3、2、2本，有 =210种分法。如果不明确谁得3本,谁得2本呢?(先分组再分配,或先确定确定得3个球,再逐个分)8.错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：三、双基题目练练手1(2005湖北文)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ）A168B96C72D1442（2006北京）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 ( )A.36个B.24个 C.18个D.6个3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 ( )ABDC12345678PA.234 B.346 C.350 D.3634. (2005江苏) 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 （ ）A96 B.48 C.24 D.05.某校准备参加2008年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_种.6.(2006陕西) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种7. (2005春北京)从1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_个，其中不同的偶函数共有_个（用数字作答）8. (2005浙江)从集合O，P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_(用数字作答)简答:1-3.DBBB; 3.（1）前排一个，后排一个，2CC=192.（2）后排坐两个（不相邻），2（10+9+8+1）=110.（3）前排坐两个，2（6+5+1）+2=44个.总共有192+110+44=346个.解法二：考虑中间三个位置不坐，4号座位与8号座位不算相邻.总共有A+2+2=346个.答案：B4.先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入4个仓库内共有A44=24种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放:7放入，8放入，5放入，6放入;或者6放入，7放入，8放入，5放入两种放法.综上所述:共有A442=48种放法.故选B.5.用隔板法：C=C=36. 6. 600; 7. 18 6; 8. 8424.四、经典例题做一做【例1】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内(1)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解:（1） =1200（种） (2)-1=119（种） (3)不满足的情形：第一类，恰有一球相同的放法：9=45第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法： 先让1号球放，1号球放到哪个盒中就让哪个球放，有 4(2+33)=44 (种) , 满足条件的放法数为：-45-44=31（种） 【例2】某运输公司有3个车队,每个车队有10辆汽车, 现从这3个车队中选派6辆汽车执行一项运输任务,每个车队至少1辆共有多少种选派方法? 分析：这里所谓不同的选派方法，只是每个车队派车数目的不同，是相同元素的分组问题用“插板法” 解：把6个派车指标排成一排，是一种排法，有5个空，插2个板，分成3组即可，共有 =10（种）拓展引伸：方程x+y+z=7有多少组正整数解？（看成7个相同的元素分给3人） 若求方程x+y+z=7有多少组自然数解呢？（让3人每人拿出1个元素，如上法分10个元素）【例3】某学习小组有8名同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中共有男女同学多少人？解：设有男生n人，女生8-n人，