数值分析复习大纲及课后答案.doc

数值分析复习大纲编者：向穗华 时间：2010.5教材：数值分析（第5版）. 李庆扬，王能超等编著. 2008年12月第5版.第1章 数值分析与科学计算引论1.1 知识要点总结1. x：准确值2. ：近似值3. ：绝对误差 4. ：误差限 5. ：相对误差 6. ：相对误差 7. 具有n位有效数字，则： 8. 误差 误差限 9. 误差 ，则数值稳定10. 计算函数值问题的条件数，则问题是变态的。11. 避免误差危害，防止有效数字损失，通常要避免两相近数相减和用绝对值很小的数做除数，还要注意运算次序和减少运算次数。12. 秦九韶，求和由由1.2 课后习题参考答案1设,的相对误差为，求的误差。解：令的相对误差为的误差为所以，的误差为2设的相对误差为2%，求的相对误差。解：令的相对误差为2%的相对误差为所以，的相对误差为0.02n3下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：, , ,解：是5位有效数字；是2位有效数字；是4位有效数字；是5位有效数字；是2位有效数字。4利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .其中均为第3题所给的数。解：5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：令球体体积函数的相对误差限为1所以，度量半径R时允许的相对误差限是0.336设，按递推公式 （n=1,2,）计算到。若取（5位有效数字），试问计算将有多大误差？解： 依次代入后，有即，若取, 的误差限为。7求方程的两个根，使它至少具有4位有效数字（）。解：，故方程的根应为故 具有5位有效数字具有5位有效数字9正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过？解：令正方形的面积函数为正方形的边长大约为100cm的误差为所以，测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过11序列满足递推关系 (n=1,2,),若（三位有效数字），计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：设的误差为，的近似值为计算到时误差为这个计算过程不稳定12计算，取，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？, , ， 。解：设，条件数为，设，条件数为设，条件数为设，条件数为可见，最小通过计算后得到的结果最好。13,求的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。计算，求对数时误差有多大？解：令，则当x30时y0.0167所以，误差为令，则当x30时z59.9833所以，误差为14用秦九韶算法求多项式在x3处的值。解：由15用迭代法求方程的正根，取，计算到，问有几位有效数字。解：所以，有2位有效数字22第2章 插值法2.1 知识要点总结1. n次插值多项式：2. 已知n1个点拉格朗日插值多项式，为n次插值基函数。性质：3. 令4. 拉格朗日插值余项5. 牛顿均差插值多项式均差6. 牛顿均差插值余项7.8. 埃尔米特插值（1）已知，求插值余项：（2）已知，求详细的计算方法请参见教材P37382.2 课后习题参考答案1. 当时，,求的二次插值多项式。（2）用拉格朗日插值基底（3）用牛顿基底解：（2）则二次拉格朗日插值多项式为 （3）略。2. 给出的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知，若采用线性插值法计算即，则 若采用二次插值法计算时， 3.给全的函数表，步长若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。解：求解近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播，记为；另一方面，利用插值法求函数的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差，记为。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当时，令取当时，线性插值多项式为函数表具有5位有效数字插值余项为设，则，,，最大值为6.在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为设步长为h，即令，则设当时，得在处有顶点，若截断误差不超过，则8. 求及。解：若则14. 求次数小于等于3的多项式P（x），使其满足条件解：令则，次数小于等于3为三次式令由得b1由得a2令由得ab1由得3a2b0a2 b3令则由得a1令则由得a116.求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于3的多项式设其中，A为待定常数从而第3章 函数逼近与快速傅里叶变换3.1 知识要点总结1. 称为连续函数空间称为具有p阶连续导数的函数空间2. 若不全为0，能使上式成立，则，线性相关。若全为0，才能使上式成立，则，线性无关。3. 若线性空间S是由n个线性无关元素生成的，即对都有则称为空间S的一组基，记为，并称S为n维空间。系数称为x在基下的坐标，记为4.伯恩斯坦多项式5. 若，为上的权函数且满足则称与在上带权正交。6. 若函数族满足关系则称是上带权正交族7.设是上首项系数的n次多项式，为上的权函数。如果多项式序列满足正交函数族关系，则称多项式序列为在上带权正交，称为在上带权的n次正交多项式。8. 只要给定区间及权函数，均可由一族线性无关的幂函数，利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列9. 是关于的线性方程组，称为法方程。即解出最佳平方逼近多项式3.2 课后习题参考答案1 ，给出上的伯恩斯坦多项式及。解：伯恩斯坦多项式为其中当时，当时，8.对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式解：是首项系数为1的多项式设在区间上带权函数正交由，得解得c=0解得a0 b2/5略。12. 设，试求在上关于，的最佳平方逼近多项式。若取，那么最佳平方逼近多项式是什么？解：，关于的最佳平方逼近多项式第二问同理，略。13.略（提示：）14.求函数在指定区间上对于的最佳逼