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第1 4 卷第l 期 2 0 1 1 年1 月 高等数学研究 S T U D I E S1 NC L L E G EM A T H E M A T I C S V 0 1 1 4 N o 1 J a n 2 0 l l 随机变量数学期望的一个注记 王志刚 李胜军 海南大学数学系 海南海口5 7 0 2 2 8 摘要介绍一种计算随机变量数学期望的方法 利用这种方法容易得到数学期望的相关性质 很多概率与 矩的不等式证明也因之变得更为简洁 关键词随机变量 数学期望 矩 概率不等式 中图分类号 2 1 1 5 文献标识码 A文章编号1 0 0 8 一1 3 9 9 2 0 1 1 O l i 0 0 6 6 一0 4 在概率论中 数学期望是随机变量最重要的数 字特征之一 许多随机变量的分布都与它的期望有 关 很多学者都研究过数学期望的计算技巧 例如 定义法 利用期望的性质 特征函数法 母函数法 利 用随机变量和式分解计算数学期望 或通过建立递 推关系 用微分法求随机变量的数学期望等 本文给出数学期望的一种新定义 并利用这种定 义推导随机变量的相关性质和概率与矩的不等式 定义1 1 3随机变量车的期望值定义为 E 臼 I 丹 搴 z 如一I 件 e z 出 并假设上述两个积分至少有一个有限 这一定义是从随机变量的概率分布特性来定义 的 克服了传统期望的定义中要求已知随机变量密 度函数 或概率分布律 的局限性 且传统期望定义 还要求L e b e s g u e 积分 l zI 厂 z 出 或级数 j p 绝对收敛 这一条件有时不能满 i 1 足 例如 随机变量丰服从C a u c h y 分布 密度函数为 1 z 2i 雨 由于积分 仁 南如 o o 所以e 的期望不存在 从定义l 易见 若亭为离散型随机变量 P r 搴 毛 p I i l 2 收稿日期 2 0 0 8 1 0 0 7 l 修改日期 2 0 1 0 0 6 2 3 基金项目 海南省教育厅高等学校研究资助性项目 H jk j 2 0 0 9 0 8 作者简介 王志刚 1 9 6 8 一 男 湖北罗田人 硕士 副教授 从事概率 极限理论研究T 作 E m a i l l w z h i g a n g h a i n u e d u c 仉 李胜军 1 9 7 6 一 男 湖南娄底人 讲师 主要从事微分方 程研究 E m a 批s h j I i 7 6 1 0 0 Z y a h o o m c n 则有 E 嘲一 z p 与传统数学期望的定义一致 在下面的定理1 中 我们以连续型随机变量为 例来证明这种定义是传统期望定义的推广 定理l 啪 设导是连续型随机变量 密度函数存 在 且为厂 z 若L e b e s g u e 积分 1 玎 z d z b o 则有 E 鲴 I z d z 证明由F u b i n i 定理 E 臼 lR 传 r d r lR 传 r d r r or 一r or r I I 厂 矗抄一l 1 彻如 抄 J OJrJ J o r r b d r 如一r f 厂 阳出 l I b 胡如一I 1 厂 胡出 J OJ 0J Jo r 十 r of I 巧Q 出 I 巧Q 出 l 巧 也 J OJ Jo 利用定义1 我们类似可以证明下面的结论 结论1 设随机变量e 的分布函数为F z 如 果L e b e s g u P s t i e l t j e s 积分Iz d F z 存在 则 E 臼 Iz d F z 结论2 若导和叩都有有限的期望值 口 6 为任 意实数 则 E 砖十6 7 拉 臼 6 E 棚 结论3随机变量 和刁相互独立 且都有有限 的期望值 则 E 匈 E 臼E 扣 结论4 3 3随机变量车的函数厂 p 的期望定义为 万方数据 第1 4 卷第1 期 王志刚 李胜军 随机变量数学期望的一个注记 6 7 E 搴 IP P 厂 搴 r d r lP 一 车 d r 结论5设随机变量e 的分布函数为F z 而 R R 为可测函数 若L e b e s g u e S t i e l t j e s 积分 I 厂 z d F z 存在 则 E 搴 I厂 z d F z 结论6期望EI 车I o 的充要条件是 L 盹m f 1 一阢 d z 都有限 且有 艮 f 1 一F 工 d z f F z d z 艮 I 1 一F 工 d z l F z d z5 J OJ 一 特别地 若 导 Oa s 则B O P r z 一O z O 有 EeI 那么 l i m P r Iel z 一O 证明设e 的分布函数为F z 由于 EI 导I O EeI 的充分必 要条件是 P r JeI 咒古 o 也等价于 z 户1P r IeI n o o 证明因为 EI 车 一l P leI r d r P r l 车I z 出 I弦川P r IeI z 如 所以 Ee9 的充分必要条件是 P r lel 一 r d r o 也即 l皿r 1P r leI z 出 o 有 P r 憾 铲 证明 容易知道 概率P r IeI 厂1 r 关于 r 在 o 为单调减函数 且 E 厂 车 IP r 导 r d r l厅 车I 厂l r d r l 件 IeI 厂l r d r l 出 P r j 车I 厂l d r 一 八 R Ie l 由此可以得到两个重要的概率不等式 结论8 M a r k o v 不等式 7 3对于任意给定 的 O 和p O 有 P l I 掣 结论9 C h e b y s h e v 不等式 若车的方差存在 对于t O 有 P r I 一鹾I 掣 参考文献 1 L I UB a o r d i n g U n c e r t a i n t yT h e o r y M 2 n de d B e r l i n S p r i n g e r V e r l a g 2 0 0 7 1 4 2 3 2 L I UB a o d i n g L I UY a n k u i E x p e c t e dv a l u eo ff u z z y v a r i a b I ea n df u z z ye x p e c t e dv a l u em o d e l J I E E E T r a n s a c t i o no nF u z z yS y s t e m s 2 0 0 2 1 0 4 4 4 5 4 5 0 3 L I u 卜k u i L I UB a o d i n 晷E x p e c t e dv a l u eo p e r a t o ro f r a r l d o mf u 珑yv 曲b l ea r l d删o mf u z z ye x p e c t e dv a l u e m d e I s J I n t e r n a t i o n a lJ o u n l a lo fU n c e r t a i n t y F u 杞i r l 鹤s a n dK w I e d g s e dS y S t e r n 2 0 0 3 1 1 2 1 9 5 2 1 5 4 Z H A OR u 卜q i n g L I UB a o d i n g R e n e w a lp r o c e s sw i t h f u z z yi n t e r a r r i v a It i m e sa n dr e w a r d s J I n t e r n a t i o n a l J o u r n a Io fU n c e r t a i n t y F u z z i n e s sa n dk n o w l e d g e B a s e d S y s t e m s 2 0 0 3 1 1 2 5 7 3 5 8 6 5 w A N GZ h i g a n g o uY i g u i w A N GH a o h u a c o n v e T g e n c eo fU n c e r t a i ns e q u e n c eo nt h eU n c e r t a i n t y s p a c e c P r o c e d i n g so ft h es e V e n t hI n t e r n a t i o n a l C b n f e r e n c eo nt h eI n f o r m a t i o na n dM a n a g e m e n t S c i e n c e s U r u m c h i C h i n a 2 0 0 8 3 9 2 3 9 5 6 林正炎 陆传荣 苏中根 概率极限理论基础 M 北京 高等教育出版社 1 9 9 9 3 7 7 魏宗舒 概率论与数理统计教程 M 北京 高等教育出 版社 1 9 8 3 7 8 8 7 万方数据 第1 4 卷第1 期 2 0 1 1 年1 月 高等数学研究 S T U D I E SI NC L L E G EM A T H E M A T I C S V 0 1 1 4 N o 1 J a n 2 0 l l 关于迭代数列的审敛法 张玲1 刘俊芳2 1 天津械市建设学院基础部 天津3 0 0 3 8 4 2 安阳师范学院人文管理学院 河南安阳4 5 5 0 0 0 摘 要 从迭代数列及其基本性质出发 给出单调有界定理 压缩映象原理 C a u c h y 收敛准则和上 下 极限 四种判别迭代数列收敛的方法 关键词迭代数列 审敛法 不动点 中图分类号0 1 7 l文献标识码A文章编号1 0 0 8 1 3 9 9 2 0 1 1 0 1 0 0 6 9 一0 4 所谓迭代数列 是指在给出数列的第一项z 后 用递推公式 2 l 一厂 z 押 N 1 通过迭代生成的数列 迭代数列在数学分析和其他 领域有很强的理论和实用价值 大量的近似计算都 是用迭代方式实现的 而且它们具有很强的规律性 掌握这些规律 就能更有效地处理相关问题 性质l 1 3设数列 z 满足递推公式 1 如果 数列 z 收敛于e 而且又有 l i m 厂 z 手 H 成立 则数列 z 的极限 必定是方程 z z 2 的根 这时e 称为厂 z 的不动点 利用性质1 在不知道数列收敛情况之前 就可 先求解方程 2 而根据求得根的具体情况 对判定 原数列的收敛性往往有帮助 例如 如果方程 2 在 实数范围内无解 则无须再作任何研究就可以断定 迭代生成的数列一定发散 收稿日期 Z 0 0 9 0 4 1 0 修改日期 2 0 1 0 1 1 一0 5 作者简介 张玲 1 9 6 7 一 女 黑龙江黑河人 教授 主要从事函数论 研究 E m a i l l t s s y z h a n g l i n g 1 6 3 c o l I I 刘俊芳 1 9 8 3 一 女 河北邯郸人 硕士 讲师 主要从事计 算数学的研究 E m a i l t l i u j u n f a n g 一8 8 1 6 3 c o 札 口 o o o o o o 夸 o o o o 争 o 1 争 啼 性质2 叫设数列 z 满足条件 1 其中 厂 z 在区间J 上单调 同时数列的每一项都在区间 I 中 那么 i 当厂 z 单调增加时 z 为单调数列 j i 当厂 z 单调减少时 z 的子列 z H 和 z 件 分别为单调数列 且具有相反的单调性 注1性质2 并不要求数列收敛 也不要求有界 这样 如果迭代数列在函数的单调区间而且有界 由 单调有界定理和子列理论 在情形 i 时数列一定收 敛 情形 时数列可能收敛也可能发散 但两个子列 分别收敛于不同极限 同理可以讨论无界情况 我们知道 收敛数列具有很多性质 因此迭代数 列如果收敛 除了具有上述两个基本特性之外 当然 具备收敛数列的一切性质 那么 如何判别迭代数列 的收敛性呢 这是我们比较关心的问题 对此我们进 行了研究 并归纳出以下几种审敛方法 1 利用单调有界定理 利用单调有界收敛定理的前提是数列具有某种 单调性 若数列以迭代的形式给出 且迭代函数的单 调性比较容易判断 则考虑使用单调有界收敛定理 但数列单增还是单减 单增时的上界或单减时的下 AN o t eo fE x p e c t e dV a l u e so fR a n d o mV a r i a b l e s WA N G Z h i g a n g L IS h e n g ju n D e p a r t m e n to fM a t h e m a t i c s H a i n a nU n i v e r s i t y H a i k o u5 7 0 2 2 8 P R C A b s t r a c t l nt h i sp a p e r w ei n t r o d u c ean e wm e t h o df o rc o m p u t i n ge x p e c t e dV a l u e so fr a n d o m v a r i a b l e s w h i c hl e a d st om a n yp r o p e r t i e so fe x p e c t e dv a l u e s a n ds i m p l i f i e ss o m ep r o o f so f i n e q u a l i t i e sa b o u tp r o b a b i l i t i e sa n dm o m e n t s K e y w o m s r a n d o mv a r i a b l e e x p e c t e dv a l u e m o m e n t p r o b a b i l i t yi n e q u a l i t y 万方数据 随机变量数学期望的一个注记随机变量数学期望的一个注记 作者 王志刚 李胜军 WA