彼得堡数学学派的中坚_纪念A_A_马尔科夫诞生一百三十周年.pdf

人物评传 彼得堡数学学派的中坚 纪念 马尔科夫诞生一百三十周年 苏淳 中国科学技术大学数学系 刘纯 中国科学院自然科学史研究所 路标象栅栏似的闪过 去 一个又一个愉悦你的眼 叶甫盖尼 奥涅 金 在当代科学与社会的广阔天地里 人们都可以看到一 种叫作随机过程的数学模型 从银河亮度的起伏到星系空 间的物质分布 从分子的布朗运动到原子的蜕变过程 从 化学反应动力学到电话通讯理论 从谣言的传播到传染病 的流行 从市场预测到密码破译 随机过程理论及其应用 几乎无所不在 人类历史上第一个从理论上提出并加 以 研究的过程模型是马尔科夫链 它是本世纪初俄国数学家 安德 烈 安 德烈耶 维奇 马 尔 科夫 叩 业 邸 一 4 笔下的俄国社会进行了人木三分的分析 这一胆大妄为的举动件犯了顽固守旧的教 师 他在马尔科夫的作业上批道 二二 7 6 双二二益 30一 0 波瑟 1 59 5一 5 6 拉格朗日 2 4 56 一 6 高斯 555一 这些大数学家都曾为它付出艰 辛劳动 表达式 十 皆为整数 是一个二元 二次型 亦称双二次 型 这是二次型中最简单的一种形式 在给定判别式 一 的条件下 寻 找二次型 的极值是一件相当有意义而又十分棘手的工作 若干年来虽然有一些进展 但是疑点仍然不 少 例如对于具有负的判别式值的双二次型来说 人们曾证 明了存在着相同类最小值的上界 淤 而且该类型还具有这样一种性质 对于开区 劲 中的任意一个 值 都可 有一列该类二次型 其最小值任意精确地渐近于侧了陌丁 而判别式一旦成为正值 这种连 续性就骤然消失了 那么 对于判别式为正的双二次型来说 其最小值的分布呈现什么样的 状态呢了柯尔金和佐洛塔廖夫证明了 在 9 的条 件下 只有 二 一 0 一 或与其等价 这种双二次型的最小值才是 喜 而其余形式的双二次型的最小值都不大 刁 一 在某些附加条件下的整数解 他还给出了由不定方程的解来计算 7 的具体方法 从而建立了二 次 型表示论与古老的丢番图方程的联系 他 的进一步结论 1 对于数列 7 中的每一项 都有一种最小值为材下于万 0 若正的不定二次型的最小值不小于 俘 沙 的正的不定二次型与之对 嘴 则必为数列 材 7 中的一个 这 是应 样 马尔科夫就彻底地搞清了判别式大于零时不定双二次型最小值的分布情况 极大地推进 了柯尔金和佐洛塔廖夫的结果 在这项研究中 马尔科夫已表现出了切比雪夫等前辈学者对他的影响 那就是善于联系 经典问题 充分利用初等工具 追求解的精确性与实用性和不畏繁复的计算等鲜明的彼得堡 风格 论文附有一个包括前0 9个 7 值计算程序和结果的大表 每一行数据都对应着一个复 杂的丢番图方程 甚至早期彼得堡数学家的一个缺点在这项研究 中也有所反映 那就是马尔 科夫完全排斥了几何背景 因为他和切比雪夫一样怀疑几何语言的严密性 其实 在型表示 论中借用几何语言最自然不过了 高斯关于三元二次型几何意义 的说明被认为是阂可 夫斯基 4 3一 9 关于 数的几何理论的开端 早期彼得堡数学 家在这一领域可 谓失之交臂 不管怎么说 马尔科夫这项工作的完成 表现了他超乎常人 的数学直觉和洞察力 这种 能力加上坚韧不拔的毅力使他很快就超过了自己的许多老师和同辈 成为彼得堡数学学派的 杰出代表和中坚分子 双二次型最小值的分布搞清楚以后 马尔科夫开始注意多个变元的二次型 只是 由于教 务控惚 直到十一年后才发表了进一步的研究成果 9 年 他在 关于 不定三元二次型 中给出 了该类型的前四种极值形式 其中一种也为柯尔金所得到 9 年 他汇集了自己 关于三元二次型的成果 出版了包括所有判别式不大于 9的三元二次型最新数据在 内的专 著 这 些工作都是伴随着大量复杂的计算进行的 马尔科夫不仅通过计算提供 了问题的解 而且对 于发展计算方法也做出了贡献 以后他又研究了四元二次型 并得到其极值的前两种 形式 代数数论中的另一个重要课题是关于理想的理论 36年 德国数 学家库莫尔 9一 6 在企图证明费尔马大定理的壮举中被一道小河 沟档住了 看过他手稿 的狄里克莱 1 9 一 不客气地指出 代数域上的素因子分解唯一性定 理对代数数不一定成立 而素因子唯一分解的假定对于他的证明又是绝对必要的 为了克服 这一障碍 库莫尔开始在一系列论文中创立和发展一种叫做理想的理论 借助理想数来实现 代数域上素因子的唯一分解 从此对理想的研究在一个时期内达到高潮 佐洛塔廖夫曾致 力于三次方根域上理想素因子的分解 可惜这位英华早发的学者三十一岁就逝世了 在为纪 念佐洛塔廖夫而出版的文集中 马尔科夫给出了数域 杯万分解为理想 素因子的当时最好结 果 并算出了 1的所有数据 二司 举例来说 在数 城 材二了中 二 4 十材丁了 一 杯二了 容易看出数 的这四个因子 都是该城中的素整数 因此唯一性分解不成立 但如引进理想数 3 杯云夕 则 砂夕 夕 在区 间 上满足不等式 为一给定常数 又设 是给定了的 上的实函数 要求找出积分丁 对一切可能的 的最大值和最小值 并分别确定使其达到极值的两个具体的函数 和 这里已经 出现了泛函的雏形 马尔科夫在假定了 前 4 阶导数存在且它本身在 上不 变号的条件下解决了这个问题 这使他建立起了一种相当简单而又带有修正项的新的求积公 式 几乎在马尔科夫证明切比雪夫不等式的同时 荷兰数学家斯提吉斯 2 1 一 3 也开始了同样的研究 他在 关于 所谓力学积分法的研究 一文中给出了与马 尔科夫类似的结果 一开始俄国数学界宣称拥有优先权 斯提吉斯则声称自己没看到马尔科 夫的论文 也不知道切 比雪夫原先提出的问题 事实也的确是这样 问题搞清楚以后 马尔 科夫与斯提吉斯成了很好的朋友 他们寄书鸿雁 频繁地 交 流各自在矩理论以及有关内插 法 构造积分 余项估价和连分数等方面的新成果 这种关系一直维持到斯提吉斯逝世 就 在斯提吉斯去世前不久 他发表了带有综述性的 关于连分数的研究 其 中解决 了无穷区 间 上的矩问题 并且给出了所要寻找的函数的一切整数阶矩的连分数表达式 作为 回答与对好友的纪念 马尔科夫于 年发表了 关于某些连 分数收敛性的两个证明 在 其中给出了斯提吉斯连分数收敛的充分条件 1 曾提出过一个问题 这个问题从数学上说相当于找出定义在闭区 间 上的 次多项式 的导数 在某种条件下的最大值 年 马尔科 夫在题为 欢关于一 个门捷列夫问题 的论文中 解决了由多项式的上界来求其导数多项式上 界的问题 即令 则有 3 尹 飞 一3 这一问题也可表示为偏离 零点的多项式的最大偏差的估计 因此与切比雪夫所建立的一系列结果都有关系 年 马尔科夫的同父异母弟弟弗拉基米尔 7 二 3 二 3 0 3一 的话来说 就是承认客观世界中有一种现象 其未来由现在所决定 的程度 使得我们关于过 去的知识丝毫不影响这种决定性 这是惠更斯 一 5 无后效原理的 概率推广 也是对拉普拉斯 5 3 8 一 5 决定论的否定 法国数学家拉普拉斯曾对概率论的早期发展作出过重大贡献 但他的部分哲学观点是不 利于 这门学科的深入发展的 十八世纪以来 随着牛顿力学的彻底胜利 一种机械唯物主义 的决定论思潮开始在欧洲科学界蔓延 鼓吹最力者就是拉普拉斯 5年他在巴黎师范学院 发表了一篇题为 概率论的哲学探 讨 的演讲 淋漓尽致地表达出了这种思想 他 说 9一 9 3 等人宣布退出科学院以示抗 议 身在数理学部的马尔科夫于 3 月 日向院务委员会递交了如下声明 我认为科学院关 于取消高尔基当选资格的文告是无效的和被强加的 第一 文告盗 用了科学院的名义 但事 实上科学院并无意取消这一资格 第二 文告所借用的理由是毫无意义的 虽然马尔科夫 在院务委员会上要求宜读这一声明 但是遭到执行主席的拒绝 于是他又采取了进一步的行 动 两天以后 他向充任科学院院长的沙皇的叔父康斯坦丁递交了辞去院士称号的声明 这 个根本不懂得科学的院 长一面劝告马尔科夫收回成命 一面竭力向报界隐瞒事件的真相 害 怕更多的科学家效法马尔科夫采取对抗行动 只是由于当时马尔科夫在科学院里正担负着编 辑切比雪夫文集的工作 他才没有采取更激烈的措施 但是直到 9 年 他还不忘上书院委 会 提请撤消其 9 0年的错误文告 在这一事件中 马尔科夫对科学院的上层集团屈服于沙皇的淫威深感失望 96年初 他以院委会要从其成员所得科学奖金中抽税一事为借口递交了一份备忘录 上面写 着 我 最诚恳地提请院 委会注意 我决不申报任何奖励 也决不期望得到任何奖励 其实马尔科 夫这一举动的真正目的不在于反对征税 而是以此显示自己决不同听凭沙皇摆布的院委会同 流合污 9 年的民主革命失败以后 俄国政治上开始了一个极端反动的时期 9 5年 月6日 沙皇的走卒斯托雷平 4 二 4 0一 悍然解散了有社会民主党人参加的第二 届国家杜马 随后组织代表地主和资产阶级利益的第三届杜马 为此 马尔科夫照会科学院 理事会说 第三届国 家杜马的建立完全违背了宪法 因而它根本不是一个代表人民意愿的 议会 而只是一个非法的团体 因此我最坚决地请求理事会不要将我的名字列人选民的名单 之中 在斯托雷平反动时期 大学里的进步民主力量遭到了破坏 9 年国民教育部发表通告 重申取消大学自治 恢复学监制度 封闭一切社团 对此马尔科夫非常气愤 他立 即给教育 大臣写 了一封信 信中声称 我 最坚决地拒绝在彼得堡大学充当沙皇政府走卒的角色 但 我将保留开设概率论课程的权利 在与反动政权的一系列冲突之后 马尔科夫与沙皇专制的重要精神支柱东正教教会实行 了决裂 东正教最高会议的头子是尼古拉二世的私人教师 和谋 臣 他们在奴役俄国各族人民 镇压日益高涨的民主运动等一系列问题上是坑淦一气的 沙皇当局不便直接出面干坏事 就 由东正教会来干 9 年东正教最高裁判所就宜布大文豪托尔斯泰 月 二 益 0 一 9 为异教徒而开除了他的教籍 马尔科夫从青年时代就具有无神论的倾向 托尔斯泰的 思想对他也有一定的影响 0年0 月 0日 马尔科夫致信东正教最高会议 信中写道 我 最诚挚地请求革除我的教籍 我希望以下我所摘引的本人所写的 概率演算 一书中的言论可 以成为除籍的理由 因为这些言论已经充分表明我对成为犹太教和基督教教义之基础的那些 传说所持的反对态度 一 一 下面马尔科夫整段地摘引了我们在前文所提到的他与布尼亚科夫斯基之间的论战 为了 使那些不懂得什么是概率论的神父了解他的意思 他又火上加油地写下了以下的话 如果 上述言论还不足 以构成开除我教籍的理由的话 那么我再次恳切地提请你们注意 我已经不 认为在圣像和木偶之间有什么本质的区别 它们 当然不是上帝们 而只是上帝们的偶像 我 也早就不赞成任何其它宗教 它们也都如同东正教一样 是靠火 与剑来维持并为其服务的 这无疑是向教会神权的宜战 教会在反 动报刊上对他组织了围攻 同时彼得堡教区的总 主教还派代表企图说服他放弃这一表明 但马尔科夫表示 只 与来人谈数学 万般无奈 的教会只好革除了他的教籍 马尔科夫的这一行动与托尔斯泰 9 年被东正教除籍一事有什么关系 我们手头 没有更 充分的材料能加以说明 但是有一点十分明确 那就是他们在宗教与科学关系的看法上有 惊人的相似之处 数学家在托尔斯泰的作品中能发现许多他们感兴趣的内容 战争与和平 中那个教女儿几何学 自己演算高等数学的老保尔康斯基公爵的原型据说就是托尔斯泰的外 祖父 在这部名著的尾声我们还可以读到有关概率论的一段议论 托尔斯泰在谈到当代科学 与旧的宗教 法律 道德规范之间的关系时写道 及 0二 二 二 二 盆 0 5 4 3 4 7 7 八 3 0二 3 3