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有关信号卷积的相似性概念 02094025 陈亚杰摘要 本文主要研究的是离散信号的相似性。本文阐述了信号卷积和信号相关的概念，通过比较，可以用信号卷积来判断信号的相关性即本文所说的相似性。本文还利用向量内积投影来说明相似性，最后用matlab语言对本文提出的相似性进行仿真分析。1. 引言卷积方法在信号与系统理论中占有重要地位。这里所要讨论的卷积积分是将输入信号分解为众多的冲激响应之和（这里是积分）。在LTI（Linear Time Invariant）系统中的零状态响应是激励与系统的冲击响应的卷积积分。为比较信号与另一延时信号之间的相似程度，需引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。本文分四章讨论，第二章将给出所需要的数学工具的说明，并介绍本文方法。第三章给出实验仿真。最后一章是对本文的一个总结。 2.理论在向量中为了表示两向量的相似性，可以用向量的内积来说明设存在两个向量，分别为a,b.其在平面为： 两向量的相关性就看夹角的大小，如果两个向量平行说明两个向量最相似。如果两个信号垂直说明两个向量相似性差。用公式表示为： =所以我们可得 我们只通过角度判断其相似性，但当角度一定，长度发生变化时他们的相似程度明显不一样，所以我们通过下面的公式计算。= q这样我们就可以将两个非零向量的相似程度给表示出来。 因为不存在信号幅度为负值的信号，所以信号的相似性我们定义其在0,1间取值，所以 卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。一般而言，给定两函数f1(t)，f2(t)，则积分为f1(t)和f2(t)的卷积，常表示为 f(t)=f1(t)*f2(t) 而如果上式两个函数的积分存在，我们将其称为和的互相关函数。 由式可见，互相关函数是两信号之间的时间差的函数。其值越大表明这两信号经过时移之后的相似程度越大。其离散形式为： 由卷积的性质可知，上式可写为：，；，；通过以上公式可以看出卷积与相关的关系即由k变成-k。= * 在LTI系统中，傅里叶变换的时域卷积定理表明，时域中的两个信号的卷积运算利用傅里叶变换可以变成频域上两个信号频谱的乘积运算。有公式表示：FTf（n）*x（n）=FTf（n）FTx（n)其中FT表示傅里叶变换。正是因为LTI系统的零状态响应可以看做输入信号或激励与系统冲击响应的卷积结果。因此傅里叶变换成为了分析信号与系统的有力工具。正是因为卷积运算可以用向量内积的投影概念来解释而傅里叶变换也可以同样用向量内积的投影概念解释，从数学角度上来看，卷积运算与傅里叶变换其实质是大同小异的。用泛函分析的语言来说，我们不妨将其称为“投影算子”。所以卷积运算才能够通过傅里叶变换化为简单的乘积运算。 3. 仿真结果为对比相关函数和卷积的的包络图形，同样我们令a=2 1 2 3 1 0 0 0 0 0;b=0 0 0 0 0 2 1 2 3 1;c=0 2 1 2 3 1 0 0 0 0，(c为a序列友平移一位)；d=round(3*rand(10,1)，使用matlab仿真的图形为：此时d= 2 2 4 4 1 2 2 3 4 4通过观察包络和对比函数式子可知:1.相关函数的包络图形为卷积图像的反折和平移得到的2.对相关函数的结果0点归一化可得到；对比两个信号的相似程度，求其相关系数同样设序列a=2 1 2 3 1 0 0 0 0 0;b=0 0 0 0 0 2 1 2 3 1;c=0 2 1 2 3 1 0 0 0 0，(c为a序列友平移一位)；d=round(3*rand(10,1)d为随机生成的一个信号。此时令d= 2 2 4 4 1 2 2 3 4 4;使用matlab仿真比计算其相关系数，可得p1=1;p2=0;p3=0.68421;p4=0.3.这时，我们就可以得出结论，两个信号的相关系数就是相关函数在0点归一化的的取值。4. 结论卷积方法之所以在LTI 系统中的应用极为的广泛，是因为信号与信息处理领域中它与傅里叶变换等的配合使得我们可以更直观、更有效地对复杂的信号进行处理。卷积作为一种数学运算，其表达式与我们熟知的在标准正交基中的两非零向量内积表达式相似，而向量内积又可以看成其中一个向量在另一向量的投影，投影的幅值越大说明两个向量越相似，并且由于卷积运算与相关运算又极为的类似，因此我们可以很自然的引出卷积运算的结果可以看成是表明两个相卷积的信号（函数）在哪些“位置”最相似，在哪些“位置”最不相似的含义相似性。参考资料1 吴大正主编 . 信号与信息系统分析 .第四版 .