正规矩阵的几个等价条件.pdf

第2 5 卷第1 期 2 0 0 9 年2 月 阿 弘方净阮季亦 自然科学版 J o u r n a lo fH e b e i N o r t hU n i v e r s i t y N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n V o L2 5N o 1 F e b 2 0 0 9 正规矩阵的几个等价条件 张贺1 袁博2 1 河北北方学院理学院 河北张家口0 7 5 0 0 0 2 河北北方学院农林科技学院 河北张家口0 7 5 0 0 0 摘要 目的依据正规矩阵的定义 S c h u r 引理和矩阵酉等价 以及它们的相关性质 从矩阵的酉等价和 矩阵的特征值 特征向量等方面 给出了复数域上的矩阵是正规矩阵的几个等价条件 方法由矩阵酉等价的 定义 S c h u r 引理 向量长度的定义 特征值和特征向量的相关性质 拉格朗日插值公式 对给出的几个等价 条件加以证明 结果通过酉矩阵的定义 设矩阵U 舰 C 若U 7 U E 则称U 为酉矩阵 S c h u r 引理 任何一个咒阶复矩阵A M C 都酉相似于一个上三角矩阵B 即存在一个尢阶酉矩阵U 使得B 口r A u 其中B 的对角线上的元素是A 的特征值 矩阵的酉等价 以及正规矩阵的性质 给出了复数域上的矩阵是正 规矩阵的7 个等价条件 1 A I v L C 是正规矩阵甘酉等价于A 的每个矩阵都是正规矩阵 2 A 舰 c 是正规矩阵 v z e 有lA zI I 页kI 其中 vy e 规定l l 疬 3 A E I v l c 是正规矩阵筒A 与一个具有互异特征值的正规矩阵可交换 4 J I C 是给定的数 则A M l c 是正规矩阵 甘A A E 是正规矩阵 5 A E M j c 是正规矩阵甘对于所有的z y E 9 有百 r A y 刀2 7 j o 6 A M I C 是正规矩阵甘A 的每个特征向量也是A7 的一个特征向量I7 A 地 C 是正规矩阵骨存在 次数至多为挖一1 的多项式P z 使得A 7 P A 结论为以后研究正规矩阵的相关性质以及迸一步推广 酉矩阵 实对称矩阵和H e r m i t e 矩阵提供理论依据 关键词 酉矩阵 正规矩阵 酉等价 中图分类号 01 5 1 2 1文献标识码 A文章编号 1 6 7 3 1 4 9 2 2 0 0 9 0 1 0 0 0 9 0 5 S e v e r a lE q u i v a l e n tC o n d i t i o n so faN o r m a lM a t r i x Z H A N GH e l Y U A NB 0 2 1 C o l l e g eo fS c i e n c e H e b e iN o r t hU n i v e r s i t y Z h a n g j i a k o u0 7 5 0 0 0 H e b e i C h i n a 2 C o l l e g eo fA g r i c u l t u r ea n dF o r e s t r y H e b e iN o r t hU n i v e r s i t y Z h a n g j i a k o u0 7 5 0 0 0 H e b e i C h i n a A b s t r a c t 0 b j e c t i v e R e s t i n go nt h ed e f i n i t i o no ft h en o r m a lm a t r i x S c h u r L e m m a t h eU e q u i v a l e n c eo fm a t r i x e sa n dt h e i rr e l a t i v ec h a r a c t e r s f r o mt h ep e r s p e c t i v eo ft h eU e q u i v a l e n c eo fm a t r i x e s C h a r a c t e r i s t i cv a l u eo fm a t r i x e sa n dc h a r a c t e r i s t i cv e c t o ro fm a t r i x e s s e v e r a le q u i v a l e n tc o n d i t i o n su n d e r w h i c ht h em a t r i xi nt h ec o m p l e xf i e l di San o r m a lm a t r i xa r eo b t a i n e d M e t h o d sT h e s ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n sa r ep r o v e dt h r o u g ht h ed e f i n i t i o no fU e q u i v a l e n c eo fm a t r i x e s S c h u r L e m m a t h ed e f i n i t i o no ft h e l e n g t ho fv e c t o r t h er e l a t i v ec h a r a c t e r so fc h a r a c t e r i s t i c sv a l u ea n dc h a r a c t e r i s t i cv e c t o ra n dt h eL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o nf o r m u l a R e s u l t sT h r o u g ht h ed e f i n i t i o no fU m a t r i x m a t r i xU M C i fU 7U E t h e nUi sc a l l e dU m a t r i x S c h u rL e m m a a n yn t h o r d e rc o m p l e xm a t r i xA M C i SU e q u i v a l e n tt oa t r i a n g u l a rm a t r i xB i e t h e r ee x i S t San t h o r d e rU m a t r i xm a k e sB U 7A U i nw h i c ht h ee l e m e n t so n t h ed i a g o n a ll i n eo fBi St h ec h a r a c t e r i s t i cv a l u eo fA t h eU e q u i v a l e n c eo fm a t r i x e sa n dt h ec h a r a c t e r i s t i c s o fn o r m a lm a t r i x e s s e v e ne q u i v a l e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h em a t r i xi nt h ec o m p l e xf i e l di San o r m a l m a t r i xa r eo b t a i n e d 1 A M C i san o r m a lm a t r i x 纣e v e r ym a t r i xw h i c hi sU e q u i v a l e n tt oAi Sa n o r m a lm a t r i x 2 A M C i san o r m a lm a t r i x 铮VX C t h e n A xl IA xI VY C 4 s t i p u l a t e s YI 一 y 7 y 3 A EM C i san o r m a lm a t r i x 甘Ac a nb ee x c h a n g e dw i t han o r m a lm a t r i xw h i c h h a sm u t u a ld i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i cv a l u e 4 入 Ci sag i v e nn u m b e r t h e nA M C i san o r m a lm a t r i x 来疆日期 Z 0 0 8 0 6 1 3 作者简介 张贺 1 9 7 8 一 男 吉林白城人 河北北方学院理学院效学系教师 学士 9 万方数据 2 0 0 9 年2 月河北北方学院学报 自然科学版 第1 期 目A 入Ei san o r m a lm a t r i x 5 A EM C i san o r m a lm a t r i x 舒f o ra l lx y E C t h e r ei s A x 7 A y 万x 耳y 6 A EM C i sf ln o r m a lm a t r i x 铮e v e r yc h a r a c t e r i s t i cv e c t o ro fAi sa l s oac h a r a c t e r i s t i cv e c t o ro fA7 7 A EM C i san o r m a lm a t r i x 甘t h e r ee x i s tap o l y n o m i a lP x i nw h i c ha P x n 一1 i tm a k e s 万 P A C o n c l u s i o n T h i sa r t i c l ep r o v i d e ss o m et h e o r e t i c a lb a s e sf o rt h er e s e a r c hi nt h ef u t u r eo ft h er e l a t i v ec h a r a c t e r so ft h en o r m a lm a t r i xa n dt h ep o p u l a r i z a t i o no fU m a t r i x T e a l s y m m e t r i cm a t r i xa n dH e r m i t e m a t r i x K e yw o r d s U m a t r i x n o r m a lm a t r i x U e q u i v a l e n c eo fm a t r i x e s 在教材E 1 与教材 2 中介绍了酉空间 酉矩阵和H e r m i t e 矩阵的概念 以及它们的有关性质 而对正规矩阵并没有介绍 正规矩阵是在讨论矩阵的酉等价时产生的一类矩阵 它在矩阵分析中占有重要 的位置 并且它还推广了酉矩阵 实对称矩阵和H e r m i t e 矩阵 文献 3 与文献 4 中给出了正规矩 阵的一些等价条件和一些相关的性质 本文进一步给出了正规矩阵的7 个等价条件 1 基本概念和定理 定义1 5 1设矩阵U E M C 若口r U E 则称U 为酉矩阵 定义2 E 5 l设矩阵A B M C 如果存在酉矩阵U E M C 使得B 口么 厂 那么就称B 酉等 价于A 或称A 酉相似于B 定义3 5 3设矩阵A EM C 如果万r A A 刀 则称A 是正规矩阵 引理1 5 S c h u r 引理 任何一个g 阶复矩阵A 舰 C 都酉相似于一个上三角矩阵B 即存在一 个 l 阶酉矩阵 厂 使得 B 一口7 A U 其中B 的对角线上的元素是A 的特征值 定理1 6 A E 坛 C 是正规矩阵当且仅当存在 l 阶酉阵 使 U A U d i a g A l A 2 A I 是A 的特征根 i 1 2 1 证明必要性 由引理1 知存在酉矩阵U 使得 口A U B 一 I l 1 2 n 3 n 0 A 2r 2 3 2 H 00 A 3 r 3 00 0扎 因为A 是正规矩阵 所以刀 A A 刀 因此 可B B W 比较 I l 00 0 r 1 2 1 2 0 0 r 1 3 2 3A 3 0 r l 2 H r 3 n A A 1r 1 2 0 屯 0 0 O O A lr 1 2 0 1 2 00 OO n r 2 r 3 n 0 I A l 00 0 r 1 2A 20 0 r 1 3r 2 3 1 3 0 r l r 2 r 3 A 两边的对角线的元素 既有B d i a g 1 1 A 2 A 即仃r A U d i a g A l I L 充分性 若存在以阶酉矩阵U 使得 U A U d i a g A l 1 2 A A 则有矾一 矛矾吼矿一U 矶矿 U A 矛矿 U A 矿U 矛矿一A 刀即 A 是正规矩阵 2 正规矩阵的等价条件 7 命题1A 地 C 是正规矩阵舒酉等价于A 的每个矩阵都是正规矩阵 1 0 万方数据 2 0 0 9 年2 月张贺等 正规矩阵的几个等价条件 第l 期 证明必要性 若A 是正规矩阵 则有万r A A 刀 设B 6 M C 是任一个酉等价于A 的矩阵 那么由定义2 存在酉矩阵 使得B 一仃r A U 所以有 B 百 D 7 A 口7 A U 7 一 口r A 乏厂万7 一可么五7 U 矿飘u 矿劢 矾 面丽一 孤 一砷 即 矩阵B 是正规矩阵 充分性 设B 是一个与矩阵A 酉等价的矩阵 则存在酉矩阵U 使得B 一仃么U 若B 是正规矩阵 则由必要性的证明得 A U BU r 也是正规矩阵 命题2A 6 M C 是正规矩阵筒Vz c I 有IA zI f 页乙1 其中 Vy 6c I 规定IYI 一 以劢 证明必要性 若A 是正规矩阵 则有万r A A 矿那么 IA zl 以元歹面一以 霄广西万一石r 蕴砸 石 蕊而 一 矾 7 矾 一f 矾I 充分性 若Vz 6 9 有lA zI l 矾I 那么 A z2 一I 矾l 2 即 7 万么z 一1 A 万k 即 7 刁r A A 矛 x 0 因为z 任意 所以只有万r A A 万一O 即万 A A7 则A 是正规矩阵 命题3A 6 M C 是正规矩阵筒A 与一个具有互异特征值的正规矩阵可交换 证明必要性 若A 是正规矩阵 则由定理1 存在酉矩阵U 使得 d l E 0 0 A I o 如 o l 00 0 其中 d 如 4 为矩阵A 的互不相同的特征值 李他t 咒 令矩阵B A l 0 0 屯 00 OO 0 0 0 A M C 其中A l A 互不相同 则B 是正规矩阵 令矩阵C U B 两 因为B 是正规矩阵 则由命题1 C 也是正规矩阵 我们可知C 与B 有相同的 特征值 令 D d l 0 0 0 d z 0 00 0 00 d r E 则有A C U D 邪 B 两一u D B 两 C A U B 叩 D 两一U l B D 两 而B D 都是对角形矩 阵 易知B D D B 所以A C C A 其中矩阵C 有互异特征值 l A z A 即 A 与一个具有互异特 征值的正规矩阵C 可交换 充分性 若对于V A 坛 C 存在有互异特征值I I A A 的正规矩阵B M C 使得 A B B A 即A 与B 可交换 因为B 是正规矩阵 所以由定理1 存在酉矩阵巩 M C 使得 巧B U 一 1 0 0 屯 00 O O 0 0 0 I D 万方数据 2 0 0 9 年2 月 河北北方学院学报 自然科学舨 第1 期 令c 一瓦B U 2 则有B U 2 D 瓯 A U 2 C 巧 又因为A B B A 所以有U z C D 两一巩D c 两 两端得C C l lC 1 2 C 2 1C 毖 C lC 一2 c 1 1 0 0 0 c z 2 0 00 c J I l 0 0 l z 00 O 0 0 0 0 I C l c 2 C m 即C D D c I l 0 0 0 疋 0 00 0 00 I 比较 C l l C 1 2 C Z lC 2 2 厶lC 矗2 C l t C 2 C 是一个对角形矩阵 因而c 是一个正规矩阵 所以由命题1 A U 2 C 两 也是一个正规矩阵 命题得证 命题4 I C 是给定的数 则A 地 C 是正规矩阵目A I E 是正规矩阵 证明必要性 若A 是正规矩阵 则有万r A A 刀 因而 对 天 C 有 A I E A A E 7 一 A A E A 7 I E 一A 矛 孔 A 刀 I 征 一A 么 以 A K A I E I 再7 夏E A I E 一己r 再匝 A A E 即 A I E 是正规矩阵 充分性 若对于V l C A I E 是正规矩阵 那么有 A A E 石F 再汪y 一石f 只汪 A I E 两端展开比较得 A A7 一A 即A 是正规矩阵 命题5A 眠 C 是正规矩阵舒对于所有的z y E p 有 A z 7 A y A7 z K y 必要性 若A 是正规矩阵 则有万么一A 刀 因此 对V z y D 有 乙研 A y 一石研 W y 一7 万 A y 7 A 乃一7 万 一A 刀 y O 即 A z 7 A 3 一 A 7 z 7 A 7 y 充分性 若对于所有的z y c l 有砑 A y 矾 7 乃 即 7 矾y 一1 A 乃 o 因为z Y 任意 所以有Vz 9 孤7 A z 一孤刀 一0 即Vz c 有lA xl l 矾I 由命题2 A 是正规矩阵 命题6A 6 M j c 是正规矩阵甘A 的每个特征向量也是矿的一个特征向量 必要性 若A 是正规矩阵 则有引理1 存在正规矩阵U 使得可r A U 一 为A 的特征值 则矿W u 1 2 其中A 令 u 巩 阢 其中U 为L 厂的第i 列 万方数据 2 0 0 9 年2 月张贺等 正规矩阵的几个等价条件第1 期 那么有A U i A 阢 刀阢 釉 i 1 2 矩 即 A 的每个特征向量也是矿的一个特征向量 充分性 设e 是A M C 的属于特征值 I 的特征向量 那么有A e 牖因为A 的特征向量也是 刀的特征向量 所以有耻 A 毒 因此有A 耻一从 搴一刀 A e e 是A 的任意的特征向量 所以A 矛一万 A 即A 是正规矩阵 命题7A M j C 是正规矩阵国存在次数至多为玎一1 的多项式P z 使得A 7 P A 必要性 若A 坛 C 是正规矩阵 设 I A 是A 的全部互异特征值 则存在酉矩阵U 使得 仃r A U 一 I E r l I zE 2 A 由文献呦中的拉格朗日插值公式 存在次数小于S 的多项式 E J Pc z 一砉 导喀杀凳栽高等瑞 使得P 丸 石 i 1 2 s 因此有 P A 五 所以有 P A p U A 矿 U P A 矿一u 万矿一 面百丽一 矿劢矿 f i r 即 存在次数至多为茸一1 的多项式P z 使得 g P A 充分性 若存在次数至多为珂一1 的多项式 P z 一口 z 口m I j 一1 l a l z c l o 使得 R 一P A 那么有 A 矛 A P A 一P A A 万7 I A 即 A 为正规矩阵 参考文献 1 王萼芳 石生明 高等代数 第三版 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 3 3 9 0 3 9 4 2 张禾瑞 郝炳新 高等代数 第四版 M 北京 高等教育出版社 1 9 9 9 6 0 6 5 3 高波 H e r m i t e 正规矩阵性质的初探 J 常州工学院学报 2 0 0 6 1 9 0 3 5 4 5 5 4 杨震 正规矩阵的性质 J 宜春学院学报 2 0 0 4 2 6 0 4 1 8 5 方保镕 周继东 李医民 矩阵分析 M 北京 清华大学出版社 2 0 0 5 6 2 1 1 7 6 张贤达 矩阵分析与应用 M 北京 清华大学出版社 2 0 0 5 1 4 5 1 7 4 7 王兆飞 幂零矩阵的标准形 J 河北北方学院学报 自然科学版 2 0 0 8 2 4 0 D 4 7 责任编辑 刘守义 1 3 万方数据 正规矩阵的几个等价条件正规矩阵的几个等价条件 作者 张贺 袁博 ZHANG He YUAN Bo 作者单位 张贺 ZHANG He 河北北方学院理学院 河北 张家口 0750