弹塑性力学讲义 第一章绪论.pdf

1 弹塑性力学弹塑性力学 目录目录 第 一 章 绪论第 一 章 绪论 第 二 章 应力分析 第 二 章 应力分析 第 三 章 应变分析 第 三 章 应变分析 第 四 章 应力应变关系 第 四 章 应力应变关系 第 五 章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理 第 五 章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理 第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识 第 十一 章 塑性力学基础知识 2 第一章第一章 绪绪 论论 第 1 节 弹塑性力学的任务和对象第 1 节 弹塑性力学的任务和对象 1 1 任务 任务 弹塑性力学是固体力学的一个分支学科 它是研究可变形固体当受到外部因素 如 载荷作用 温度变化 边界约束移动等 作用时 研究变形固体的变化和内力 为保证 变形体或结构在使用周期内有足够的强度 刚度和稳定性 提供设计和施工 制造 的 依据 弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与塑性性质而命名 它们是 固体材料变化过程的两个阶段 当外部因素作用时 固体发生变形 如果当外因去掉 变形体恢复原样 状 称 固体 材料 处于弹性性质 单值 如果当外因去掉 变形体未能恢复原状并存在永久变形 变形固体在外因作用时已 进入塑性阶段 曲线不是单值函数 当然变形体常遇到在物体某一局部处于弹性 而另一区域处于塑性状态 弹塑性交织在一起 1 2 研究的对象 研究的对象 3 材料力学和结构力学是大学的主干课程 它们也是固体力学中较基本的力学课程 在许多工程设计中 工程师运用它们进行设计和计算 但它们研究的对象单一 杆件型 构件或杆系结构 一维问题 具有局限性 而弹塑性力学研究的对象就广泛的多 除 了杆件外 二维 三维实体结构 板 壳结构 所以弹塑性理论基本方程要复杂的多 具有一般性 第 2 节 基本假设和基本规律第 2 节 基本假设和基本规律 2 1 基本假设基本假设 假设假设 1 固体材料是连续的介质 即固体体积内处处充满介质 没有任何间隙 从材料的微观看此假设不正确 因为粒子间有空隙 但从宏观上看作为整体进行力 学分析时 假设 1 是成立的 假设 1 的目的 变形体的各物理量为连续函数 坐标函数 假设假设 2 物体的材料是均匀的 认为物体内各点的材料性质相同 力学特性相同 所以从物体内任一部分中取出微元体进行研究 它的力学性质代表了整个物体的力学性 质 假设假设 3 小变形假设 物体在外因作用下 物体产生的变形与其本身几何尺寸相比 很小 假设假设 4 应力与应变关系为线性 此假设适用于线弹性理论 2 2 基本规律基本规律 完成弹塑性力学任务所要遵循的三个基本规律 或应满足的三方面的条件 1 平衡规律平衡规律 固体受到外力与自身的内力要满足平衡方程 在弹性理论中它们 为微分方程 3 个 2 几何连续性规律几何连续性规律 要求变形前连续的物体 变形后仍为连续物体 由这个规 律建立几何方程 6 个 或变形协调方程 均为微分方程 4 3 物理 本构 关系物理 本构 关系 应力 内力 与应变 变形 之间的关系 根据材料的不同 性质来建立 最常见的为各向同性材料 在线弹性中本构方程为线性代数方程 6 个 第 3 节 弹性力学的研究方法 略 第 3 节 弹性力学的研究方法 略 数学方法 精确解法 解析解 近似解法 数值解法 实验方法 电测方法 光测方法等 第第 4 节节 弹性力学的发展梗概 略 弹性力学的发展梗概 略 第 5 节 笛卡尔坐标系下的矢量 张量基本知识 第 5 节 笛卡尔坐标系下的矢量 张量基本知识 由于弹性力学研究对象的普遍性 导致方程也较繁杂 推导也同样复杂 为了使得 公式表示简捷 近几十年弹性力学的论述及方程列式采用指标符号表示 为了这一原因 这里也简单介绍一些基本概念 这些符号或公式都是在笛卡尔坐标系中采用 5 1 力学中常用的物理量力学中常用的物理量 1 标量标量 只有大小 没有方向性的物理量 与坐标系选择无关 用字母表示 如温度T 时间t 密度 等 标量无下标 2 矢量矢量 有大小 又有方向性的物理量 如矢径 r 或黑体 位移 u 力 F 等 矢量也可以用它的标量表示 x1 x2 x3 1 e 2 e 3 e r 5 3 1 332211 i iie rerererr 3 1 332211 i iie ueueueuu 其中 1 e 2 e 3 e 为坐标的基方向 单位向量 r1 r2 r3为r在坐标轴 的投影 分量 都有一个下标 3 张量张量 有大小 并具有多重方向性的量 如应力 应变 3 1 3 1 333321121111 ij jiij eeeeeeee 每个分量用一个标量 具有两个下标 与两个并在一起基矢量 并矢 称为二阶 张量 矢量可称为一阶张量 标量为零阶张量 5 2求和约定求和约定 在张量表示说明中 看到张量分量表示是一组符号之和 很长 特别是高阶张量 为了书写简捷 采用求和约定 求和约定求和约定 当在同一项中 有一个下标字母出现两次时 则表示该项在该指标的取 值范围内遍历求和 且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标 如 jjii i ii ererererererr 3 1 332211 jjii i ii eueueueueueuu 3 1 332211 jiij ij jiij eeeeeeeeee 3 1 3 1 333321121111 由于哑标i仅表示要遍历求和 因此哑标可以成对的任意换标 6 5 3自由指标自由指标 一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非重复的而且为相同 字母的指标 称为自由指标 矢径r 的表示 矢径的三个分量为ri i 1 2 3 用ri表示矢径 同样位移矢量u 用ui表示位移 ij 表示应力 张量 jiji yax 3332321313 3232221212 3132121111 yayayax yayayax yayayax i 为自由指标 取i 1 2 3 表示三个方程 5 4克罗内克符号克罗内克符号 ij Kronecker delta 定义 ij i j为自由指标 共有九个分量 i j各取 1 3 时当 时当 ji ji ij 0 1 3 2 1 ji 由 ij 定义 9 个元素组成矩阵为单位阵 I 100 010 001 333231 232221 131211 ij符号的应用 笛卡尔坐标系的基向量的点积 时 时 ji ji ee ji 0 1 ijji ee 由 ij定义及哑标 自由标定义 可得 3 332211 ii iiiiiiijij aaaaaa 332211 ijjijijiijkjik ji ji 0 1 332211 两个任意向量点积 iiijjijjii babaebeaba 7 如果 ij 符号的两个指标中有一个指标和同项中其它因子的指标相重 则可以把该 因子的那个重指标替换成 ij的另一个指标 而 ij 自动消失 ij 也称为换标符号 5 5 排列符号 排列符号 levi civtita eijk eijk i j k 1 2 3 共有 27 个元素 定义 中任意两指标相同时若 逆排列顺序 时 或 或 若 正排列顺序时或或若 kji kji kji eijk 0 123231 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 1 排列符号的作用可以简化公式书写 如 1 三阶行列式 kjiijkkjiijk AAAeAAAe AAA AAA AAA A 321321 333231 232221 131211 共六项 三项为正 三项为负 2 基向量的叉积 右手系 3123321 eeeee 3213312 eeeee 任意基向量的叉积可写为 kkijkijkji eeeeee 3 向量叉积的展开式 iie aa jje bb 而 kke cbac kkijjikijkjijjii eebaeebaebeaba 则 jikijjiijkk baebaec kjiijk ebae bbb aaa eee bac 321 321 321 5 6 梯度 梯度 grad 散度 散度 div 旋度 旋度 rot或或curl 1 标量场的梯度 标量场 x1 x2 x3 xi 定义 标量场 xi 的梯度为 8 z k y j x i x e x e x ee x egrad ji i i 3 3 2 2 1 1 其中 i i x e j i x 标量场的梯度为一矢量场 类推矢量场的梯度为二阶张量 标量场梯度的方 向与等值面 xi C垂直 大小为 xi 在其法线方向上的方向导数 2 3 2 2 2 1 2 矢量场的散度 矢量 iie VV 定义向量场的散度为 ii x V ij x V jj x i VeVeVVdri i i i j i 或 3 3 2 2 1 1 x V x V x V V 类推对张量场也可得它的散度 3 矢量场的旋度 矢量 iie VV 定义向量场的旋度为 321 321 321 VVV eee eVeee x V eV x eVVcurlVrot xxx kijijkkijk i j jj i i 4 拉普拉斯算子 laplace opertor 标量场中的拉普拉斯算子定义为 标量场 xi 的梯度的散度 是一个标 量 9 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 xxx xxxxx e x egraddiv ii iiji ij j j i i 矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度 是一个向量 ijjii j i j k j k j k j k i ijkj j k i ikk j j i i eVe x V x e x V x e x V x ee x V x eeV x e x eV 5 7高斯 高斯 Gauss 公式 散度定理 公式 散度定理 矢量场 iie uu 定义在三维域V内 S为V的表面 在表面上任一微元面dS 单 位外法线为 n jje nn 若 u 在V S上有连续偏导数 则 SV dSundVu 对于张量场高斯公式也成立 VS dSndV 矢量场散度的体积积分等于矢量场在表面法线上投影的积分 高斯公式表示了体积积分与面积积分的关系 SS ii V ii V dSundSnudVudVu 证明i 1时情况 可以先证 dSundV x u SV 11 1 1 右左 S ndSundSudxdxuudxdxdx x u 11113211321 1 1 在正面 132 ndSdxdx 在负面 132 ndSdxdx 其它两个方程的证明类似 10 5 8 商法则 商法则 如果一个具有n个指标的指标符号所代表的量与任意一个矢量点积