热力学习题课.pdf

热学的研究对象热学的研究对象 温度温度 冷热冷热 与温度有关的物理现象和物理规律与温度有关的物理现象和物理规律 对象的特征 大量无规运动的粒子组成对象的特征 大量无规运动的粒子组成 一个人每次呼吸气体大约是一个人每次呼吸气体大约是1022个分子个分子 地球上全部大气约有地球上全部大气约有1044个分子个分子 比值接近比值接近1个摩尔的数值个摩尔的数值 23 10 物质的微观模型物质的微观模型 1 一切物质由大量微观粒子 分子 原子 组成 一切物质由大量微观粒子 分子 原子 组成 分子间有空隙 分子间有空隙 2 组成物质的分子间有 组成物质的分子间有 相互作用力 相互作用力 平衡间距平衡间距 r0 10 10 m f 0 r r 10 9 m f 0 3 分子不停地作无规则运动 平 分子不停地作无规则运动 平 动 转动 振动 动 转动 振动 剧烈程度与温度有关剧烈程度与温度有关 热运动 热运动 f r r0 r 温温 度度 热力学第零定律 热力学第零定律 一切互为热平衡的系统温度相同 一切互为热平衡的系统温度相同 T 1 温度是宏观状态参量 是大量粒子集体表现 温度是宏观状态参量 是大量粒子集体表现 的结果 谈论少数几个粒子的温度没有意义 的结果 谈论少数几个粒子的温度没有意义 2 温度是表征热平衡系统的状态参量 对于非 温度是表征热平衡系统的状态参量 对于非 平衡态系统 系统温度 没有意义 平衡态系统 系统温度 没有意义 3 温度有高低之分 没有有无之别 温度有高低之分 没有有无之别 导导 热热 T T 注意注意 绝绝 热热 温温 标标 温度的数值表示方法温度的数值表示方法 TA TB 第零定律告诉我们 可以通过第三个系第零定律告诉我们 可以通过第三个系 统统 制成温度计 制成温度计 1 1 选定测温物质 选定测温物质 气体 水银 酒精气体 水银 酒精 2 2 定义温标 给测温物质的每一个平衡态 定义温标 给测温物质的每一个平衡态 赋一数值赋一数值 标记温度高低 标记温度高低 X 测温质测温质 的特性的特性 T 温度温度 3 3 常用温标 常用温标 摄氏温标摄氏温标t tC C 华氏温标华氏温标t tF F 1 1atm下纯下纯水水 冰点冰点 0 0o oC C 沸点沸点 10100 0o oC C CF tt 5 9 32 0 准静态过程准静态过程 一 热平衡态与状态参量一 热平衡态与状态参量 T1 T2 T 不同温度的物体不同温度的物体 相互接触相互接触 达到达到 同一温度 同一温度 系统自动演化到唯系统自动演化到唯 一的终态一的终态 均匀均匀 态态 平衡态平衡态 描述平衡态系统可以用描述平衡态系统可以用宏观状态参量 宏观状态参量 P V T 注意 注意 这里的平衡是动态平衡 这里的平衡是动态平衡 微观上并非静止 微观上并非静止 宏观状态参量也有涨落 只是平均值不随时间变化宏观状态参量也有涨落 只是平均值不随时间变化 P F P 0 V PVT P V T P F P V图上一个点图上一个点 一个平衡态一个平衡态 一个过程能在一个过程能在P V图上用一条线描述图上用一条线描述 准静态过程 准静态过程 RT M PV V 0 T P 0 T 二 准静态过程二 准静态过程 理气状态方程理气状态方程 nkTP RT M PV RTPV C T PV P P V V 图图 P T P V T V TVP TVP 平衡过程平衡过程 平衡态平衡态 2014 1 3 热力学系统由大量粒子组成 1 标况 KT273 a PatmP 5 10013 1 1 kT P n 2731038 1 10013 1 23 5 325 1069 2m 十亿亿亿 2014 1 3 2 高真空 mmHgP 13 10 KT273 kT P n 2731038 1760 10013 110 23 513 39 1054 3m 十亿 大量 无规 统计方法 数学基础 概率论 2014 1 3 范德瓦耳斯方程 f r 实际分子 间有相互作用力 10 9 m ro 也 有大小 d 真正的压强比器壁的压强大 真正可活动的空间比容积小 理想气体状态方程 RTpV 对真实气体要作修改 i ppp 真 体真 VVV 2014 1 3 i ppp 真 n 真 p i p 2 2 1 V npi p RTpV 2 2 V a 体真 VVV b RTbV V a p 2 2 范德瓦耳斯方程 2014 1 3 例题例题1 1 在水面下50 0 m深的湖底处 温度为4 0 有一个体积为1 0 x10 5 m3的空气泡升到湖面 上来 若湖面的温度为17 0 求气泡到达湖面的 体积 取大气压强为p0 1 013x105 Pa 分析 分析 将气泡看成是一定量的理想气体 它位于湖 底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态 利用理 想气体物态方程即可求解本题 位于湖底时 气泡 内的压强可用公式求出 其中p为水的密度 常取 p 1 0 x103 kg m 3 2014 1 3 解 解 设气泡在湖底和湖面的状态参量分 别为 p1 V1 T1 和 p2 V2 T2 由分析知湖底处压强为 利用理想气 体的物态方程可得空气泡到达湖面的体 积为 35 10 120 12 121 2 m1011 6 Tp VTghp Tp VTp V 2014 1 3 例题例题2 2 氧气瓶的容积为3 2x10 2 m3 其 中氧气的压强为1 3x107Pa 氧气厂规定 压强降到1 0 x106Pa时 就应重新充气 以免经常洗瓶 某小型吹玻璃车间 平均 每天用去0 40 m3压强为1 01x105 Pa的氧 气 问一瓶氧气能用多少天 设使用过 程中温度不变 2014 1 3 由于使用条件的限制 瓶中氧气不可能完全被 使用 为此 可通过两条不同的思路进行分析 和求解 1 从氧气质量的角度来分析 利用理想气体 物态方程pV mRT M 可以分别计算出每天使用氧气的质量m3和可供 使用的氧气总质量 即原瓶中氧气的总质量m1 和需充气时瓶中剩余氧气的质量m2之差 从 而可求得使用天数 321 mmmn 2014 1 3 解解1 根据分析有 RT VMp m RT VMp m RT VMp m 33 3 12 2 11 1 5 9 33 121 3 21 Vp Vpp m mm n 则一瓶氧气可用天数 2014 1 3 2 从容积角度来分析 利用等温膨胀条件将原瓶 中氧气由初态 p1 1 3x107 Pa V1 3 2x10 2 m3 膨胀到需充气条件下的终态 p2 1 0 x106 Pa V2 待求 比较可得p2状态下实际使用掉的氧气的体积 为V2 V1 同样将每天使用的氧气由初态 p3 1 01x105 Pa V3 0 4 m3 等温压缩到压强为p2的终态 并算出此 时的体积 由此可得使用天数应 为 第一章 热力学系统的平衡态及状态方程 212 VVVn 2014 1 3 2 11 2 p Vp V 每天用去相同状态的氧气容积 2 33 2 p Vp V 5 9 33 121 2 12 Vp Vpp V VV n 则瓶内氧气可用天数为 第一章 热力学系统的平衡态及状态方程 解2 根据分析中所述 由理想气体物态方 程得等温膨胀后瓶内氧气在压强为p2 1 0 x106 Pa时的体积为 一 理想气体的微观模型一 理想气体的微观模型 1 1 同种气体分子完全相同 同种气体分子完全相同 2 2 分子的线度 分子的线度 分子间平均距离分子间平均距离 分子分子 大小可忽略 大小可忽略 3 3 分子之间 分子与容器壁不断碰撞 分子之间 分子与容器壁不断碰撞 4 4 除了碰撞瞬间 分子之间 分子与容器 除了碰撞瞬间 分子之间 分子与容器 壁之间无相互作用 壁之间无相互作用 8 8 处于平衡态时 忽略重力 分子的空间分 处于平衡态时 忽略重力 分子的空间分 布均匀布均匀 7 7 处于平衡态时 分子的速度按方向分布均 处于平衡态时 分子的速度按方向分布均 匀匀 6 6 每个分子运动速度各不相同 并通过碰撞 每个分子运动速度各不相同 并通过碰撞 不断变化 不断变化 5 5 每个分子运动遵守经典力学规律 每个分子运动遵守经典力学规律 理想气体的压强理想气体的压强 一 分子的作用力与压强一 分子的作用力与压强 总数总数N 个 分子质量个 分子质量m 摩尔质量摩尔质量 体积体积V 温度 温度T 气体分子频繁碰撞气体分子频繁碰撞 容器壁容器壁 给容器给容器 壁冲量 大量分子在壁冲量 大量分子在 t 时间内给予时间内给予 I 的冲量 宏观上表现为对器壁的平均的冲量 宏观上表现为对器壁的平均 作用力作用力 F t I F 气体对容器壁的压强气体对容器壁的压强 tS I S F P 二 二 P P 与微观量与微观量 的关系的关系 i v x A tv i V N V t 时间内时间内 A受所有分子的冲量受所有分子的冲量 i i II Atnmv i v ix ix 0 2 2 Atnmv i i ix 2 At I P N Nv nm iix 2 平衡态 朝各个方向运动机会均等平衡态 朝各个方向运动机会均等 2222 3 1 vvvv zvx 2 3 1 vnm 分子平均平动动能分子平均平动动能 2 2 1 vm nP 3 2 温度的微观意义温度的微观意义 RT M PV NmM mN 0 T N R V N P 0 nk nP 3 2 nkTn 3 2 kT 2 3 说明 说明 1 温度是描述平衡态热力学系统的物理量 当两个系统接触却 温度是描述平衡态热力学系统的物理量 当两个系统接触却 没有宏观能量传递时 两者必处于同一热平衡状态没有宏观能量传递时 两者必处于同一热平衡状态 具有相同具有相同 的温度 的温度 2 温度是个统计概念 由微观粒子动能的统计平均值决定 说 温度是个统计概念 由微观粒子动能的统计平均值决定 说 少数几个分子具有多高的温度是无意义的 少数几个分子具有多高的温度是无意义的 一 自由度一 自由度 i 确定物体位置的独立坐标数目 确定物体位置的独立坐标数目 例例 x y z 0 1 质点 质点 位置位置 x y z i 3 平动自由度平动自由度 2 刚性 刚性 细杆细杆 位置位置x y z 方向方向 i 5 3 平动平动 2 转动 转动 3 刚体 刚体 位置位置 x y z 方向方向 自转角度自转角度 i 6 3 平动平动 3 转动 转动 气体分子气体分子 单原子单原子 双原子双原子 常温 常温 多原子多原子 常温 常温 能量均分定理能量均分定理 二 能量均分定理二 能量均分定理 平衡态理想气体分子平均平动动能平衡态理想气体分子平均平动动能 2 2 1 vm m kT v 3 2 2 3kT kTvm x 2 1 2 1 2 分子的每一个平动自由度对应一份相同的能量分子的每一个平动自由度对应一份相同的能量 分子的每一个自由度对应一份相同的能量分子的每一个自由度对应一份相同的能量 2 2 3 x vm 温度为温度为T 的平衡态理想气体的平衡态理想气体 2222 3 1 vvvv zvx kTvm i 2 1 2 1 2 分子平均分子平均 总动能总动能 kT i 2 总总 单原子单原子 双原子双原子 kT 2 3 总总 kT 2 5 总总 kT3 总总 多原子多原子 T K mol 0 NU 总总 kT i 2 总总 RkN 0 RT i U 2 内能 内能 与系统内与系统内 所有分子热运动所有分子热运动 相关的能量相关的能量 动能动能 相互作用势能相互作用势能 化学能 核能化学能 核能 不涉及化学反应 核反应不涉及化学反应 核反应 理想气体不考虑理想气体不考虑 相互相互 作用势能作用势能 1mol 理想理想 气体的内能气体的内能 RT i U 2 理想气体的内能是理想气体的内能是 温度的单值函数 温度的单值函数 三 三 理想气体的内能理想气体的内能 理想气体系统由氧气组成 压强理想气体系统由氧气组成 压强P 1 atm 温度 温度T 27oC 例题例题 求求 1 单位体积内的分子数 单位体积内的分子数 2 分子的平均 分子的平均 平动动能平动动能 和平均转动动能 和平均转动动能 3 单位体积中的内能 单位体积中的内能 解解 1 根据根据 nkTp kT p n 30010381 100131 23 5 325 1045 2 m 2 kT 2 3 平平 Tk 转转 J 21 1021 6 J 21 1014 4 3 转转平平 nEJ 5 1054 2 222 OHOH 222 OH2OH2 例题例题 将水蒸汽分解成相同温度的氢气和氧气 将水蒸汽分解成相同温度的氢气和氧气 求内能增加的百分比求内能增加的百分比 解解 2 mol 水水 RTU6 OH2 2 mol 氢气氢气 RTU5 2 H 1 mol 氧气氧气 RTU 2 5 2 O 25 6 65 7 OH OHOH 2 222 U UUU 考察总分子数为考察总分子数为N 温度 温度T 的平衡态气体系统分子速率分布 的平衡态气体系统分子速率分布 速率分布函数速率分布函数 速率在速率在v 附近附近 单位速率单位速率 区间的分子数占总分子书的百分比区间的分子数占总分子书的百分比 vN N vf v d d 平衡态平衡态 麦克斯麦克斯 韦速率分布函数韦速率分布函数 2 3 2 2 2 4 2 mv kT m f vev kT 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布 vf v 1 对于给定气体 对于给定气体f v 只是只是T 的函数 的函数 T1 T2 T 速率分布曲线如何变化 速率分布曲线如何变化 温度升高 温度升高 速率大的分子速率大的分子 数增多 数增多 曲线峰右移 曲线下面积保持不曲线峰右移 曲线下面积保持不 变 所以峰值下降 变 所以峰值下降 2 速率分布是统计规律 只能说 速率分布是统计规律 只能说 某一速率区间某一速率区间的分子有的分子有 多少 不能说 速率为多少 不能说 速率为某一值某一值的分子有多少 的分子有多少 3 由于分子运动的无规则性 任何速率区间的分子数都在 由于分子运动的无规则性 任何速率区间的分子数都在 不断变化 不断变化 dNv 只表示统计平均值 为了使只表示统计平均值 为了使dNv 有意义 有意义 dv 必须宏观足够小 微观足够大 必须宏观足够小 微观足够大 T1 T2 v0 v0 d v vf v 1 1 速率在速率在v v0 0 v v0 0 d d v v区间的分区间的分 子数 占总分子数的百分比子数 占总分子数的百分比 vvf N N v d d 0 0 2 2 速率在速率在v v1 1 v v2 2 区间的分子 区间的分子 数 占总分子数的百分比数 占总分子数的百分比 v1 v2 vf v vvf N N v v v v v d d 2 1 2 1 3 全部分子占总分子数的百分比全部分子占总分子数的百分比 1 1d 0 vvf归一化条件归一化条件 4 速率在速率在v1 v2 区间的分子的平均速率区间的分子的平均速率 2 1 2 1 d d 21 v v v v v N Nv v 2 1 2 1 d d v v v v vvf vvvf 5 全部分子的平均速率全部分子的平均速率 0 0 d d vvf vvvf v 1 vvvfvd 0 6 速率平方的平均值速率平方的平均值 vvfvvd 0 22 速率为速率为v p 的分子数最多的分子数最多 v p 附近单位速率区间附近单位速率区间 的分子数最多的分子数最多 二 三种速率 对应麦克斯韦速率分布 二 三种速率 对应麦克斯韦速率分布 vf v v p 可用求极值的方法求得 可用求极值的方法求得 令令 0 d d v vf 解出解出 v RT v p 411 得得 1 最概然速率最概然速率v p 2 平均速率 平均速率 v vf v v1 v2 一段速率区间一段速率区间v1 v2的平均速率的平均速率 2 1 2 1 d d 12 v v v v N Nv v 2 1 2 1 d d v v v v vvfN vvvfN 与区间与区间v1 v2的选择有关 的选择有关 0 整个速率区间的平均速率整个速率区间的平均速率 0 0 d d vvf vvvf v vvvfd 0 麦克斯韦分布律麦克斯韦分布律 RT v601 12 v v 3 方均根速率 方均根速率 2 v vf v 一段速率区间一段速率区间v1 v2的方均速率的方均速率 2 1 2 1 d d 2 2 12 v v v v N Nv v 2 1 2 1 d d 2 v v v v vvfN vvfvN 0 整个速率区间的方均速率整个速率区间的方均速率 0 0 2 2 d d vvf vvfv v vvfvd 0 2 m kT3 RT m kT v731 3 2 vv p 2 v 37 23 0 2 4 de 2 xx x 高斯积分 2 1 de 0 2 xx x 21 0 2 de 2 x x 2 0 3 2 1 de 2 xx x 25 0 4 8 3 de 2 xx x 三 非麦克斯韦速率分布函数三 非麦克斯韦速率分布函数 例题例题 已知系统的分子数 已知系统的分子数N 速率分布函数速率分布函数 vf 01 0vvvf 002 2vvvaf vvf 03 20 vf v v0 2v0 a 求 求 1 a 2 速率在 速率在1 5v0 2v0之间的分子数 之间的分子数 3 速率在 速率在0 v0之间分子的平均速率 之间分子的平均速率 4 平均速率 平均速率 2 0 v aN 0 3 2 v 解解 1 根据归一化条件根据归一化条件 0 0 2 5 1 d v v NN 1d 0 vvf 1 2 0 0 av av 曲线下面积曲线下面积 0 3 2 v a 2 dv 区间的分子数区间的分子数 为为dN 则 则1 5v0 2v0之间之间 的分子数的分子数 0 0 2 5 1 d v v vvfN vf 2 3 N v v a vf 0 1 a 0 2v 0 0 2 5 1 d v v vNa 4 平均速率 平均速率 0 dvvvfv 0 0 0 2 0 2 0 dd v v v vavvv v a 2 0 2 0 2 3 3 v a v a 0 9 11 v 3 速率在 速率在0 v0之间之间 分子的分子的平均速率平均速率 0 0 0 0 0 0 v v v dN vdN v 0 0 0 1 0 1 d d v v vvf vvvf v v a vf 0 1 0 0 0 0 2 d d v v vv vv 0 3 2 v 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 zzz yyy xxx vvv vvv vvv d d d 在这样状态区间的在这样状态区间的 分子数占总分子数分子数占总分子数 的百分比 的百分比 kT E eN zzz yyy xxx d d d 在温度为在温度为T 的平衡态系统中 在某一状态区间的粒的平衡态系统中 在某一状态区间的粒 子数与粒子处于该区间的能量子数与粒子处于该区间的能量E相关 相关 一 玻尔兹曼分布律一 玻尔兹曼分布律 玻尔兹曼玻尔兹曼 分布规律分布规律 按统计规律 系统中的粒子总是首先占据低能态 按统计规律 系统中的粒子总是首先占据低能态 二 重力场中粒子按高度分布二 重力场中粒子按高度分布 在离地面高度的空间 在离地面高度的空间 速度为速度为v 的分子的能量的分子的能量 pk EEE mgzmv 2 2 1 状态区间的分子数状态区间的分子数 zyxvvv zyx dddddd dxdydzdvdvdvCedN zyx kT EE pk zyxeCNd kT Ep ddd 只考虑按空间分布只考虑按空间分布 分子数密度分子数密度 kT Ep eCn mghE p 设设h h 0 0 处处 密度为密度为n n0 0 压强为压强为p p0 0 kT mgh enn 0 RT gh en 0 RT gh epp 0 43 讨论题讨论题1 1 说明下列各式的物理意义 说明下列各式的物理意义 dvvf 2 dvvNf 3 2 1 V V dvvf 4 0 dvvfvE 讨论讨论 1 1 分子运动速率在v v dv间的概率 2 2 分子运动速率在v v dv间的分子数 3 3 分子运动速率在v1 v2间的概率 4 4 物理量 的统计平均值 vE 1 44 2 某气体速率分布函数为 f v 分子质量为 m 最概然速 率为 vP 总分子数为 N 则 表示表示 P v vvfd 表示表示 0 2 d 2 1 vvfmv 速率大于 v0的分子数可表示 为 速率大于vP的分子数占总分子数的比例 分子的平均平动动能 速率大于 v0的分子的平均速率可表示为 0 d v vvNfN 0 0 d d v v vvf vvvf 45 BA BBAA BBAABA NN vvfNvvfN vN N vf vvfNvvfNNNN vvv d d d d d d ddd d 之间之间在在 3 某系统由两种理想气体A B组成 其分子数分别为 NA NB 若在某一温度下 A B两气体各自的速率分布函数为 fA v fB v 则在同一温度下 由A B气体组成系统的 速率分布函数如何确定 46 例题1 一容器被中间的隔板分成相等的两半 一半装有氦气 温度为250K 另一半装有氧气 温度为310K 两者压强相等 求去掉隔板后两种气体混合后的温度 有物态方程可知在混合前有 2211 RTRTpV 1 2 2 1 T T 1 解解 混合后两种气体分子在每个自由度上的平均能量相等 且气体的总能量保持不变 设氦气的摩尔数为v1 氧气的摩尔 数为v2 47 21 2211 2 5 2 3 2 5 2 3 TT T KTT4 284 109 124 1 混合后气体的总能量保持不变 因此有 由式 1 式 2 联立解得 RTRTRT 212211 2 5 2 3 2 5 2 3 2 48 2 导体中自由电子的运动可以看作类似于气体分子的运 动 通常称作电子气 设导体中共有N个自由电子 其中电子的最大速率为vF 称作费米速率 已知电子速率 在v v dv 间的概率密度为 F F vv vvAv vN N vf 0 0 d d 2 1 求常数A 2 求电子的最概然速率和平均速率 49 解解 1 由归一化可以求得常数A 1 3 1 dd 3 0 2 0 F v AvvAvvvf F 3 3 F v A 2 设最概