1.2 二进制与数值信息的表示.doc

1.2 二进制与数值信息的表示1.2.1 二进制1.什么是二进制日常生活中人们最熟悉十进制数，一个数用10个不同的符号来表示，每一个符号处于十进制数中不同位置时，它代表的实际数值是不一样的。例如，1 997.82代表的实际值是1 997.82=1103+9102+9101+7100+810-1+210-2在十进制记数制中，基数是10，它表示这种记数制一共使用10个不同数字符号，低位记满10之后就要向高位进一，即日常所说的“逢十进一”。二进制和十进制相仿，也是一种进位记数制。但它的基数是2，它只使用两个不同的数字符号，即0和1，而且二进制数是“逢二进一”。例如，二进制数（10101）2代表的实际数值是（10101）2=124+023+122+021+120=（21）10对于二进制小数，也有类似情况，例如（101.01）2的实际数值是（101.01）2=122+021+120+02-1+12-2=(5.25)10从十进制和二进制的概念出发，可以进一步推广到更一般的任位制的情况。最常用的有八进制和十六进制两种。八进制数使用0、1、2、3、3、4、5、6、7这8个数字，逢八进一。（365.2）8=382+681+580+28-1=(245.25)10十六进制数使用0、1、2、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F这16个符号，其中A、B、C、D、E、F分别代表十进制的10、11、12、13、14、15。在十六进制数中，低位逢十六进一，高位借一当十六。（F5.4）16=15161+5160+416-1=(245.25)103.不同进位制数之间的转换例1.1 二进制数转换成十进制数。（111.001）2=(122+121+120+02-1+02-2+12-3)10=（7.125）10例1.2 八进制数转换成十进制数。（34.6）8=(381+480+68-1)10=（28.75）10例1.3 十六进制数的转换成十进制数（2AB.C）16=(2162+10161+11160+1216-1)10=（68.375）104. 二进制信息的计量单位二进制的每一位（即0或1）称为“二进制位”，英文是binary digit，缩写为bit，中文直译为比特，也称为“二进位”，在含义不发生混淆时简称“位”，一般用小写的字母“b”表示。比特是计算机处理、存储、传输信息的最小单位。在计算机系统中，存储容量是用它能存储多少字节的二进制信息作为度量单位的。内存容量的度量单位有：千字节（KB），1 KB=210B=1 024 B兆字节（MB），1 MB=220B=1 024 KB吉字节（GB），1 GB=230B=1 024 MB太字节（TB），1 TB=240B=1 024 GB1.2.2 整数在计算机内的表示1.整数（定点数）的表示整数不使用小数点，或者说小数点是隐含在个位数右面的，所以它也称为定点数。计算机中的整数分为两类：不带符号的整数（unsigned integer），此数整数一定是正整数；带符号的整数（signed integer），此类整数既可表示整数，又可表示负整数。不带符号的整数常常用于表示地址等正整数，它们可以是8位、16位甚至32位。8个二进位所能表示的正整数其取值范是0255(28-1)，16个二进位所能表示的正整数其取值范围是065 535(216-1),32个二进位所能表示的正整数其取值范围是0232-1。带符号的整数必须使用一个二进位作为其符号位，一般总是最高位（最左面的一位），0表示“+”（正数），1表示“-”（负数），其余名位则用来表示数值的大小。例如：00101011=+43 10101011=-43可见，8个二进位所能表示的带符号整数其取值范围是-127+127(-27+1+27-1),16个二进位所能表示的带符号整数其取值范围是-32 767+32 767(-215+1+215-1),32个二进位所能表示的带符号整数其取值范围是-231+1+231-1,64个二进位所能表示的带符号整数其取值范围也可类似地推算出来。为了内部运算处理方便，数值为负的整数在计算机内不止一种表示方法。上面的表示法称为“原码”，另外的两种表示方法分别称为反码和补码。负数使用反码表示时，符号位为1，但绝对值部分却正好与原码相反（0变为1，1变为0）。例如：（-43）原=10101011(-43)反=11010100负数使用补码表示时，符号位也是1，但绝对值部分却是反码的个位加1后所得到的结果。例如：（-43）原=10101001（-43）反=11010100（-43）补=11010101还有一种整数也经常在计算机内使用，称为“二进制编码的十进制”整数（binary coded decimal,BCD整数），它使用4个二进位表示1个十进制数字，符号的表示仍与上相同。例如：（-56）BCD=1 0101 01102.整数的运算（1）不同长度整整之间的转换一般而言，短整数可以转换成长整数表示而保持其数值不变，而反过来却不行。短整数转换成长整数表示的方法是，把符号位向左扩充至所需要的长度为止。（2）整数的变号操作所谓“变号操作”，是指将该整数变成绝对值相同符号相反的另一个整数。变号操作又称为“取负”运算，它的处理方法是，将该整数的每一个二进位变反，然后在最末位（个位）加1，其结果即为所求。（3）整数的移位操作移位操作有多种。按照移位方向来分，移位操作可分成左移、右移两大类；按照操作性质则又可区分为算术移位、逻辑移位和循环移位等不同类型。 算术移位当乘数或除数是2n时，算术移位用来快速地完成对整数进行乘法或除法的运算。算术左移n位相当于乘以2n,执行方法是把原来的数中每一位都向左移n个位置，左面移出的高位丢弃，右面低位空出的位置上全部补0。若正数左移过程中移出的位中包含1，或者负数移出的位中包含0时，则表示运算结果超出了可表示的数值范围，即发生了溢出，结果不正确。 逻辑移位逻辑左移n位的执行方法是，把原来的数中每一位都向左移动n个位置，左面移出的高位丢弃，右面低位空出的位补0。逻辑右移n位的执行方法是把原来的每一位都向右移动n个位置，右面移出的低位丢弃，左面高位的位置上全部补0。 循环移位循环移位是一种逻辑操作，它仅仅移动操作数中二进位信息的位置，不会丢弃任何一位信息。循环左移n位是把原来的数中每一位都向左移动n个位置，左面移出的高位放在右面低位空出的位置上。循环右移n位则把原来数中的每一位都向右移动n个位置，右面移出的低位放到左面高位空出的位置上。（4）逻辑运算逻辑运算（又称为布尔运算）总是按位进行处理的，即对应位之间进行规定的逻辑运算，不考虑位与位之间的进位。常用的基本逻辑运算有4种：“非”运算（NOT）、“或”运算（OR）、“与”运算（AND）、“按位加”运算（XOR），它们都非常简单。（5）整数加法两个带符号整数相加的运算方法很简单，只需从低位到高位把所有位（包括符号位）相加，逢二进一，最高位产生的进位忽略不计。做加法运算时判断有无溢出的规则是，两个同号的整数相加，若结果的符号却相反，则发生溢出。注意，是否发生溢出并不取决于最高位有无进位。（6）整数减法两上带符号整数相减的运算方法也很简单，只需先把减数变号，然后再与被减数相加即可。做减法运算时判断有无溢出的规则是，两个异号的整数相减，若结果的符号与被减数符号相反，则发生益出。当然，是否发生溢出也并不取决于最高位有无进位。1.2.3 实数在计算机内的表示1.实数（浮点数）的表示实数也称为浮点数，因为它的小数点位置不固定。实数是既有整数又有小数的数，整数和纯小数可以看做是实数的特例。任意一个实数在计算机内部都可以用“指数”（整数）和“尾数”（纯小数）来表示，这种用指数和尾数来表示实数的方法称为“浮点表示法”。所以，在计算机中实数也称为浮点数，而整数则称为定点数。以流行的Pentium系列微处理器中的浮点数为例，它表示为如下形式。（-1）s2E(b0b1b2b3bp-1)可以看出,pentium系列微处理器中的浮点数具有如下性质。 最高位是符号位，它表示该浮点数（实数）的正负。 规格化浮点数的尾数的最高位（第1位）总是1，它不必在尾数表示出来。 浮点数的0有两种，+0和-0。+0表示成全0，即0 00000000 000000000000000000000000，-0表示成1 00000000 00000000000000000000000。 浮点数的表示范围虽然很大，但运算中还是可能出现超出它允许范围的一些结果，这种情况称为“向上溢出”。 浮点数能表示绝对值很小的数，当运算中出现绝对值更小的数时，这种情况称为“向下溢出”，这时，处理器只能用0来表示。2.实数的运算浮点数的加、减运算要比定点数（整数）复杂得多。下面只作简要介绍。设浮点数A=As2Ea,B=Bs2Eb则和数C=(As2Ea-Eb+Bs) 2Eb,差D=(As2Ea-Eb-Bs) 2Eb(若EaEb)或者：和数C=(As+Bs2Eb-Ea) 2Ea,差D=(As-Bs2Eb-Ea) 2Ea(若EaEb)一般来说，浮点数的加、减运算有如下几个步骤： 检测A和B中有无0，若A=0，则C=B，若B=0，则C=A。运算结束。 计算两数阶码之差，即d=Ea-Eb，若d0，则将尾数Bs向右移d位，若d0,则将尾数As向右移-d位，若d=0,则As和Bs均不移位。这个过程称为对阶。 将对阶过后的两个尾数相加或相减。 把结果进行规格化。对于Pentium处理器来说，若结果尾数绝对值小于1，则尾数不断左移且阶码不断减1，直至尾数绝对值大于或等于1；若结果尾数绝对值大于或等于2，则尾数右移1位阶码加1。注意，两浮点数相加或相减时，在结果规格化的过程中，可能会发生上溢或下溢。浮点数的乘除法比加减法稍简单一些，其公式为：乘积=（AsBs）2Ea+Eb商=(As/Bs) 2Ea-Eb处理过程如下。 检测A和B中有无0，若As=0，则乘积（商）=0，运算结束；若Bs=