凸性的分析技巧-CAT空间(2).doc

凸性的分析技巧：CAT-空间 (2) 作者：程天任前言：本文研究CAT空间，即有界曲率流形的基本群与几何量的关系。另外，我们还考虑了有界曲率流形的微分结构与拓扑结构。在微分流形以及黎曼几何中，一个黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，换句话说，这个流形上配备有一个对称正定的二阶协变张量场，亦即在每一点的切空间上配备一个正定二次型。给了度量以后，我们就可以像初等几何学中一样，测量长度，面积，体积等量。爱因斯坦的广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲，测量的标准就是所谓的度量。 度量是内蕴性质。具有度量的空间就称为黎曼空间。流形上的黎曼度量给定后，我们可以得到一个唯一确定的对称（即无挠）联络，并且它保持黎曼度量。这个联络称为这个黎曼度量的Levi-Civita联络。有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。欧氏空间的联络就是通常意义上的向量函数的微分。另一方面，黎曼度量还诱导出曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度。曲率处处为零的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。德国数学家高斯最早研究了曲面上的曲率，发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。 本文分为3部分：首先，我们运用分析的工具研究测地度量空间与双曲型空间的几何性质；然后，我们应用代数的方法，进一步澄清CAT空间中几何营造块的拓扑结构；最后，我们分析非欧几里得空间与Minkowski几何之间的联系，并考虑CAT空间的性质在凸可微函数中的应用。以下所述是本文的第二部分。1. Hadamard 空间的结构Hadamard 空间：其中，是中点且1.1 Tits 度量与Tits边界首先，我们定义无穷远处的Tits 角(文献1)其中，这里，我们引入同构关系：, 我们应用同构定理处理这种关系：其中，接下来，我们应用这种关系到Tits 角中：, 其中，度量空间是群。1.2 凸子集与平行集这里，我们考虑参数：我们考虑由范数所诱导的距离：我们定义一个二元组：其中，, 最后，我们写出我们的估计式： 1.3 诱导同构与边界问题这里，我们研究极限：我们考虑同态映射：根据1.1节中对度量空间的弱化，我们可以把这个度量空间之间的同态映射看作群与群之间的同态。这里，我们引入正规子群：是的一个包含的正规子群我们可以构造一个态射：最后，我们构造出映射：其中，另一个结果是(参照1.2节)：1.4 Gromov 双曲群根据文献2中的结果，我们可以把表示成：1.5 Hadamard 空间中的不动点首先，我们考虑稳定子：，接下来，我们考虑中心化子并定义一种循环结构：因为，根据1.4节的结果：最后，我们写出这个不动点：这里，我们给出一种寻找Hadamard空间不动点的方法。通过构造一个包含核空间的正规子群来寻找这个不动点。2. 球面building与欧几里得building 2.1 对称空间的渐进锥这里，我们考虑柯西列(文献1)：我们引入商空间：是中的柯西列，是的子列2.2 Mostow 刚性与李群同构(文献3 4)这里，我们考虑李群同构的延拓：我们引入商空间：我们定义投影(商映射)：我们定义乘积空间：首先，我们引入提升处理商映射：其中， 接下来，我们引入内自同构：， (是素数)2.3 Gromov 双曲型空间首先，我们引入度量(文献5)在中，我们可以写出：根据对称空间的代数结构(文献6)我们定义这个道路映射为：最后，我们引入测度(文献7)：最后，我们分三种情况讨论：2.4 Coxeter 复形接下来我们回到文献1 2，继续研究复形的性质。首先，我们定义映射：，我们引入同伦：2.5 Moufang building与凸集这里，我们定义映射：2.6 欧几里得building的拓扑结构这里，我们研究双射：我们引入边缘同态并且构造正合序列：考虑到序列的合成是0，所以：， ()2.7 仿射weyl 群这里，我们写出度量的式子：1，2. 3. 2.8 同态，准等距与相似逼近最后，我们给出逼近半径的方法：根据2.7节的结果，可以用来逼近半径。根据链映射的导出关系以及链同伦关系，我们得到：另一方面，根据Hadamard 空间性质：接下来，我们应用2.3节与2.4节的结果处理度量中的极限点：，我们令：我们就得到了在闭球中的点的范数的估计：同时， ，这里，我们研究Gromov空间中的凸函数。首先，我们构造一个内自同构；然后，我们通过定义道路映射把凸函数分为3种情况；接下来，我们引入同态的正合序列以逼近半径；最后，我们找到的极限位置，并相应地把凸函数也划分为3种情况。3. CBA空间与CBB空间 (文献8 9)3.1 重心单形首先，我们写出映射：我们引入庞加莱示性数并考虑无限循环群：，接下来，我们写出Abel群的表示即示性数：与分别是群与的最大线性无关组以上的条件是对于有限生成的情况，对于无限生成的Abel群，上述条件未必成立。3.2 子群同构根据3.1节的结果，我们可以把G的元素唯一地表示成，我们写出这个问题的几个等价条件：a) ,b) G的导群G等于，且，这里c) 表示，是m次单位原根d) 不可约.1另一方面，考虑到3.1节中的条件：3.3 有限群与无限群这里，我们研究文献8的第6小节：根据3.1节的结果，我们选取：最后，我们写出我们的估计式：3.4 凸函数与条形空间首先，我们写出条形空间的定义：我们引入Steinhaus定理： ()3.5 纤维丛这里，我们定义映射：我们引入柱坐标系的拉普拉斯算子：3.6 能量方程根据平移的测度不变性，我们有：我们定义一个交集上的测度函数：最后，我们研究能量方程并写出估计式： 我们选取参数使得：其中 , ，首先，我们研究有限群与无限群的表示；然后，我们应用steinhaus定理逼近条形空间中的凸函数；最后，我们引入拉普拉斯算子估计能量，得到关于凸性的一个结果。4. 应用概率测度处理凸可微函数这里，我们引入算子半群(文献10)：接下来，我们引入概率测度处理这个问题(文献11 12 13)：首先，我们把写成对偶形式：接下来，我们引入卷积： ()这里，我们把积分区间中的边缘部分划分出来，运用凸性找到逼近边缘空间的方法。最后，我们得到一个关于凸函数的等式的存在性。参考文献：1. Bruce kleiner, berunhard leeb, rigidity of quasi-isometries for symmetric spaces and Euclidean buildings, (1996)2. Bruce kleiner, the geodesic flow of a nonpositively curved graph manifold, (2013)3. Bruce kleiner, the asymptotic geometry of negatively curved spaces: uniformization, geometrization and rigidity, (2000)4. Daniel guan, classification of compact complex homogeneous manifolds with pseudo-kahlerian structures, (2010)5. bonk, schramm, embeddings of gromov hyperbolic spaces, (2000)6. Bruce kleiner, rigidity of invariant convex sets in symmetric spaces, (2005)7. Gromov, Milman, generalization of the spherical isoperimetric inequality to uniformly convex banach spaces, (1987)8. Bruce kleiner, the local structure of length spaces with curvature bounded above, (1998)9. Alexander, bishop, curvature bounds for warped products of metric spaces, (1991)10. bogachev, goldys, second derivatives of convex functions in the sense of A.D. Alexandrov on infinite dimensional spaces with measures, (1991)11. gardner, the brunn-minkowski inequality, (2002)12. Daniel hug, gunter last, on support measures in minkowski spaces and contac