3-3(黄昆-固体物理)-教案.doc

3.3 一维双原子链 声学波和光学波1. 教学目的和要求: 通过讲解一维双原子链波动方程的求解，使学生理解并掌握声学波和光学的概念。2教学重点：声学波和光学的概念。3教学难点：一维双原子链波动方程的建立及求解。4讲授时间：90分钟。5讲授方式：PPT文档。6作业：3.2，3.3。一一维双原子链的概念 一维复式格子的情形_一维无限长链 P和Q两种不同原子：m、M（Mm）构成的一维复式格子 相邻同种原子间的距离为2a 复式格子的晶格常数。 如图XCH003_005所示。 质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 。 质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 。 二一维双原子链的波动方程及其解牛顿运动方程：体系N个原胞，有2N个独立的方程方程解的形式： 因为Mm，复式格子中不同原子振动的振幅一般来说是不同的。 将带回到运动方程得到： 若A、B有非零的解，系数行列式满足： 三一维双原子链的色散关系一维复式晶格的结果与一维单原子晶格的情形比较，与q之间存在着两种不同的色散关系 一维复式格子晶体中可以存在两种独立的格波 两种不同的格波的色散关系： 如图XCH003_006_01所示。 格波的振幅 将和分别代入得到 和 相邻原胞之间的位相差 为了保证波函数的单值性，一维复式格子q的值限制在： 第一布里渊区 第一布里渊区大小：采用周期性边界条件： , h为整数 每个波矢在第一布里渊区占的线度：第一布里渊区允许q的数目： 晶格中的原胞数目 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 总的格波数目为2N，为原子的数目2N。 四一维双原子链的色散关系的特点色散关系的特点 当(布里渊边界) 短波极限情况 两种格波的频率：因为Mm，所以： ，可见在时没有格波。 之间的频率范围叫频率隙 一维双原子晶格叫做带通滤波器。如图XCH003_006_01所示。 五讨论，长波极限情况 声学波 ， 利用整理后得到： 的色散关系与一维布喇菲格子的情形形式上是相同的 由完全相同原子所组成的布喇菲格子只有声学波 将代入得到： 原胞中两个原子振动振幅相同，如图XCH003_006_02所示。 在长声学波中相邻原子振动方向相同，并且振幅相同，它代表的是原胞质心的振动。如图XCH003_006_02所示。 光学波 ，当即波长很大时：将和代入得到： 长光学波中同种原子振动位相一致，相邻原子振动方向相反 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间的相对运动。如图XCH003_006_03所示。 六例题 在一位复式格子中，如果，计算1） 光学频率的最大值和最小值，声学频率的最大值；2） 相应声子的能量，3） 在下，三种声子数目各为多少？4） 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？解：1）声学波的最大频率：，光学波的最大频率：， 光学波的最小频率：2）相应声子的能量，；，3）一个频率为的谐振子具有激发能的几率： 根据归一化条件 ，利用，得到 能量为谐振子的平均能量：，利用，得到，又因为处于简正频率为振子平均能量： 可见处于第i，q态的声子平均数： 在下，光学波频率的声子数目： 将和代入： 光学波频率的声子数目： ，声学波频率的声子数目：，4）如