11第十一章_结构动力学.doc

第十一章 结构动力学？本章的问题：A. 什么是动力荷载？B. 结构动力计算与静力计算的主要区别在哪？C. 本章自由度的概念与几何组成分析中的自由度概念有何不同？D. 建立振动微分方程的方法有几种？E. 什么是体系的自振频率、周期？F. 什么是单自由度体系的自由振动？G. 什么是单自由度体系的受迫振动？H. 什么是多自由度体系的自由振动？I. 什么是多自由度体系的受迫振动？J. 什么叫动力系数？动力系数的大小与哪些因素有关？K. 单自由度体系位移的动力系数与内力的动力系数是否一样？L. 在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？111 概 述 前面各章都是结构在静力荷载作用下的计算，在实际工程中往往还遇到另外一类荷载，即荷载的大小和方向随时间而改变，这一章我们将讨论这类荷载对结构的反应。荷载分：静力荷载：是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载。在静力荷载作用下，结构处于平衡状态，荷载的大小、方向、作用点及由它所引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化。动力荷载：在动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，因而其计算与静力荷载作用下有所不同，二者的主要差别就在于是否考虑惯性力的影响。有时确定荷载是静荷载还是动荷载要根据对结构的反应情况来确定，若在荷载作用下将使结构产生不容忽视的加速度，即动力效应，就应按动荷载考虑。在工程结构中，除了结构自重及一些永久性荷载外，其他荷载都具有或大或小的动力作用。当荷载变化很慢，其变化周期远大于结构的自振周期时，其动力作用是很小的，这时为了简化计算，可以将它作为静力荷载处理。在工程中作为动力荷载来考虑的是那些变化激烈、动力作用显著的荷载。如风荷载对一般的结构可当做静荷载，而对一些特殊结构往往当做动荷载考虑。荷载按动力作用的变化规律，又可分为如下几种： (1) 简谐周期荷载 这是指荷载随时间按正弦(或余弦)规律改变大小的周期性荷载，例如具有旋转部件的机器在等速运转时其偏心质量产生的离心力对结构的影响就是这种荷载。这类荷载在工程中见的较多。 (2) 冲击荷载 这是指荷载很快地全部作用于结构，而作用时间很短即行消失的荷载，例： 如打桩机的桩锤对桩的冲击、车轮对轨道接头处的撞击等。 (3) 突加荷载 在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载，例如粮食口袋卸落在 仓库地板上时就是这种荷载。这种荷载包括对结构的突然加载和突然卸载。这里要注意突加荷载、和冲击荷载的区别。 (4) 快速移动的荷载 例如高速通过桥梁的列车、汽车等。 (5) 随机荷载 例如风力的脉动作用、波浪对码头的拍击、地震对建筑物的激振等，这 种荷载的变化极不规则，在任一时刻的数值无法预测，其变化规律不能用确定的函数关系来 表达，只能用概率的方法寻求其统计规律。 3、 如果结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用，这种振动就称为自由振动；若在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫振动。研究自由振动是研究强迫振动的基础。4、 结构动力计算的目的：在于确定动力荷载作用下结构的内力、位移等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。因此，研究强迫振动就成为动力计算的一项根本任务。然而，结构在强迫振动时各截面的最大内力和位移都与结构自由振动时的频率和振动形式密切有关，因而寻求结构自振频率和振型就成为研究强迫振动的前提。 112 结构振动的自由度在动力荷载作用下，结构将发生弹性变形，其上的质点将随结构的变形而振动。质点在振动过程中任一瞬时的位置，可以用某种独立的参数来表示。例如图111a所示简支梁在跨中固定着一个重量较大的物体，如果梁本身的自重较小而可略去，并把重物简化为一个集中质点，则得到图111b所示的计算简图。如果不考虑质点m的转动和梁轴的伸缩，则质点m的位置只要用一个参数y就能确定。我们把结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目，称为该结构振动的自由度。据此，图11l所示的梁在振动中将只具有一个自由度。结构振动自由度的数目，在结构动力学中具有很重要的意义。具有一个自由度的结构称为单自由度结构，自由度大于1的结构则称为多自由度结构。图 11-1在确定结构振动的自由度时， 应注意以下几点：不能根据结构有几个集中质点就判定它有几个自由度，而应该由确定质点位置所需的独立参数数目来判定。例如图112a所示结构，在绝对刚性的杆件上附有三个集中质点，它们的位置只需一个参数，即杆件的转角。便能确定，故其自由度为1。又如图112b所示简支梁上附有三个集中质量，若梁本身的质量可以略去，又不考虑梁的轴向变形和质点的转动，则其自由度为3，因为尽管梁的变形曲线可以有无限多种形式，但其上三个质点的位置却只需由挠度y1、y2，、y3，就可确定。又如图112c所示刚架，虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移y1和竖直位移y2：两个独立参数才能确定，因此自由度为2。图11-2在确定刚架的自由度时，我们仍引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的自由度数目即等于所加入链杆的数目。例如图112d所示刚架上虽有四个集中质点，但只需加入三根链杆便可限制其全部质点的位置(112)，故其自由度为3。由此可见，自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与结构是否静定或超静定无关。当然，自由度的数目是随计算要求的精确度不同而有所改变的。如果考虑到质点的转动惯性，则相应地还要增加控制转动的约束，才能确定自由度数。以上是对于具有离散质点的情况而言的。但是，在实际结构中，质量的分布总是比较复杂的，除了有较大的集中质量外，一般还会有连续分布的质量。例如图112f所示的梁，其分布质量集度为m(kgm)，此时，可看作是无穷多个mdx的集中质量，所以它是无限自由度。当然完全按实际结构进行计算，情况会变得很复杂。因此我们常常针对某些具体问题，采用一定的简化措施，把实际结构简化为单个或多个自由度的结构进行计算。例如图113a所示机器的块式基础，当机器运转时，基础将产生垂直振动?若用弹簧表示地基的弹性，用个集中质量代表基础的质量，就可简化为图示的支承集中质量的弹簧，使结构转化为单自由度结构。又如图113b所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，在略去次要因素后，就可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。图11-3113 单自由度结构的自由振动研究结构的动力计算，我们先从单自由度的简单结构开始。 所谓自由振动，是指结构在振动进程中不受外部干扰力作用的那种振动。产生自由振动的原因只是由于在初始时刻的干扰。初始的干扰有两种情况：（1）由于结构具有初始位移；（2）由于结构具有初始速度；或者这两种干扰同时存在。例如图114所示，在跨中支承集中质量的简支梁，若把质点m拉离其原有的弹性平衡位置，达到图中虚线所示的偏离位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复振动。由于在振动进程中不再受到外来干扰，所以这时的振动就是自由振动。这是由于结构具有初始位移而引起自由振动的例子。又如若对图114的质点施加瞬时冲击作用，在极短的时间内使其获得一定的初速度，当它还来不及发生显著的位移时，外力又突然消失，这样引起的结构振动，便是初始速度干扰下产生自由振动的例子。图11-4影响结构振动的因素很多，阻尼是其中之一，为简单起见不妨先略去阻尼的影响。1、不考虑阻尼时的自由振动 对于各种单自由度结构的振动状态，都可以用一个简单的质点弹簧模型来描述，如图115a所示，弹簧下端悬挂一质量为m的重物。我们取此重物的静力平衡位置为计算位移y的原点，并规定位移y和质点所受的力都以向下为正。设弹簧发生单位位移时所需加的力为系为K11,称为弹簧的刚度；而在单位力作用下产生的位移为，称为弹簧的柔度，但两者的关系为图 11-5为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，应先建立振动微分方程， 然后求解。建立振动微分方程有两种基本方法： （ 1）是根据达朗伯原理(动静法)列出动力平衡方程，又称刚度法； （ 2）是列位移方程，又称柔度法。下面分别讨论。 (1) 列动力平衡方程 设质点m在振动中的任一时刻位移为y，取该质点为隔离体(图115b)，若不考虑质点运动时所受到的阻力，则作用于其上的外力有： (a) 弹簧拉力 负号表示其实际方向恒与位移y的方向相反，亦即永远指向静力平衡位置。此力有把质点m拉回到静力平衡位置的趋势，故又称为恢复力。 (b) 惯性力 它的方向总是与加速度的方向相反，故有一负号。 至于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，则恒与质点的重量mg相平衡而抵消，故在振动过程中这两个力都毋须考虑。 质点在惯性力I与弹簧的恢复力S作用下将维持动力平衡，故应有 I+S0 将I和S的算式代入即得 或 命 (111) 则有 (112) 这就是单自由度结构在自由振动时的微分方程。 (2) 列位移方程 上述振动微分方程也可以按下述方法来建立：当质点m振动时，把惯性力看作是一个静力荷载，则在其作用下结构在质点处的位移y应等于(图115c)： 亦即 可见与方法1结果相同。 式(112)是一个具有常系数的线性齐次微分方程，其通解形式由高等数学知： (b) 取y对时间t的一阶导数，则得质点在任一时刻的速度 (c) 此两式中的积分常数Al和A2可由振动的初始条件来确定。 若当 t0时， 位移 yyo， 速度 则有 A1y0 ，因此 其中y。称为初位移，称为初速度。再考察结构的自由振动曲线，由位移曲线知：是由两部分组成：（1 ）是由初位移y。引起的，表现为余弦规律；（2） 是由初速度引起的，表现为正弦规律 (图116a、b)。二者之间的相位差为一直角，后者落后于前者900详见下图 （116）图 11-6若令 （d）。 (e) 显然有 则位移方程可写成： 且有 可见这种振动是简谐振动(图116c)，式中a表示质点的最大位移，称为振幅，称为初相角。由于和cost都是周期性函数，它们每经历一定时间就出现相同的数值，若给时间t一个增量，则位移y和速度的数值均不变，故T称为周期，其常用单位为秒(s)；周期的倒数代表每秒钟内所完成的振动次数，称为工程频率；而即为2秒内完成的振动次数，称为圆频率，通常用得较多，又简称为频率，其单位为次(2 秒) 频率也可用下式计算： （11.8） 式中g表示重力加速度，表示由于重量mg所产生的静力位移。 结论：计算单自由度结构的自振频率时，只需算出刚度k11或柔度或位移，代入式(118) 即可求得。由该式可知，结构自振频率随刚度k11的增大和质量m的减小而增大，这一特点在结构设计中对如何控制结构自振频率有重要意义。因为结构的自振频率只取决于它自身的质量和刚度，所以它反映着结构固有的动力特性（即为固有频率）。外部干扰力只能影响振幅和初相角的大小而不能改变结构的自振频率。如果两个结构具有相同的自振频率，则它们对动力荷载的反应也将是相同的。公式表明， 随的增大而减小，也就是说，若把质点安放在结构上产生最大位移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。图 11-7 例111： 图117所示三种支承情况的梁，其跨度都为l，且El都相等，在中点有一集中质量m。当不考虑梁的自重时，试比较这三者的自振频率。 解：由式(118)可知，在计算单自由度结构的自振频率时，可先求出该结构在重量p=mg作用下的静力位移。根据以前学过的位移计算的方法，可求出这三种情况相应的静力位移分别为： 代入式(118) 即可求得三种情况的自振频率分别为： 据此可得 . 此例说明随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。前面的计算没有考虑阻尼的影响，实际结构的振动是有阻尼的影响的，下面予以考虑。 2考虑阻尼作用时的自由振动 物体的自由振动由于各种阻力的作用将逐渐衰减下去，而不能无限延续。阻尼力可分为两种：（1）是外部介质的阻力，例如空气和液体的阻力、支承的摩擦等；（2）来源于物体内部的作用，例如材料分子之间的摩擦和粘着性等。由于内外阻尼的规律不同，且与各种建筑材料的性质有关，因而确切估计阻尼的作用是一个很复杂的问题。对此，人们提出过许多不同的建议，为使计算较简单，通常是引用福格第(Voigt)假定，即近似认为振动中物体所受的阻尼力与其振动速度成正比，这称为粘滞阻尼力，即 (f) 式中称为阻尼系数，负号表示阻力它的方向恒与速度的方向相反。图 11-8 当考虑阻尼力时，质点m上所受的力将如图118所示，增加阻尼一项。考虑其动力平衡，应有 I+R+S0 (g) 仍令 并令 (h) 则有： (129) 这是一个线性常系数齐次微分方程，设其解的形式为 代入原微分方程(119)，可得确定r的特征方程 其两个根分别为： 根据阻尼大小不同的情况有以下三种情况：(1) 即小阻尼情况 此时特征根、是两个复数，式(119)的通解为 （i） 其中 (1110) 称为有阻尼自振频率。常数、可由初始条件确定：将时和代入式（i） 可得 ， 故 (1111) 上式也可写为 (1112) 其中 (1113) (1114) 式(1112)的位移时间曲线如图119所示，即为衰减的正弦曲线，其振幅按的规律减小，故称为衰减系数。图 11-9在工程中还经常采用阻尼比 作为阻尼的基本参数。由式(1110)有 (1115) 可见随阻尼的增大而减小。在一般建筑结构中是一个很小的数，约在0.010.1之间，因此有阻尼自振频率与无阻尼自振频率很接近，可认为 (k) 若在某一时刻振幅为，经过一个周期后的振幅为，则有 上式两边取对数得 (1115)称为振幅的对数递减量。同理，当经过j个周期后，有 (1115a) 若由实验测出及或，则可由式(1115)或式(1115a)求出阻尼比。 (2) 即大阻尼情况 此时特征根、为两个负实数，式(119)的通解为 这是非周期函数，因此不会产生振动，结构受初始干扰偏离平衡位置后将缓慢地回复到原有位置。 (3) 即临界阻尼情况 此时特征根是一对重根，式(119)的通解为 这也是非周期函数，故也不发生振动。这是由振动过渡到非振动状态之间的临界情况，此时阻尼比，相应的值称为临界阻尼系数，用表示。在式(h)中，令可得 (l)由式(j)及(h)、(1)又有 表明阻尼比即为阻尼系数与临界阻尼系数之比。 114 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动强迫振动，是指结构在动力荷载及外来干扰力作用下产生的振动。若干扰力直接作用在质点m上，则质点受力将如图11l0所示。同理由动力平衡条件得： 即 或 (1116)图 11-10这个微分方程的解也包括两部分：（1）为相应齐次方程的通解y0，它由上一节式(i)表示为（2） 是与干扰力p(t) 相适应的特解。它将随干扰力的不同而异。本节先来讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况。具有转动部件的机器在匀速转动时，由于不平衡质量所产生的离心力的竖直或水平分力就是这种荷载的例子，它一般可表为 P(t) Psin (1117) 其中为干扰力的频率，p为干扰力的最大值。代入微分方程解出如教材所述结果。表达式较繁，实际应用只应用平稳阶段。由上述推导可知，振动系由三部分组成：（1） 是由初始条件决定的自由振动；（2） 第二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其频率与体系的自振频率一致，称为伴生自由振动。由于这两部分振动都含有因子，故它们将随时间的推移而很快衰减掉；（3） 最后只剩下按干扰力频率而振动的第三部分，称为纯强迫振动或稳态强迫振动(图1111)。我们把振动开始的一段时间内，几种振动同时存在的阶段称为过渡阶段；而把后面只剩下纯强迫振动的阶段称为平稳阶段。通常过渡阶段比较短，因而在实际问题中平稳阶段比较重要，故一般只着重讨论纯强迫振动。下面仍分别就考虑和不考虑阻尼两种情况来讨论。图 11-11 1不考虑阻尼的纯强迫振动 此时因0，由式(1119)的第三项可知纯强迫振动方程成为 (1120) 因此，最大的动力位移(即振幅)为 (1121) 但是，代入上式，得： (1121a) 式中，代表将振动荷载的最大值p作为静力荷载作用于结构上时所引起的静力位移，而 (1122) 承位移动力系数 ：为最大的动力位移与静力位移之比值 。 若我们求出了内力的动力系数，也可仿此计算结构在动力荷载作用下的最大内力。需要指出：在单自由度结构上，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数和内力动力系数是完全一样的，此时对这两类动力系数可不作区分而统称为动力系数。由式(1122)可知，动力系数随比值而变化。当干扰力的频率接近于结构的自振频率时，动力系数就迅速增大；当二者无限接近时，理论上将成为无穷大，此时内力和位移都将无限增加。对结构来说，这种情形是危险的。此时所发生的振动情况称为共振。 但实际上由于阻尼力的存在，共振时内力和位移虽然很大，但并不会趋于无穷大，而且共振时的振动也是逐渐由小变大，而不是一下就变得很大的。但是，内力和位移的值过大也是不利的，因此，在设计中应尽量避免发生共振。2考虑阻尼的纯强迫振动 取式(1119)的第三项，并命 （e）则将有 （1123）式中A为有阻尼的纯强迫振动的振幅，是位移与荷载之间的相位差。由式（e）得：振幅 （1124）动力系数 （1125）可见动力系数不仅与和的比值有关，而且还与阻尼比有关，这种关系可绘成图11-12所示的曲线。图 11-12 现在，结合图1112来研究随而变化的情况，并对位移与荷载的相位关系作一简单讨论。(1) 当远小于时，则很小，因而接近于1。这表明可近似地将作为静力荷载来计算。这时由于振动很慢，因而惯性力和阻尼力都很小，动力荷载主要由结构的恢复力所平衡。由式(1123)可知，位移与荷载之间有一个相位差，也就是说在有阻尼的强迫振动中，位移要比荷载落后一个相位；然而在无阻尼的强迫振动中，由式(1120)可知，位移与荷载是同步的(当时)，或是相差亦即方向相反的(当时)。这是有无阻尼的重大差别。不过在目前的有阻尼振动中，由于远小于，故从式(1125)可知，此时相位差也很小，因而位移基本上与荷载同步。 (2) 当远大于时，则很小，这表明质量近似于不动或只作振幅很微小的颤动。这 时由于振动很快，因而惯性力很大，结构的恢复力和阻尼力相对地说可以忽略，此时动力荷载主要由惯性力来平衡。由于惯性力是与位移同相位的，所以动力荷载的方向只能是与位移的方向相反才能平衡。由式(1125)亦可知，此时相位差差1800。图 11-13下面通过一个例题来说明方法的应用。例112 重量Q35kN的发电机置于简支梁的中点上 (图1113)，并知梁的惯性矩I8.8105m4，E210GPa，发电机转动时其离心力的垂直分力为Psint，且p10kN。若不考虑阻尼，试求当发电机每分钟的转数为500rmin时，梁的最大弯矩和挠度(梁的自重可略去不计)。 解：在发电机的重量作用下，梁中点的最大静力位移为故自振频率为 干扰力的频率为 根据公式可计算出动力系数 求得跨中点最大弯矩 梁中点最大挠度为 图 11-14以上的分析都是干扰力p(t)直接作用在质点m上的情形。在实际问题中，也可能有干扰力p(t)不直接作用在质点上。例如上图1114a所示简支梁，集中质点m在点1处，而干扰力则作用在点2处。建立质点m的振动方程时，用柔度法较简便，现讨论如下。设单位力作用在点1时使点1产生的位移为；单位力作用在点2时使点1产生的位移为：(图1114b、c)。若在任一时刻质点m处的位移为y，则作用在质点m上的惯性力为 ，在惯性力I和干扰力p共同作用下，如图1114d所示，质点m处的位移将为：即： (11.28)这就是质点m的振动微分方程。由此可见，对于这种情况，本节前面导出的各个计算公式都是适用的，只不过须将公式中的p(t) 用 来代替。115 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动下面讨论几种特殊荷载的作用。1、瞬时冲量：该荷载就是荷载p只在极短的时间内给予振动物体的冲量。如图1115a所示，设荷载的大小p，作用的时间为，则其冲量以QP来计算，即图中阴影线所表示的面积。图 11-15 设在t0时，有冲量Q作用于单自由度质点上，且假定冲击以前质点原来的初位移和初速度均为零，则在瞬时冲量作用下质点m将获得初速度，此时冲量Q全部转移给质点，使其增加动量，动量增值即为，故由可得 当质点获得初速度后还未产生位移时，冲量即行消失，所以质点在这种冲击下将产生自由振动。将和代入式(1111)，便得到瞬时冲量Q作用下质点m的位移方程为 (1129)如不考虑阻尼则有 (1134) 有了式(1131)(1134)各式，只须把已知的干扰力代入进行积分运算，便可解算此种干扰力作用下的强迫振动。下面研究两种特殊荷载作用下的解答。图 11-16(1) 突加荷载 这是指突然施加于结构上并保持常量继续作用的荷载，我们以加载那一 瞬间作为时间的起点，其变化规律如图1116a 所示，设结构在加载前处于静止状态，则可将代入式(1631)进行积分求得 将此式对求一阶导数，并令其等于零。即可求得产生位移极值的各时刻。当时，最大动力位移为 由此可得动力系数为 若不考虑阻尼影响，则，式（16-35）成为 （11-38）最大动力位移为 结论：即在突加荷载作用下，最大动力位移为静止位移的两倍。图11-16b给出了式（11-38）所示的振动曲线，此时质点在静力平衡位置附近作简谐振动。 116 多自由度结构的自由振动多自由度体系的振动和单自由度体系类似，要解微分方程组，所以计算较繁。用到一些高等数学知识。重点要理解力学原理和处理的方法，不要为数学知识所迷惑。1振动微分方程的建立多自由度结构的振动微分方程，同样可按前述两种基本方法来建立：（1）列动力平衡方程，即刚度法 （2）列位移方程，即柔度法 图 11-18设图1118a所示无重量的简支梁支承着n个集中质量m1、m2、mn，若略去梁的轴向变形和质点的转动，则为n个自由度的结构。设在振动中任一时刻各质点的位移分别为y1，y2、yn。按刚度法建立振动微分方程时，可以采取类似于位移法的步骤来处理。首先加入附加链杆阻止所有质点的位移(图1118b)，则在各质点的惯性力1、2、n）作用下，各链杆的反力即等于；其次令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移 (图1118c)，此时各链杆上所需施加的力为(i1、2、n)。若不考虑各质点所受的阻尼力，则将上述两情况叠加，各附加链杆上的总反力应等于零，由此便可列出各质点的动力平衡方程。以质点为例，有 （a）而Ri的大小取决于结构的刚度和各质点的位移值，由叠加原理，它可写为 (b)式中、等是结构的刚度系数，它们物理意义见图1618d、e。例如为j点发生单位位移(其余各点位移均为零)时i点处附加链杆的反力。把式(b)代入(a)，有 (c)同理，对每个质点都列出这样一个动力平衡方程，于是可建立n个方程如下： （1143）写成矩阵形式为 （1143）或简写为 （1143）其中M为质量矩阵，在集中质点的结构中它是对角矩阵；K为刚度矩阵，根据反力互等定理，它是对称矩阵；为加速度列向量；Y为位移列向量。式(1143)或式(1143)就是按刚度法建立的多自由度结构的无阻尼自由振动微分方程。图 11-19如果按柔度法来建立振动微分方程，则可将各质点的惯性力看作是静力荷载(图11- 19a)，在这些荷载作用下，结构上任一质点mi处的位移应为 (d)式中、等是结构的柔度系数，它们的物理意义见图1119b、c所示。据此，我们可以建立n个位移方程： (11-44)写出矩阵形式，就有 (11-44)或简写为 (11-44)其中为结构的柔度矩阵，根据位移互等定理，它也是对称矩阵。式(1144)或(1144)就是按柔度法建立的多自由度结构的无阻尼自由振动微分方程。若对式(1144”)左乘以，则有 (e)与式(1243”)对比，显然应有 (1145)即柔度矩阵和刚度矩阵是互为逆阵的。可见不论按刚度法或柔度法来建立结构的振动微分方程，实质都一样，只是表现形式不同而已。当结构的柔度系数比刚度系数较易求得时，宜采用柔度法，反之则宜采用刚度法。2按柔度法求解现在讨论按柔度法建立的振动微分方程的求解。设式(1644)的特解取如下形式： (g)亦即设所有质点都按同一频率同一相位作同步简谐振动，但各质点的振幅值各不相同。将式 (g)代入式(1644)并消去公因子可得 (11-46)写成矩阵形式则为 （1146）这里 为振幅列向量，E是单位矩阵。式(1146)为振幅，且A1、A2、An的齐次方程，称为振幅方程。当Al、A2、An全为零时该式满足，但这对应于无振动的静止状态。要得到A1、A2、An不全为零的解答，则必须是该方程组的系数行列式等于零，即： (11-47)或写成 （11-47）将行列式展开，可得到一个含的n次代数方程，由此可解出的n个正实根，从而得出n个自振频率、，若按它们的数值由小到大依次排列，则分别称为第一、第二、第n频率，并总称为结构自振的频谱。我们把用以确定数值的式(1647)或式(1647)称为频率方程。将n个自振频率中的任一个代入式(g)，即得特解为 (1148)此时各质点按同一频率作同步简谐振动，但各质点的位移相互间的比值却并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状，整个结构就像一个 单自由度结构一样在振动。我们把多自由度结构按任一自振频率进行的简谐振动称为主振动，而其相应的特定振动形式称为主振型或简称振型。要确定振型便要确定各质点振幅间的比值。为