二次函数中的条件最值2013.doc

二次函数中的条件最值内容简概：二次函数的最值在实际应用中常常与自变量的取值范围密切相关，根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异如果对称轴和取值范围都给定，可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形；若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）. 如果对称轴、取值范围不能确定，可以分为三种情形；（1）取值范围确定，但对称轴不确定（2）对称轴确定但取值范围不能确定（3）对称轴和取值范围都不能确定关键词：二次函数、条件最值、取值范围、对称轴二次函数y=ax2+bx+c（a0）是初中函数的主要内容，二次函数的最值是近年中考的一个热点二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况为：当a0时，函数在x=处取得最小值，无最大值；当a0时，函数在x=处取得最大值，无最小值而二次函数的最值在实际应用中常常与自变量x的取值范围密切相关，根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形，下面就不同类型举例说明。一对称轴在取值范围内【例1】当2x2,时，求函数y=x22x3的最大值和最小值分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值 【解析】作出函数的图象当x=1时，y最小值=4，当x=2时，y最大值=5【例2】当1x2时，求函数y=x2x+1的最大值和最小值【解析】作出函数的图象当x=1时，y最小值=4，当x=2时，y最大值=5由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值可以归纳为：若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）。二对称轴不在取值范围内【例3】：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？分析：此题求最值问题用的不是顶点坐标，而是利用的是增减性。解：y=903(x50)=3x+240(50x55)w=(x40)(3x+240)=3x2+360x9600(50x55)w=3x2+360x9600a0抛物线开口向下，又50x55,且对称轴为x=60，y随x的增大而增大当x=55时，w有最大值是1125元。归纳：对称轴不在取值范围内，两个端点都是最值点（若开口向上，离对称较近的端点为最小值点，离对称轴较远的端点为最大值，若开口向下，离对称较远的端点为最小值点，离对称轴较近的端点为最大值）下面就二次函数y=ax2+bx+c（a0）的一般情况在mxn上的最值进行归纳当a0时，m时， y最小值=am2+bm+c, y最大值=an2+bn+cmn时，y最小值= 若， y最大值=am2+bm+c, 若， y最大值=an2+bn+cn时， y最小值=an2+bn+c，y最大值=am2+bm+c当a0时，m时， y最大值=am2+bm+c, y最小值=an2+bn+cmn时，y最大值= 若， y最小值=am2+bm+c，若， y最小值=an2+bn+cn时， y最大值=an2+bn+c，y最小值=am2+bm+c三二次函数最值问题的拓展（1）对称轴和取值范围都确定【例4】当x0时，求函数y=x(2x)的取值范围解：y=x(2x)=x22x因为a=10，所以图象开口向上，对称轴为x=1在取值范围内,则当x=1时，y有最小值，y最大值=1，当0x1时，y随x的增大而减小，当x1，y随x的增大而增大，所以y无最大值所以，当x0时，函数y的取值范围是y1（2）取值范围确定，但对称轴不确定【例 5】已知二次函数y=9x26axa2+2a(x)有最大值3，求实数a的值【解析】函数y= 9x26axa2+2a的对称轴为x=a该函数开口向下，分以下情况进行讨论：若a即a1，则该二次函数在x这个范围上y随x的增大而减小 ，当x=时有最大值，故a2+4a1=3解得：a=2，又a1，故a=2+若a即a1，则该二次函数在x这个范围上y随x的增大而增大，x=时有最大值，故1a2=3解得：a=，又a1，故a=若a即1a1，则该二次函数在顶点处取得最大值，故2a=3解得a=，与1a1矛盾综上所述:a=2或a=【例 6】当0x1时，求二次函数y=x22ax+4的最大值与最小值【解析】设y=x22ax+4的最大值为，最小值为，则y=x22ax+4，我们先求 当a时(即对称轴在x=左边时)，对应于0x1的那段图象的右端点高于左端点，故M=52a. 当a时，对应于0x1的那段图象的左端点高于右端点，当x=0时取最大值，故M=4总之，y的最大值为：y=我们再来求m 当a0时(对称轴在定义域左侧)，m=4 当0a1时，m=4a2 当a1时，m=52a总之，y的最小值为：y=【例 7】已知二次函数y=ax2+(2a1)x+1 (x2)的最大值为3，求实数a的值。分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。【解析】（1）令x=,y=3，得此时抛物线开口向下，对称轴为不在取值范围内，故不合题意；（2）令x=2时，y=3，得，此时抛物线开口向上，对称轴为x=0，取值范围的右端点距离对称轴远些，故符合题意；（3）令x=，y=3，得，经检验，符合题意。综上，或评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型二次函数条件最值问题的一种有效方法。（3）对称轴确定但取值范围不能确定【例8】当时，求函数的最小值(其中为常数)【解析】由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置解：函数的对称轴为画出其草图当对称轴在所给范围左侧即时：当，时，； 当对称轴在所给范围之间即时：当时，=3；当对称轴在所给范围右侧即时：当时，=综上所述：（4）对称轴和取值范围都不能确定【例9】当ax2a时，求函数y=x22ax+2的最大值(其中a为