高考考前指导---数学规范答题技巧.doc

普集高中校本教材-高考数学规范答题规范答题1 应对填空题要注重反思与验算考题再现：1.已知全集S=1，3，x3-x2-2x，A=1，|2x-1|， 如果 SA=0，则这样的实数x的集合是 . 学生作答： 甲生：0，-1，2 乙生：-1，2 丙生（-1，2） 规范解答 -1，2老师忠告： （1）由于填空题不像选择题那样有一个正确答案 供我们校正结果，所以填空题更容易丢分.因此， 对得出的结果要注意验算与反思，验算一下结果 是否符合题意，反思一下表达形式是否符合数学 的格式，像乙、丙两位同学已经求得了x的值，但 由于书写格式不对，造成丢分. （2）注意集合“三性”，防止“奸细”混入.例 如甲同学就是没有考虑到x=0时，A=1，1违反了 元素的互异性原则，应舍去.考题再现：2.（2009上海，2）已知集合A=x|x1,B=x|xa,且AB=R，则实数a的取值范围是 . 学生作答： 甲生：a1 乙生：a1 规范作答 ： a1老师忠告： （1）集合的“交、并、补”特别要小心的是“端点值的取舍”.常犯的错误就是对“端点值”把握不准，其实很简单，只要单独反思一下“端点值”即可. （2）一定要养成“在数轴上进行集合（数集）运算”的好习惯，借助数轴，集合的运算关系一目了然.上面甲同学丢掉了端点值，乙同学没有搞清并集的含义及画法.规范答题2 注重数学思维能力的培养考题再现： 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植 成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示.（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注 ：市场售价和种植成本的单位：元/百千克，时间单位：天）学生作答：解 设f(t)=kt+b,当0t200,由图可得方程当t200时,所以p=f(t)=t+300设g(t)=A(t-150)2+100把t=250,Q=150代入g(t)解得（2）设F（t）=f(t)-g(t)当0t200时,当t=50时,F(t)取得最大值F(t)max=100当200t300时,不合题意,答 当上市时间为50天时，纯收益最大；最大为100元.规范解答解 （1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为由图2可得种植成本与时间的函数关系为（2）设t时刻的纯收益为h(t),则由题意得h（t）=f（t）-g（t），当0t200时，配方整理得所以，当t=50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当20087.5可知，h(t)在区间0，300上可以取得最大值100，此时t=50,即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.老师忠告：（1）解题能力由解题的结果体现，但思维能力水平的高低由解题步骤体现，清晰条理的解题步骤表现了解答人的数学素养，同时它也能提高一个人的数学素养.（2）第（1）小题的解答复杂而混乱，反映了解答人思维上的混乱与慌乱进而造成错误.第（2）小题中对200t300时不合题意的说明不恰当，没有说服力，要丢分！（3）对应用题的解答，要深刻理解题意.对解决方案先做到胸有成竹，才有“下笔成章”.若有不同情况，要分别说出各种情况下的答案，再汇总确定答案.规范答题3 注重表达式及结果的化简考题再现： 已知函数f（x）= （1）若f（x）=2，求x的值；（2）若2tf(2t)+mf(t)0对于t1，2恒成立，求实数m的取值范围.学生作答 解 由题意得规范解答解老师忠告（1）解答数学题时，若能及时对表达式进行化简，会使运算过程变的简单且正确率高，反之冗长的表达式不仅书写麻烦，且给考生增加心理上的压力；运算结果不注重化简更是直接丢分.（2）该生在求f(x)解析式时，当x0,则当x(-，-)时,f(x)0,函数f(x)单调递增.若k0,函数f(x)单调递增；当x(-,+)时,f(x)0,则-1,得k1时函数f(x)在(-1,1)内单调递增.若k1,得k-1函数f(x)在(-1,1)内单调递增.规范解答解(1)f(x)(1kx)ekx，f(0)1，f(0)0，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx.(2)由f(x)(1kx)ekx0，得x (k0)，若k0，则当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增，若k0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0时，函数f(x)的增区间是，减区间是；当k0,则当且仅当1,即k1时，函数f(x)在(1,1)内单调递增，此时0k1.若k0，则当且仅当1，即k1时，函数f(x)在(1,1)内单调递增，此时1k0，解得x，由f(x)0，解得x或0x0，解得x，由f(x)0，解得x或0x；故f(x)的递增区间为，递减区间为，.(2)若原点是切点，则f(0)0，得切线方程y0.若原点不是切点，设切点P(x0，y0) (x0y00)则kf(x0)4x6x0x3x0，得x01.当x01时，P(1，2)，k2，切线方程为2xy0；当x01时，P(1，2)，k2，切线方程为2xy0.综上所述：所求切线方程为y0或2xy0或2xy0.老师忠告：(1)特别要注意某些数学符号的用法，如：取值范围、定义域、值域等的合并要用“”，而单调区间是不能用“”的，如函数在多个区间上都是增函数，则这几个区间用“，”隔开或用“和”字连接(2)要注意区别“在曲线上点A(a，b)处的切线”与“过点A(a，b)的曲线的切线”两种说法的区别.规范答题5 审题不仔细，导致失分考题再现:是否存在实数a,使函数y=sin2x+acos x+ 在闭区间 上的最大值为1？若存在，求出对应的a值；若不存在，请说明理由. 学生作答:解 假设存在实数a,规范解答:解 假设存在实数a, 老师忠告： 审题不仔细，导致换元时忽视了新元的取值范围，本题中自变量的取值范围限制在上，根据余弦函数的性质，新元t的取值范围应该是0，1，而不是R或-1，1. 规范答题6 思维定势，乱套公式考题再现 已知函数f(x)=a(b-a)，其中向量a=(cosx,0),b=( sinx,1),且为正实数.（1）求f(x)的最大值；（2）对任意mR，函数y=f(x),xm，m+的图象与直线 有且仅有一个交点，求的值，并求满足 的x值. 学生作答解 规范解答解老师忠告本题中2相当于公式 中的，需明确其意义.思维定势，乱套公式，造成由 得=2,致使后面运算全部出错，仅得7分.规范答题7 步骤不完整，导致失分考题再现已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn) (nN+)均在函数yf(x)3 x 22 x的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Tn是数列bn的前n 项和，求使得Tn对所有nN+都成立的最小正整数m.学生作答规范解答解(1)因为点(n，Sn) (nN+)均在函数yf(x)3 x 22 x的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 (nN+)(2)由(1)得知bn，故Tnbi.因此，要求 (nN+)成立的m，必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.老师忠告在第(1)问中没有注意到anSnSn1成立的条件，造成步骤的缺失，因而被扣分在第(2)问的解答中没有写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案不能得全分，犯了“大题小作”中的“一步到位”错误. 规范答题8 书写紊乱，所言无据考题再现设正整数数列an满足：a24，且对于任何nN+，有22.求数列an的通项an.学生作答解规范解答解(1)由已知不等式得：2n(n1)2.当n1时，由得：222，即22，解得a1.a1为正整数，a11.当n2时，由得：262，解得8a310.a3为正整数，a39.a11，a39.(2)由a11，a24，a39，猜想：ann2.下面用数学归纳法证明1当n1,2时，由(1)知ann2均成立；2假设nk (k2)成立，即akk2，则nk1时，由得2k(k1)2ak1(k1)2ak1(k1)2k2时，(k2k1)(k1)k(k2)0，(0,1，又k11，(0,1又ak1N+，(k1)2ak1(k1)2.故ak1(k1)2，即当nk1时，ann2成立综上，由1，2知，对任意nN+，ann2老师忠告解题表述的总原则是：说理充分，逻辑严谨，层次清楚，表述规范本解答从头到尾只有方程，没有必要的文字说明，而且像写作文，关键点不突出，一定会失去应得之分，还要注意解题步骤最忌像“散文”一样连着写下来，让方程、答案淹没在文字之中，应像“诗”一样分行写出，出现一个结果就另起一行单独书写，这样即使阅卷速度快，也不会因为找不到你的得分点而少给分；正确结论的获得要通过严格推理，或在猜想出结论后再利用数学归纳法加以严格证明本解答中用不完全归纳法猜想数列的通项，犯了以偏概全的错误，缺乏思维的严谨性，扣分是必然的. 规范答题9 审题马虎，题意理解有误考题再现1甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小, 汽车应以多大速度行驶？学生作答甲生解 (1)依题意,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间是 ,全程运输成本为y=a+bv2 ,故所求函数为y=a+bsv,定义域为v|0vc.乙生解 (1)由题意可知:汽车从甲地到乙地所用时间为 ,运输成本为 故函数表达式为 定义域为(2)依题意s，a，b，v均为正数，故 规范解答解(1)依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间是，全程运输成本为yabv2s.故所求函数为ys，定义域为v|0bc2，abcvabc20.ss (当且仅当vc时，等号成立)综上所述，为使全程运输成本最小，当 c时，行驶速度v ；当 c时，行驶速度vc.老师忠告甲生在答题前没有认真审题，想当然的认为运输成本中的固定部分就是a，与时间的长短没关系，事实上题目交待的很清楚，汽车每小时的运输成本中固定部分为a元，只是语句较长，看了后面部分又忘记了前面部分的总的要求因此，在今后的考试中，做应用题时，一定要认真阅读两遍以上乙生在答题时，由于审题马虎没有注意到或做题时忘记“速度不得超过c km/h”实际问题中的条件限制，使解答不够完整应分 c时， c时两种情况求运输成本y最小时汽车的行驶速度. 考题再现2.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大 的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN 上，且对角线MN过C点，已知AB3米，AD 2米 (1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ (2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积 最小？并求出最小值. 学生作答规范解答解(1)设DN的长为x (x0)米，则AN(x2)米，AM，SAMPNANAM.由SAMPN32，得32，又x0，得3x220x120，解得：0x6，即DN长的取值范围是(6，)(2)矩形花坛AMPN的面积为y3x1221224当且仅当3x，即x2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米.老师忠告该生在答卷过程中，存在着较多不规范的问题，一是由于马虎忽略了实际应用问题中的线段的长为正数的限制条件，导致第(1)问答案错误；二是审题不仔细，第(2)问明明有两个设问，但只解答了一个；三是做题不严谨，面积y有没有最小值，关键是“”能不能成立，没有验证“”成立的条件就直接得最小值为24的结论；四是数学符号运用不规范，线段的长度在代数、三角、立体几何中用线段端点的两字母表示即可，只有在解析几何中对表示线段两端的字母加上绝对值符号.规范答题10 因定理运用所需条件不全失分考题再现如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.（1）求证：AN平面A1MK；（2）求证：平面A1B1C平面A1MK. 学生作答 证明:(1) K、N分别为C1D1，CD的中点 ANA1K AN面A1MK（2） M、K分别为AB，C1D1的中点 MKBC1又四边形BCC1B1为正方形 BC1B1C MKB1C又A1B1面BCC1B1 A1B1BC1 MKA1B1 MK面A1B1C面A1MK面A1B1C规范解答证明（1）如图所示，连接NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1=DD1，C1D1CD，C1D1=CD.N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DN=D1K，四边形DD1KN为平行四边形.KNDD1，KN=DD1，AA1KN，AA1=KN.四边形AA1KN为平行四边形.ANA1K. A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.（2）连接BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，AB=C1D.M，K分别为AB，C1D1的中点，BMC1K,BM=C1K.四边形BC1KM为平行四边形.MKBC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C.MKB1C.A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1C=B1，MK平面A1B1C.MK平面A1MK，平面A1MK平面A1B1C. 老师忠告该生（1）问中ANA1K跨度太大，缺少关键步骤，应先证四边形ANKA1为平行四边形，（2）问中MKBC1跨度大，证MK面A1B1C及面A1MK面A1B1C时，缺少运用有关定理证明垂直的条件，这种粗线条的思维是不可行的，一定要处处留心，条理清晰.规范答题11 解题过程缺少必要的文字说明考题再现如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，且AB=AA1，D、E、F分别是B1A、CC1、BC的中点.现设A1A=2a.（1）求证：DE平面ABC；（2）求证：B1F平面AEF；（3）求二面角B1AEF的正切值.学生作答(1)证明 D、E分别为AB1、CC1的中点， DEAC，又DE 面ABC，DE面ABC.（2）证明 B(2a,0,0),C(0,2a,O),F(a,a,0),E(0,2a,a),B(2a,0,2a)B1FEF=0，B1FAF=0（3）解 面AEF的法向量为B1F=（-a，a，-2a）设面AEB1的法向量为n=(x,y,1)规范解答（1）证明 如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（0,2a,0）,A1(0,0,2a),B1(2a,0,2a),C1(0,2a,2a).取AB的中点H，连接DH，CH.E（0，2a，a），D（a，0，a），H（a，0，0），CH=（a，-2a，0），ED=（a，-2a，0），CHDE.CH平面ABC，而DE平面ABC，DE平面ABC.（2）证明 B（2a，0，0），C（0，2a，0），F（a，a，0），B1F=（-a，a，-2a），EF=（a，-a，-a），AF=（a，a，0），B1FEF=（-a）a+a（-a）+（-2a）（-a）=0，B1FAF=（-a）a+aa+（-2a）0=0，B1FEF，B1FAF.EFAF=F，B1F平面AEF.（3）解 设平面AB1E的一个法向量为m=(x,y,z),AB1=（2a，0，2a），AE=（0，2a，a），mAB1=2ax+2az=0，mAE=2ay+az=0，由（2）知平面AEF的一个法向量为B1F=（-a，a，-2a），设B1F与m所成的角为.则cos=平面AB1E与平面AEF所成的二面角为锐二面角，二面角B1AEF的平面角的余弦值为 .二面角B1AEF的正切值为 . 老师忠告该生在第（1）问审题中将条件理想化，DE根本不是中位线，在（2）问中缺少文字说明，应交待建系，求出向量的坐标，最后把向量转化成直线，在（3）问中没注意隐含条件，二面角B1AEF的平面角为锐角.审题时要审条件、审结论、审关系、审图形，解题过程中必要的文字说明不可少. 规范答题12 符号应用不规范,忽视隐含条件 考题再现 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0）、 B（1，0），动点C满足条件：ABC的周长为2+ .记动点C的轨迹为曲线W.（1）求W的方程；（2）经过点（0， ）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（3）已知点M（ ，0），N（0，1），在（2）的条件下，是否存在常数k，使得向量 与 共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 学生作答 解 （1）设C（x,y）, AC+BC+AB=2+ ,AB=2 AC+BC= 2, 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为 的椭圆.a= ,c=1, b2=a2-c2=1,W的方程为 （2）设直线l的方程为y=kx+ ,代入椭圆方程，得整理得 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于解得k满足条件的k的取值范围为k（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2)则 =（x1+x2,y1+y2）由得x1+x2=- ,因为M（ ，0），N（0，1），所以 ，所以 与 共线等价于x1+x2= (y1+y2)解得k=所以不存在常数k，使得向量 与 共线规范解答 解（1）设C（x，y）,|AC|+|BC|+|AB|=2+ ,|AB|=2，|AC|+|BC|= 2,由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为 的椭圆除去与x轴的两个交点.a= ，c=1.b2=a2-c2=1.W的方程为 +y2=1(y0).（2）设直线l的方程为y=kx+ ,代入椭圆方程，得 +（kx+ ）2=1.整理，得 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于解得k .满足条件的k的取值范围为（-, -