第五章 定积分及其应用习题.doc

第五章 定积分及其应用【内容提要1定积分的概念和性质（1）定积分的定义设 是定义在 上的函数，在区间 内任意插入 个分点将其分成 个小区间。 记，在每个小区间上任取一点 ，下列和式的极限存在，且与小区间的划分及 的选取无关，则称函数 在 上可积，并称该极限值为 在 上的定积分 ，记作，即，其中 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积分下限， 称为积分上限， 称为积分区间。（2）定积分的性质1）常数因子可以提到积分号外 （ 为常数）。2）函数代数和的积分等于它们积分的代数和。3）对任意单个实数 恒有。4）若在区间 上，被积函数 ，那么 特别地，当 时，5）如果在区间 上， ，则 ()。6）记函数 在闭区间 上的最大值和最小值分别为 和 ，则 7）设函数 在闭区间 上连续，则在区间 上至少存在一点 ，使得 2.定积分的计算（1）牛顿-莱布尼兹公式 如果函数在区间上连续，且是的任意一个原函数，那么 。（2）定积分的换元法设函数在区间上连续，并且满足下列条件：（1），且，；（2）在区间上单调且有连续的导数；（3）当从变到时，从单调地变到。则有（3）定积分的分部积分法设函数和在区间上有连续的导数，则有3.定积分的应用实际应用时，通常按以下简化步骤来进行： （1）根据实际情况选取积分变量，并确定相应的积分区间。由于分割的任意性，为简便起见，对省略下标，得，用表示内的任一小区间，并取小区间的左端点为，则的近似值就是以为底，为高的小矩形的面积，即。用微分表示，则有微元（2）将所有部分量累加起来，便得到所求量的积分表达式，然后计算它的值。利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法。1） 定积分在几何上的应用，求平面图形的面积和旋转体的体积。2） 定积分在物理上的应用，求液体的压力和变力做功。4.广义积分和函数（1）广义积分1）无穷积分 设函数连续，若极限 存在，则称此极限值为函数在无限区间上的无穷积分，记作 ，此时称无穷积分存在或收敛；若极限不存在，就称无穷积分不存在或发散。类似地，可以定义在无限区间上的广义积分也可定义在无限区间上的广义积分2）瑕积分 设函数在内连续，是 的瑕点，有。若极限 存在，则称此极限值为函数在上的瑕积分或无界函数的广义积分，记作，并称瑕积分收敛，即若极限不存在，则称瑕积分发散。（2） 函数将含参变量的广义积分 称为函数。【习题解答】5-1 用定积分表示下列问题中的量纲。（1）圆的面积； （2）抛物线，直线及轴所围成的图形面积；（3）质量关于时间的减少率为的葡萄糖代谢在到这段时间内减少的质量。解（1）（2）（3）5-2 根据定积分的性质比较下列积分的大小。（1）与 （2）与（3）与 （4）与解（1）当时，所以，从而（2）当时，所以，从而（3）因为，所以（4）当时，从而5-3 求下列导数。 （1）； （2）；（3）由参数方程所确定的函数的导数；（4）由方程确定的函数的导数。解 （1）（2）（3）（4）方程两边关于求导得 ，即 5-4 计算下列定积分。（1）； （2）；（3）； （4）；（5） ； （6）；（7）； （8） ；（9）设，求。解 （1）=（2）=（3）=（4）=（5）令，则=（6）令，则=（7）令，则=（8）=（9）令=5-5 利用函数的奇偶性计算下列定积分。（1）； （2）；（3）； （4）。解（1）因为 为奇函数，所以（2） （3）因为为奇函数，所以（4）利用定积分的线性性质可得,而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0，则 5-6 计算下列定积分。（1）； （2）；（3）； （4）；（5） ； （6）；（7）。解 （1）（2）（3）（4）=（5）=（6）（7），因为故 。5-7 求由下列曲线所围的图形的面积。（1）及直线所围图形的面积；（2）分割成两部分图形的各自面积；（3）与直线所围图形的面积；（4）轴与直线所围图形的面积。解 （1）如图4-1所示，解方程组，得交点，所求面积为图4-1（2）如图4-2所示，解方程组，得交点、，所求上半部分面积为.所求下半部分面积为.图4-2（3）如图4-3所示，解方程组，得交点，所求面积为图4-3（4）选为积分变量，如图4-4所示，所求面积为图4-45-8 求由下列曲线所围的图形的面积。（1）求圆所围图形的面积； （2）求三叶线围成的图形面积。解（1） （2）5-9 求下列旋转体的体积。（1）由曲线和所围成的图形绕轴旋转后所得旋转体体积；（2）由所围成的图形，绕轴及轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积。解（1）（2）如图4-5所示，绕轴旋转所得的旋转体的体积为绕轴旋转所得的旋转体的体积为. 图4-55-10 在轴上作直线运动的质点，在任意点处所受的力为，试求质点从运动到处所做的功。解 ，积分得5-11 设把一金属杆的长度由拉长到时，所需的力等于，其中为常数，试求将该金属杆由长度拉长到所作的功。解 由于金属杆拉长所需的力与拉长的长度成正比，且，其中为常数。选择金属杆拉长的长度为积分变量，其取值范围为，对于任意，在拉长的长度区间上，功元素为，于是5-12 有一等腰梯形闸门，上下底边各长10m和6m，高为8m，上底边与水面相距2m，求闸门一侧受的压力。解 5-13 一金属棒长3m，离棒左端m处的线密度为，问 为何值时，一段的质量是全棒质量的一半？解 由 得，。 5-14 计算下列广义积分。（1） ； （2） ； （3）； （4）； （5）；（6）。 解 （1）=（2）（3）（4） =+.=（5）（6） 【课外练习】一、单选题1. 若，则（ ）。A. B. C. D. 2. 下列等于1的积分是（ ）。A B C D3. 曲线与坐标周围成的面积（ ）。A4 B2 C D34. 若，则与的大小关系是（ ）。ABCD无法确定5. 积分中值定理，其中（ ）。 A.是内任一点； B.是内必定存在的某一点； C.是内唯一的某一点；D.是的中点。6. 设连续，则（ ）。A B. C. D. 二、填空题1广义积分 ；2函数的递减区间为 ；3设为常数，则 ；4极限= ；5设连续，则曲线在处的切线方程是 ； 6 。三、计算及证明题1求定积分。2. 求由曲线和所围成图形的面积。3. 设，求。4设，求5已知，求6设抛物线通过点，且当时，试确定的值，使得抛物线与直线所围图形的面积为，且使该图形绕轴旋转而成的旋转体的体积最小。7. 设在区间上连续，且，。证明：（1）；（2）方程在区间内有且仅有一个根。【课外练习 参考答案】第五章 定积分及其应用一、单选题1A 2. C 3. D 4. A 5. B 6. C 二、填空题1. 2. 3. 4、 5. 6. 1三、计算题1. 解 令，则 时，；时，于是原式=2. 解 求交点，解方程组 得 所围面积 3. 解 设，则 时，；时，于是 4解 因为，所以 又因为，所以，解得，于是5解 6解 由已知条件：抛物线通过点，可得，抛物