2013年中年级数学解题能力展示复赛试题及详解.pdf

2013 年年 数学解题能力展示数学解题能力展示 网络网络评选活动评选活动 小学小学中中年级组复试试卷年级组复试试卷 测评时间 测评时间 2013 年年 2 月月 2 日日 11 00 12 00 学生诚信协议 活动期间 我确定没有就所涉及的问题或结论 与任何人 用任何方式交流或讨论 我 确定以下的答案均为我个人独立完成的成果 否则愿接受本次成绩无效的处罚 我同意遵守以上协议 签名 一 填空题一 填空题 每 每小小题题 8 分 共分 共 32 分 分 1 计算 2013 25 52 46 15 10 答案 答案 33 难度 难度 命题者 命题者 桦树湾教育桦树湾教育 赵晓峰赵晓峰 解析 原式解析 原式 2013 5 26 23 3 2013 61 33 2 小明碰到了三个人 其中一位是牧师 一位是骗子 一位是疯子 牧师只说真话 骗 子只说假话 疯子有时说真话 有时说假话 第一位说 我是疯子 第二位说 你 胡说 你才不是疯子呢 第三位说 别吵了 我是疯子 那么 这三个人中第 位是疯子 答案 答案 3 难度 难度 命题者 巨人教育命题者 巨人教育 饶海波饶海波 解析 解析 本题可用假设法 本题可用假设法 1 假设第一位是疯子 则第二位是骗子 第三位也是骗子 矛盾 假设第一位是疯子 则第二位是骗子 第三位也是骗子 矛盾 2 假设第二位是疯子 则第一假设第二位是疯子 则第一位是骗子 第三位也是骗子 矛盾 位是骗子 第三位也是骗子 矛盾 3 假设第三位是疯子 则第一位是骗子 第二位是牧师 成立假设第三位是疯子 则第一位是骗子 第二位是牧师 成立 所以第所以第 3 位是疯子位是疯子 3 红色礼盒 5 元 1 个 内有陀螺 3 个 黄色礼盒 9 元 1 个 内有陀螺 5 个 蕾蕾用 600 元买了 72 个礼盒 这些礼盒打开后 可以得到 个陀螺 答案 答案 336 难度 难度 命题者 桦树湾教育命题者 桦树湾教育 成俊锋成俊锋 解析 假设都是黄色礼盒 需解析 假设都是黄色礼盒 需72 9648 元 所以红色礼盒元 所以红色礼盒有有 648600 95 12 个 个 所以共有陀螺所以共有陀螺3 125 72 12 336 个个 4 将 1 9 填入 3 3 的表格中 要求同一行右面的数比左面的数大 同一列下面的数比上面的数大 其中 1 4 9 已经填好 那么其余 6 个整数有 种不同的填法 答案 答案 12 难度 难度 命题者 桦树湾教育命题者 桦树湾教育 成俊锋成俊锋 解析 解析 2 和和 3 只能在左上角四个格中 有两种 只能在左上角四个格中 有两种 14 15 16 1315 14 16 132 3 1 4 3 24 1 还剩还剩 4 个数 任选两个填入左下角两格 小的填左侧 大的填右侧 剩下两个填入右上角个数 任选两个填入左下角两格 小的填左侧 大的填右侧 剩下两个填入右上角 两格 小的填上侧 大的填下侧 即可完成两格 小的填上侧 大的填下侧 即可完成 有有 2 4 6C 种填法种填法 所以根据乘法所以根据乘法原理 共有原理 共有2 612 种填法种填法 4 1 9 二 二 填空题填空题 每 每小小题题 10 分 共分 共 40 分 分 5 如图 1 L 形的宽度为 3 厘米 将 4 个 这样的 L 形贴放在九宫格的 4 个角上 形 成的图形如图 2 如果 4 个 L 形的面积之 和恰好等于图 2 中阴影部分的面积 那么 1 个 L 形的面积是 平方厘米 答案 答案 45 难度 难度 命题者 学而思教育命题者 学而思教育 谢雪莉谢雪莉 解析 解析 设设图图 2 中最小的正方形中最小的正方形的边长为的边长为 a 则由则由 9 个小正方形构成的个小正方形构成的大大正方形正方形边长为边长为 3a 比小正方形稍大一些的正方形边长为比小正方形稍大一些的正方形边长为3a 4 个个 L 形的面积之和为形的面积之和为 22 4 3 4aa 图图 2 中阴影部分的面积为中阴影部分的面积为 2 5a 两者面积相等 则 两者面积相等 则 22 4 3 4aa 2 5a 即 即 22 4 3 9aa 所以 所以2 3 3aa 得 得6a 所以所以 1 个个 L 形的面积为形的面积为 22 63 645 平方厘米平方厘米 6 宴会邀请来了 44 位嘉宾 会场里有 15 张相同的正方形桌子 每张每边能坐 1 人 经 适当 拼桌 将几张正方形桌子拼成一张长方形或正方形桌子 后 恰好让所有嘉宾 全部入座而且没有空位 那么最后会场里最少有 张桌子 答案 答案 7 难度 难度 命题者 命题者 顺天府学顺天府学 孙雪林孙雪林 解析 解析 每张桌子每张桌子与其他桌子与其他桌子拼在一起至少要损失拼在一起至少要损失 2 个座位个座位 现在共现在共 15 张 有座位张 有座位15 460 个 实际只需个 实际只需 44 个 所以个 所以可以与其他桌子拼在一起的有可以与其他桌子拼在一起的有 6044 28 张 因此至少要剩下张 因此至少要剩下1587 张桌子张桌子 下面给出一种拼法 方法不唯一 下面给出一种拼法 方法不唯一 7 甲 乙 丙 丁都参加了 100 米短跑决赛 在比赛前 他们如下预测 甲预测 如果丙是第 4 那我就是第 2 乙预测 如果甲是第 2 那我就是第 1 丙预测 甲 乙两人的比赛成绩要么都高于我 要么都低于我 丁预测 甲 乙两人的比赛成绩肯定一人比我高 而另一人比我低 比赛结束 他们获得了这项比赛的前 4 名 无并列 且每人都预测正确 如果甲 乙 丙 丁分别获得第 A B C D 名 那么四位数ABCD 答案 答案 4213 难度 难度 命题者 中小学数学教学命题者 中小学数学教学 陈平陈平 解析 解析 如果按照甲乙说的 则丁排第如果按照甲乙说的 则丁排第 3 与丁所说矛盾 说明丙非第 与丁所说矛盾 说明丙非第 4 甲非第 甲非第 2 乙非第乙非第 1 我们按照丁所说可以画出甲乙和丁的相对位置 如图所示我们按照丁所说可以画出甲乙和丁的相对位置 如图所示 此时丙或者在最上 此时丙或者在最上 或者在最下 如果在最下 则丙排第或者在最下 如果在最下 则丙排第 4 与前面所推矛盾 所以丙在最上 排第 与前面所推矛盾 所以丙在最上 排第 1 甲非第甲非第 2 所以只能乙第 所以只能乙第 2 丁第 丁第 3 甲 甲第第 4 所以这个四位数为 所以这个四位数为 4213 3 3 图 1 图 2 丙 丙 甲或乙 甲或乙 丁 8 诗 书 礼 易 春秋 这 5 本书的页数各不相同 诗 和 书 相差 24 页 书 和 礼 相差 17 页 礼 和 易 相差 27 页 易 和 春秋 相差 19 页 春秋 和 诗 相差 15 页 那么 这 5 本书中 页数最多的和页数最少的相 差 页 答案 答案 34 难度 难度 命题者 桦树湾教育命题者 桦树湾教育 成俊锋成俊锋 解析 解析 假设假设 诗 诗 有有a页 相当于在 中填如 页 相当于在 中填如 或 或 使得 使得下面的下面的等式成立 等式成立 2417271915 aa 不难发现不难发现24 17 27 1915 aa 所以 所以 书 有 书 有24a 页 礼 有页 礼 有24 177aa 页 页 易 有 易 有72734aa 页 所以差最大的为 页 所以差最大的为 诗 诗 和和 易 差 易 差 34 页页 三 三 填空题填空题 每小题 每小题 12 分 共分 共 48 分 分 9 甲 乙 丙 丁四人共有 251 张邮票 已知甲的邮票比乙的 2 倍多 2 张 比丙的 3 倍 多 6 张 比丁的 4 倍少 16 张 那么丁有 张邮票 答案 答案 34 难度 难度 命题者 巨人教育命题者 巨人教育 饶海波饶海波 解析 解析 根据条件可知 根据条件可知 2 乙乙 2 甲甲 3 丙丙 6 甲甲 4 丁丁 16 甲甲 将这三个式子中乙将这三个式子中乙 丙丙 丁的系数化成相同丁的系数化成相同 可得 可得 12 乙乙 12 6 甲 甲 12 丙丙 24 4 甲 甲 12 丁丁 48 3 甲 甲 由上可得 由上可得 12 甲甲 12 乙乙 12 丙丙 12 丁丁 12 甲甲 6 甲甲 4 甲甲 3 甲甲 122448 251 12 即即 25 甲甲 251 12 12250 12 所以甲 所以甲 120 则丁 则丁 120 16 434 10 图 3 的 3 3 表格中已经填好了数 选择一个黑格为起点 如果对这个黑格和与它相邻的白格中所填数进行加 减 乘 除中的一次运算 计算时大数在前 计算结果是与 白格相邻的另一个黑格所填数的整数倍 就能经过这个 白格走到下一个黑格 要求每个格子恰好经过一次 例 如图 4 中 从 7 经过 8 可以走到 5 并且图 4 中箭头走 向是一种正确走法 请在图 3 中找出正确走法 若图 3 中正确走法的前 3 个格子所填数依次为 A B C 那么三位数ABC 答案 答案 834 难度 难度 命题者 中小学数学教学命题者 中小学数学教学 陈平陈平 解析 解析 将所有可以通过的路径用箭头连接 如图所示将所有可以通过的路径用箭头连接 如图所示 其中 其中 1 只有只有 1 条路可以选择 与条路可以选择 与 1 相邻的相邻的 8 只有两条路 只有两条路 1 若走弯路若走弯路 835方向 接下来方向 接下来672 是唯一是唯一 的 的 9 和和 4 无法连通 无法连通 若走若走 538方向方向 7 和和 6 无法连通 因无法连通 因 此不能走弯路 此不能走弯路 2 若走直路 那么前若走直路 那么前 3 个格子就是个格子就是 834 后面的路不止一 后面的路不止一 种走法 例如 种走法 例如 834951672 图 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图 3 图 4 6 7 2 1 5 9 8 3 4 11 欢欢 迎迎和妮妮手中共有卡片 2712 张 桌子上还有一些卡片 他们 3 人进行了如 下操作 第一次 欢欢从迎迎和妮妮手中各拿来 1 张卡片 第二次 妮妮从桌子上拿了 2 张卡片 并让欢欢和迎迎中 卡片数较少的人拿走卡片 数较多的人一张卡片 第三次 迎迎从桌子上拿了 4 张卡片 如果手上卡片数是偶数 则将手中的一半卡片 交给欢欢和妮妮中卡片数较少的那个人 如果是奇数 则游戏终止 我们把上述三次操作称为 一轮操作 如果他们顺利地进行了 50 轮操作 而没有出 现游戏终止的情况 此时他们手中卡片数按妮妮 欢欢 迎迎的顺序成等差数列 那 么 原来欢欢有 张卡片 答案 答案 754 难度 难度 命题者 学而思教育命题者 学而思教育 孙佳俊孙佳俊 解析 解析 迎迎迎迎第一次少一张 第二次可能多第一次少一张 第二次可能多 1 张可能少张可能少 1 张 第三次多张 第三次多 4 张 但是又少了一张 但是又少了一 半 所以半 所以迎迎迎迎每轮要损失大约一半的卡片 即便最初手里每轮要损失大约一半的卡片 即便最初手里有有 2712 张卡片 在十几轮操作张卡片 在十几轮操作 后也会少到个位数 要想持续后也会少到个位数 要想持续 50 轮 轮 迎迎迎迎的卡片数最后的卡片数最后必必是一个定值 这个值保证每是一个定值 这个值保证每轮轮 的第三次操作的第三次操作迎迎迎迎总有偶数张卡片总有偶数张卡片 考虑此时考虑此时迎迎迎迎肯定比欢欢少 不妨设此时欢欢有肯定比欢欢少 不妨设此时欢欢有a张 张 迎迎迎迎有有b张 张 妮妮妮妮有有c张 且张 且ab 则一轮操作如下 则一轮操作如下 欢欢欢欢 迎迎迎迎 妮妮妮妮 原有原有 a b c 第一次第一次 2a 1b 1c 第二次第二次 1a b 1c 第三次第三次 22b 所以有所以有22bb 4b 即 即迎迎迎迎最后手里有最后手里有 4 张卡片 张卡片 每轮操作卡片总数增加每轮操作卡片总数增加246 张 所以最后卡片总数为张 所以最后卡片总数为27126 503012 张 欢欢有张 欢欢有 301231004 张 所以张 所以妮