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a 0 b 0 c 0 的最小值 解 作长方体A BCD A B C D 使A B a BC b BB c 设 BE x 则 y A E EC 展开长方体的侧面 使 A BB A 与 BCC B 共面 连 A C 图 2 图 3 有 ymin A C a b 2 c 2 此时有x c a a b 即 x ac a b 通过上二例的求解 加深了学生对长方体的 理解 使数形结合的思想得到体现 三角 代数中 的难点得以突破 且整个求解过程给人以清新流 畅之感 艺术般美的享受 让学生回味无穷 4 注重实例讨论 发挥教材作用 例 3 如图 4 山坡的倾斜度 坡面与水平 面所成二面角的度数 是 60 山坡上有一条直道 CD 它和坡脚的水平线A B 的夹角是 30 沿这条 路上山 行走 100 米后升高多少米 立体几何 高级中学课本 P 39 例题 图 4 图 5 在教学中 我们从以下几点讨论研究 1 建模 引导学生对实际图形 图4 作出 分析理解 然后建立出数学模型 图 5 虽建模难 度较低 但教学中主要是向学生渗透建模思想 以 提高学生的建模能力 2 提炼 此例的求解是应用三垂线定理 作二面角的平面角的典型题目 是立体几何的基 本方法 在教学中加强对基本方法的提炼尤其重 要 这也是加强通法教学的具体表现 3 发展 在图 5 中 DCH 1 DCG 2 H CG 3 DGH 引导学生动手导 出等式 sin 1 sin 2sin 和 cos 2 cos 1cos 3 这 样突出了例题的引伸功能 让学生既动手操作 又 从中汲取了知识 达事半功倍之效 4 升华 由等式 sin 1 sin 2sin 知sin 1 sin 即 1 这与实际生活中修筑上山的公 路坡度总不大于山坡的倾斜度的意义相符 让学 生从实例中找到了印证的结论 也使等式 sin 1 sin 2sin 的应用明显 而等式 cos 2 cos 1cos 3 说明平面的一条斜线及斜线在平面内的射影与过 斜足的该平面内的另一条直线三线所成三角之间 的关系 此等式的应用十分广泛 在以后的教学中 会经常用到此等式 这便为以后的教学作下 伏 笔 辅垫 使例题的作用突出 教材的地位进一 步提高 四面体的两个体积公式 韩绍文 席学勤 河南项城市高中 466200 本文给出四面体的两个体积公式 定理 1 如果一个四面体的两条相对棱的长 分别是 a b 它们的距离是 d 所成的角为 那么 它的体积是 V 1 6 abdsin 11 1997年 第 3期 数学通报 证明 如图 四面体ABCD中 A B a CD b A B 与 CD 的距离为 EF d 它们所成的角 为 连结A F BF 则 A BF 的面积为 1 2 ab 过 C 作CP 平面 A BF 垂足为 P 过 D 作 DQ 平面 A BF 垂足为 Q 连结 PQ CP DQ CP 与 DQ 确定的平面与平面 A BF 相交于 PQ PQ 必过公共点 F 已知 EF CD 由三垂 线逆定理 得EF PQ 又知EF AB 同在平面 A BF 内 PQ A B 则 CFP DFQ CP CFsin DQ DFsin 于是 VC ABF 1 3 1 2 ad CP 1 6 ad CFsin VD ABF 1 6 ad DFsin 故四面体 A BCD 的体积 V 1 6 ad CF DF sin 1 6 abdsin 1987 年全国高考有一道立体几何题是 如图 三棱锥 P ABC 中 已知 PA BC PA BC l PA BC的公垂线ED h 求证三 棱锥P A BC 的体积 V 1 6 l 2h 显然 此题是上述定理的特例 下面举一例说明定 理 1 的应用 例 1 若四面体的 一条棱长为 x 其余各棱 长都等于定值 a 求 x 为 何值时 这个四面体的体 积最大 并求体积最大 值 解 如图 四面体P A BC中 设BC x 其余各棱长都为 a 取 BC PA 的中点 D E 连结 DE BE CE PD A D 则 DE BC DE PA DE 的长即PA 与BC 的距离 在 PA B 中 BE 3 2 a 又BD x 2 则DE BE2 BD2 1 2 3a2 x 2 0 x 0 b 0 且a b 1 则 a 1 a 2 b 1 b 2 25 2 这是我们所熟悉的一个不等式 本文将给出它的几个推广及证明 推广 1 若 a 0 b 0 且 a b 1 则 a 1 a n b 1 b n 22 1 n 2n 1 n N 1 推广2 若ai 0 i 1 2 m 且 m i 1 ai 1 则 m i 1 ai 1 ai n m2 1 n mn 1 n N 2 推广 3 若 a 0 b 0 且 a b p 则 a 1 a n b 1 b n 22 p 2 n 2n 1p n n N 3 推广4 若ai 0 i 1 2 m 且 m i 1 ai p 则 m i 1 ai 1 ai n m 2 p 2 n m n 1pn n N 4 推广 5 若 a 0 b 0 且 a b p q r 为大于零的常数 则 qa r a n qb r b n qp 2 4r n 2n 1p n n N 5 推广6 若ai 0 i 1 2 m 且 m i 1 ai p q r 为大于零的常数 n N 则 m i 1 qai r ai n qp 2 m 2r n m n 1pn 6 下面只要证明推广6即可 1 5 均为 6 的特殊情形 证明 m i 1 ai p 而 q m i 1 ai r m i 1 1 ai m 2qr m i 1 r ai m2r p m i 1 qai r ai n qa1 r a1 n qp m mr p n qp m mr p n n 1 个 n 1 qp m mr p n qa2 r a2 n n 1 qp m mr p n n 1 qp m mr p n qam r am n n 1 qp m mr p
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