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第23卷第1期 2007年8月 山西大同大学学报 自然学科版 Journal of Shanxi Datong University Natural Science Vol 23 No 1 Aug 2007 一类具有双线性发生率的SEIR流行病传播数学模型 朱 帅1 马 纯2 1 山西大同大学工学院 山西大同037003 2 中北大学数学系 山西太原030051 摘 要 利用Lasalle不变集原理探讨系统的渐近性态 研究了一类具有双线性发生率且染病期传染的 SEIR流行病传播数学模型的动力学性质 得到了疾病绝灭与持续的阈值 基本再生数 证明了无病平衡点的 全局渐近稳定性和地方病平衡点的全局渐近稳定性 揭示了潜伏期传染的影响 关键词 流行病 数学模型 动力学 基本再生数 局部渐近稳定性 全局渐近稳定性 中图分类号 Q612 O141 4 文献标识码 A 文章编号 167420874 2007 0120018203 3 利用动力学方法建立流行病传播数学模 型 1 2 研究某种疾病在某一地区是否会蔓延持续 下去而成为本地区的 地方病 或者这种疾病终将 消除 这有助于对流行病未来的发展趋势进行预测 和监控 有助于为人们预防以及治疗这种疾病提供 有益信息和有效的预防措施 对经典的传染病模型 往往主要关心平衡点的存 在性 局部和全局稳定性 近年来 由于在传染病模型 中引人了形式更一般的传染率 使得模型具有更复杂 的动力学性态 有时用传统的分析方法很难达到目 标 但从传染病学的意义上来讲 研究疾病的持续性 与研究疾病的最终行为有着同样重要的意义 关于传 染病的持续性已有一些学者进行了研究 3 4 5 本文就 SEIR模型的平衡点分析其局部和全局渐近稳定性 1 基本模型 S t 表示t时刻易感者的数量 E t 表示t时刻 潜伏者的数量 用 I t 表示t时刻具有传染力的染 病者的数量 R t 表示t时刻恢复者的数量 本文所 考虑的SEIR传染病模型见图1 图1 仓室结构示意图 S K cIS dS E cIS d E I E r d I R rI dR 1 1 N t S t E t I t R t 1 2 其中 N t 为t时刻总人口规模 K为人口的常数 输人 c表示染病者所具有的传染力 d是自然死亡 率 k是潜伏者变成染病者的比例 是因病死亡率 r是染病者变成恢复者的比例 并假设K c d r 0 2 平衡点的存在性和稳定性 因为方程组 1 1 的前三个方程不含R 故方 程组 1 1 可导出下面的等价方程组 S K cIS dS E cIS d E I E r d I 1 3 N和R能从方程 1 2 及R N S E I获 得 故方程组 1 3 的可行域为 D S E I R 3 S E I A d 且区域D是方程组 1 3 的正向不变集 方程组 1 3 的基本再生数为 R0 A d d r d 3收稿日期 2007205205 作者简介 朱 帅 19802 山西朔州人 在读硕士 助教 主要研究方向 生物数学 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 直接计算可得无病平衡点P0 A D 0 0 且当R0 1时 P0是仅有的一个平衡点 当R0 1时 方程 1 3 还存在惟一的地方病平衡点 P3 S 3 E3 I 3 D0 其中D0表示D的内部 这里 S 3 A dR0 E3 A R0 1 dR0 d I3 E3 r d 定理2 1 当R0 1时 方程 1 3 的无病平衡点 P0 A d 0 0 在D内是全局渐近稳定的 当R0 1时 无病平衡点P0 A d 0 0 是不稳定的 且除S轴外 从 D内充分靠近P0点出发的解都远离P0 证明 设L E d I 当R0 1时 L I S d r d A I d dS A 1 R0 0 当且仅当I 0时 L 0 因此 由LaSalle不变性 原理及极限方程理论知 P0点全局渐近稳定 若R0 1 则除E I 0外 当S充分靠近A d时有L 0 故除E I 0外 从D内充分靠近P0点出发 的解都远离P0 在E I 0上 由方程 1 3 知S A dS 因此有 S t 的极限为A d 定理2 2 若 1 则系统 1 3 惟一的地方病 平衡点P3 S 3 E3 I 3 在D0是全局渐近稳定 的 证明 首先验证系统 1 3 是一个竞争系统 系 统 1 3 的Jacobian矩阵为 J d I0 S I d S 0 r d 取H diag 1 1 1 易验证HJ H的非对角线元 素非正 故系统 1 3 是竞争系统 方程 1 3 满足 Poincare Bendixson性质 沿系统 1 3 任一周期解的二阶复合系统为 X 2d I X S Y S Z Y X 2d I r Y Z I Y 2d r Z 1 4 下面证明系统 1 4 是渐近稳定的 考虑Liapunov函数 V X Y Z S E I sup X E I Y Z 1 5 由一致持续性知 周期解 p t S t E t I t 与D的边界有一确定的距离 故一定存在一个常数 c1 0使得 V X Y Z S E I c1sup X Y Z 1 6 对全部 X Y Z R3及 S E I P t 计算V 的右导数 注意到 D X 2d I X S Y Z 2d I X IS E EI Y Z 1 7 及 D Y X 2d I r Y D Z I Y 2d r Z 有 D E I Y Z E E I I E I Y Z E I D Y Z E I X E E I I 2d r E I Y Z 1 8 由 1 7 和 1 8 可得 D V t max g1 t g2 t V t 1 9 这里 g1 t 2d I IS E 1 10 g2 t E E I I 2d r E I 1 11 把系统 1 3 改写为 IS E E E d E I I I r d 1 12 由 1 10 1 12 得 max g1 t g2 t E E d 因此 0 max g1 t g2 t dt logE t 0 d d 由上式及 1 9 可得 V t 的极限等于0 故由 1 6 可知 当t 时 X t Y t Z t 0 即 二阶复合系统 1 4 是渐近稳定的 91 2007年 朱 帅等 一类具有双线性发生率的SEIR流行病传播数学模型 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 设J P3 是系统 1 3 在P3的Jacobian矩阵 则 det J P3 I 3 d0 S 3 I 3 d S 3 0 r d I 3 d d r d S 3 d 由于P3 S 3 E3 I 3 是平衡点 故有 S 3 d r d 因此 det J P3 I 3 d r d 0 所以 P3在D0是全局渐近稳定的 参考文献 1 徐文雄 Caelosc C Existence and uniqueness of solutions of Amodel in differential2integral J 工程数学学报 1998 15 2 1082112 2 徐文雄 张仲华 年龄结构SIR流行病传播数学模型渐近分析 J 西安交通大学学报 自然科学版 2003 37 10 10862 1089 3 Wang W Ma Z Global dynamics of an epidemicmodel with delay J NonlinearA nalysis Real World A pplications 2002 3 8092834 4 Wang W Global behavior of and SEIRS epidemic model timedelays J A pplied Mathematics Letters 2002 15 2 4232428 5 Thieme R H Persistence under relaxed point2dissipativity with applications to an endemic model J S IA M Journal of Mathematical A nalysis 1993 24 2 4072435 A Kind of Bilinear SEIR Epidemic Spread Mathematic Model ZHU Shuai1 Ma Chun2 1 Schoolof Engineering Shanxi Datong University Datong Shanxi 037003 2 Department of Mathematics North University of China Taiyuan Shanxi 030051 Abstract Dynamical behavior of a kind of SEIR model of epidemic spreads with the bilinear rate which has infective force in infected period is studied The system s asymptotic property is discussed by Lasalle invariant set principle The threshold Bas2 ic Reproductive Number which determines whether the disease is extinct or not is gotten Global asymptotically stabilities of the disease2free equilibrium and the endemic equilibrium are proved The influence of infectivity in latent period is exposed Key words epidem